2025届高考数学一轮知识清单专题07 比大小归类 （解析版）

这是一份2025届高考数学一轮知识清单专题07 比大小归类 （解析版），共44页。
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc16638" 题型一：基础函数：指数函数性质 PAGEREF _Tc16638 \h 1
\l "_Tc147" 题型二：基础函数：对数函数性质 PAGEREF _Tc147 \h 4
\l "_Tc10633" 题型三：幂指对函数性质 PAGEREF _Tc10633 \h 7
\l "_Tc1595" 题型四：借助0、1分界 PAGEREF _Tc1595 \h 12
\l "_Tc32088" 题型五：指数型同构法 PAGEREF _Tc32088 \h 14
\l "_Tc29848" 题型六：借助常数分界 PAGEREF _Tc29848 \h 16
\l "_Tc11397" 题型七：放缩型 PAGEREF _Tc11397 \h 18
\l "_Tc20838" 题型八：构造型1：对数幂型 PAGEREF _Tc20838 \h 19
\l "_Tc19389" 题型九：构造型2：指数幂型 PAGEREF _Tc19389 \h 22
\l "_Tc29941" 题型十：构造型3：指数线性构造 PAGEREF _Tc29941 \h 25
\l "_Tc30467" 题型十一：构造型4：对数线性构造 PAGEREF _Tc30467 \h 27
\l "_Tc25710" 题型十二：构造型5：三角函数线性构造 PAGEREF _Tc25710 \h 29
\l "_Tc15194" 题型十三：构造型6：综合构造 PAGEREF _Tc15194 \h 31
\l "_Tc11065" 题型十四：三角函数型构造比大小 PAGEREF _Tc11065 \h 35
\l "_Tc18210" 题型十五：幂指对与三角函数混合型 PAGEREF _Tc18210 \h 37
\l "_Tc5257" 题型十六：泰勒展开 PAGEREF _Tc5257 \h 40
\l "_Tc24034" 题型十七：麦克劳林展开 PAGEREF _Tc24034 \h 43
题型一：基础函数：指数函数性质
指数函数比大小易错点：
1.利用指数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待．
2.指数函数在第一象限图像，具有“底大图高”的性质
3.指数函数图像性质：一点一线。恒过定点（0，1），x轴是它的水平渐近线
4.进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
1．（23-24高三·湖南衡阳·阶段练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先比较与的大小，即可得到，再比较与的大小，即可得到，从而得到，即可判断.
【详解】因为，，所以，则，即，因为，，
所以，所以，则，即，又，所以，
所以.故选：D
2．（23-24高三·云南昆明·模拟）已知，（为自然对数的底数），比较，，的大小（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由常见的不等式可比较和的大小；利用幂函数和指数函数的单调性及中间量可比较，和的大小，进而得出答案.
【详解】由三角函数线可得：不等式，则，
又函数为增函数，为减函数，则，
所以，综上所述：，故选D．
【点睛】关键点点睛：本题考查比较函数值的大小.解题关键在于利用三角函数线得到不等式，进而比较和的大小；再利用幂函数和指数函数的单调性及中间量，比较，和的大小.
3．（23-24高三·宁夏银川·阶段练习）已知函数，，且，则（ ）
A．，，B．，，
C．D．
【答案】D
【分析】画出的图象，根据以及的大小关系确定正确答案.
【详解】令，解得，
画出的图象如下图所示，
由于，且，
由图可知：，，的值可正可负也可为，所以AB选项错误.
当时，，
满足，，所以C选项错误.
，
，所以，D选项正确.
故选：D

4．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知实数满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用对数函数、指数函数的单调性比较大小可得，再结合选项逐项判断可得答案.
【详解】因为，则，
，
因为，所以，
令，则
，所以，又因为，所以，可得，
所以，
对于A，因为，所以，由得，
所以，可得，故A错误；
对于B，即证，因为，所以，由得，所以，故B错误；
对于C，即证，因为，所以，由得，所以，故C错误；
对于D，，因为，所以，由得，所以，即，故D正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用对数函数、指数函数的单调性得出，考查了学生运算求解能力.
5．（22-23高三·山东威海·模拟）已知函数，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的单调性和中间量比较出，再由函数的单调性得出结果.
【详解】 ，由于，，
，所以， ，所以，
因为函数在上为增函数，则，所以.
故选：A
题型二：基础函数：对数函数性质
对数函数比大小，主要时通过对数计算公式转化为结果相同，利用单调性比大小
对数运算公式
1.对数的运算法则：
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM (n∈R)； ④lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM．
2.对数的性质：①a＝ N ；②lgaaN＝ N (a>0且a≠1)．
3.对数的重要公式
①换底公式：lgbN＝eq \f(lgaN,lgab)；②换底推广：lgab＝eq \f(1,lgba)， lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
1．（22-23高三下·河南·阶段练习）已知，，，，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先判断a、b、c范围均为，d>1，则d最大；用作商法可判断a、b大小；用作商法并结合基本不等式可判断a、c大小；从而可得四个数的大小关系．
【详解】， ，
，
，
，
．
故选：D．
2．（23-24高三·江苏泰州·模拟）已知三个互不相等的正数满足，（其中是一个无理数），则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由对数函数和指幂函数的单调性和运算性质放缩，再加上基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以
所以根据幂函数的性质可得，
因为都是正数，
，
，
因为是递增函数，又因为，
作出和的图像，如图可得，当时，两函数值相等；时，图像一直在的上方，所以

故，
故选：B
【点睛】将利用幂函数的单调性进行放缩；把用指数函数的运算性质和基本不等式放缩；再把用对数函数的性质放缩，最终得到结果.
3．（2024·重庆·模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解.
【详解】由对数函数的性质知，
，
，
所以，，；
当时，，
所以
，
取，则，
所以
，即，
综上，.
故选：C.
【点睛】结论点睛：对数比大小常用结论：.
4．（2024·辽宁·一模）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得，，，即可得，，再比较与的大小关系，借助对数运算转化为比较与的大小关系，结合放缩计算即可得.
【详解】，，，故，，
要比较与的大小，即比较与的大小，
等价于比较与的大小，等价于比较与的大小，
又，故，即，即，故.故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于比较与的大小关系，可借助对数运算转化为比较与的大小关系，再借助放缩帮助运算即可得.
5．（23-24高三·广东佛山·模拟）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数式和对数式的转化，将表示为对数形式，结合对数的运算性质以及对数函数的性质比较大小，即可得答案.
【详解】由题意知，，
则，
，因为，故，
又因为，故，即
故，即得，同理可得，故，即，
故，故选：D
题型三：幂指对函数性质
有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
1．（23-24高三·辽宁朝阳·阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的上凸和下凸性质得到，，结合得到，设，求导得到在上单调递减，得到，同理可得，，相加后求出，得到答案.
【详解】设，画出的图象，
故为下凸函数，当时，
所以，.设，画出图象，
故为上凸函数，当时，所以，
同一坐标系内画出和的图象，
又在R上单调递减，故，所以.
设，则，在上单调递减，
所以时，所以，，
所以，同理可得，，相加得，，
所以.故选：A
【点睛】结合函数图象得到函数的凹凸性，进而可根据此性质得到以下结论，
若函数为上凸函数，则有，
若函数为下凸函数，则有，本题中可以此性质比较出的大小.
2．（23-24高三江苏泰州·模拟）已知三个互不相等的正数满足，（其中是一个无理数），则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由对数函数和指幂函数的单调性和运算性质放缩，再加上基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以所以根据幂函数的性质可得，
因为都是正数，
，
，因为是递增函数，又因为，
作出和的图像，如图可得，当时，两函数值相等；时，图像一直在的上方，所以
故，故选：B
【点睛】将利用幂函数的单调性进行放缩；把用指数函数的运算性质和基本不等式放缩；再把用对数函数的性质放缩，最终得到结果.
3．（2023·河南·模拟预测）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.
【详解】，，即，
，下面比较与的大小，构造函数与，
由指数函数与幂函数的图像与单调性可知，

当时，；当时，
由，故，故，即，所以，故选：A
4．（22-23高三·河北唐山·阶段练习）设，，，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用幂函数与对数函数的单调性即可得解.
【详解】因为，，，
又因为在上单调递增，所以，即，
因为，所以，又因为在上单调递增，所以，即，
综上：.故选：D.
5．（2022·河南·一模）已知，则这三个数的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较，在同一坐标系中作出与的图象，结合图象与幂函数的性质可比较，即可求解
【详解】令，则，
由，解得，由，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减；因为，
所以，即，所以，所以，又递增，
所以，即；，
在同一坐标系中作出与的图象，如图：
由图象可知在中恒有，又，所以，
又在上单调递增，且所以，即；
综上可知：，故选：A
6.（2024年高考天津卷）若，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为在上递增，且，
所以，所以，即，
因为在上递增，且，所以，即，
所以，故选：B
题型四：借助0、1分界
解答比较函数值大小问题，常见的基础思路之一是判断各个数值所在的区间，这样的区间划分，最基础的是以正负划分，正数则以1为区间端点划分。
指、对、幂大小比较的常用方法：
（1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
（2）指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
（3）底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
（4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.
1.（23-24高三 ·辽宁朝阳·阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的上凸和下凸性质得到，，结合得到，设，求导得到在上单调递减，得到，同理可得，，相加后求出，得到答案.
【详解】设，画出的图象，
故为下凸函数，当时，
所以，.设，画出图象，
故为上凸函数，当时，所以，
同一坐标系内画出和的图象，
又在R上单调递减，故，所以.
设，则，在上单调递减，
所以时，所以，，
所以，同理可得，，相加得，，
所以.故选：A
【点睛】结合函数图象得到函数的凹凸性，进而可根据此性质得到以下结论，
若函数为上凸函数，则有，
若函数为下凸函数，则有，本题中可以此性质比较出的大小.
2.（黑龙江省桦南县第一中学2021-2022学年高三上学期）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据对数函数的单调性，结合指数函数的性质进行判断即可.
【详解】
因为，，，
，所以，故选：D
3.（广东省陆丰市林启恩纪念中学2021-2022学年高三学期（12月）数学试题）已知，，，则，，三者的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用指数函数的性质比较即可
【详解】
因为在上为减函数，且，
所以，即，
因为在上为增函数，且，
所以，
所以，所以
故选：C．
4.（陕西省西安市第一中学2021-2022学年高三上学期期中）已知定义在R上的函数满足当时，不等式恒成立，若，，，则a，b，c大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
依题意可得函数在R上为减函数，再根据指数、对数的性质比较自变量的大小即可；
【详解】
解：根据题意，函数满足当时，不等式恒成立，
所以函数在R上为减函数，
因为，，即，又
所以，即，故选：D.
题型五：指数型同构法
指数幂同构性比较大小
①同底幂比较，构造指数函数，用单调性比较；
②同指数幂比较，构造幂函数，用单调性比较；
③不同底也不同指幂比较，借助媒介“1”.
1.（江苏省镇江市2021-2022学年高三上学期期中数学试题）已知，，，，则下列大小关系正确的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用指数函数、对数函数的性质进行比较即可．
【详解】。
∴a＞d＞b＞c，故选：D
2..（四川省宜宾市普通高中2022届高三上学期第一次诊断测试文科数学试题）若，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据指数函数和幂函数的单调性分别比较和的大小，即可比较，再根据，即可得出答案.
【详解】
解：因为函数是减函数，所以，又函数在上是增函数，
所以，所以，即，，所以.
故选：B.
3.（陕西省西安中学2021-2022学年上学期数学试题）若，则三者大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先借助中间量“2”比较出间的大小关系和间的大小关系，再将a、b分别化为，进而化为根式即可比较出a、b的大小关系，最后得到答案.
【详解】
因为，所以，
又因为，所以a>b，
综上：.故选：D.
4..已知三个实数a，，，其中，则这三个数的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用指数函数的单调性判断．
【详解】
∵，∴由指数函数的性质，有，∴．再由指数函数的性质得，即．
故选：A
题型六：借助常数分界
寻找非0、1的中间变量是难点。中间变量的选择首先要估算要比较大小的两个值所在的大致区间。然后可以对区间使用二分法（或者利用区间内特殊值，或者利用指对互化）寻找合适的中间值。
1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间
2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值
3.利用幂指对等函数计算公式进行适当的放缩转化
1.（陕西省西安市第一中学2024届高三下学期高考模拟押题文科数学试题（一））若，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意首先得，进一步，从而我们只需要比较的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.
【详解】，所以，
，
又因为，
所以，即.故选：B.
2.（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学理科猜题卷（四））已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意利用指、对数函数单调性以及指、对数运算分析判断.
【详解】因为，，所以；
又因为，则，
即，所以，即；
所以．故选：A．
3.（2022年全国著名重点中学领航高考冲刺试卷（九））若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据对数函数的单调性，分别计算，，的范围即可比较大小.
【详解】
因为，所以，即，可得，即，
因为，所以，即，
所以，又，可得，
因为，故所以，即，
所以，即，所以。故选：D．
4.（广西师大附属外国语学校2021届高三5月高考考前模拟考试数学（理）试题）已知，，，，则、、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
利用对数函数的单调性比较、、与的大小关系，利用中间值法判断出、的大小关系，综合可得出、、、的大小关系.
【详解】
，，，
，，则，
，，则，
因此，.故选：D.
题型七：放缩型
放缩：
1.借助幂指对函数的单调性进行放缩。
2.常用一些放缩公式：
;
当时取等;
,当时取等,
1.（湖北省恩施州咸丰春晖学校2022-2023学年高二上学期11月月考数学试题）若，，，则它们的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先判断大小，再分别判断和的大小即可
【详解】因为，故.又，，故.再分析和的大小，因为，，故，又，故，故.综上有
故选：D
2.（山东省枣庄市第三中学2021-2022学年高三质量检测数学试题）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先把a，b，c的化成同底的对数值，再把真数化成同指数幂的形式进行大小比较即可.
【详解】，，
由，，可得，
又为上增函数，则，即
故选：B
3.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用对数运算的性质将化简为，从而和c比较大小，同理比较a,c的大小关系，再根据两个指数幂的大小结合对数的运算性质可比较a,b大小，即可得答案.
【详解】由题意：，，故．
又，即，所以，即，
因为，所以．
因为，故，即，
所以，所以，
所以，所以，故选：B.
4.设，，，则a，b，c的大小关系为______.（用“