2025届高考数学一轮知识清单专题05 一元函数的导数及其应用（4知识点+8重难点+6技巧+4易错）（解析版）

这是一份2025届高考数学一轮知识清单专题05 一元函数的导数及其应用（4知识点+8重难点+6技巧+4易错）（解析版），共28页。

知识点1 导数的概念
1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．
2、导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)为f(x)的导函数．
知识点2 导数的运算
1、基本初等函数的导数公式
2、导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．
3、复合函数的导数
（1）复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作.
（2）复合函数的求导法则：一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
规律：从内到外层层求导，乘法连接。
（3）求复合函数导数的步骤
第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步变量回代：把中间变量代回。
知识点3 导数与函数的单调性
1、导数与函数的单调性的关系
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；
如果，那么函数在这个区间内单调递减．
【注意】
（1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；
（2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零．
2、导数法求函数单调区间的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求（通分合并、因式分解）；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
知识点4 导数与函数的极值、最值
1、函数的极值
（1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
（2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
2、函数的最值
（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
（2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3、函数极值与最值的关系
（1）函数的最大值和最小值是比较整个定义域区间上的函数值得到的，是一个整体的概念，与函数的极大（小）值不同，函数的最大（小）值若有，则只有一个。
（2）开区间内的可导函数，若有唯一的极值，则这个极值是函数的最值。
重难点01 根据切线情况求参数
已知，过点，可作曲线的（）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解；
【典例1】（23-24高三上·广东·月考）若曲线在点处的切线方程为，则 ．
【答案】
【解析】,依题意得，即，
又因为，所以.
【典例2】（22-23高三下·湖南长沙·月考）设直线是曲线的一条切线，则 ．
【答案】
【解析】设切点为，
，则，所以，所以切点为，
又切线为，所以，解得.
【典例3】（23-24高三上·广西南宁·月考）已知曲线与的公切线为，则实数 .
【答案】
【解析】由函数，可得，
设切点坐标为，可得，则切线方程为，
即，与公切线重合，可得，
可得，所以切线方程为，
对于函数，可得，设切点为，则
则 ，解得.
重难点02 含参函数单调性讨论依据
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论。
【典例1】（23-24高三下·江西·月考）已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程;
（2）若，讨论的单调性.
【答案】（1）；（2）增区间为，，减区间为
【解析】（1）当时，，所以，
当时，，又，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）因为，所以，
令，得到，
因为，又，所以，即有两根，
由求根公式知两根为，，且，
所以，当或时，，
当，，
故的增区间为，，减区间为.
【典例2】（2024·海南·模拟预测）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数（为的导函数），讨论的单调性.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】（1）当时，，求导得，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）函数，求导得，
则，其定义域为，求导得，
①若，则，函数在上单调递减；
②若，则当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
重难点03 构造函数法解决函数问题中的常见类型
关系式为“加”型构造：
构造
（2） 构造
（3） 构造
（4）构造（注意的符号）
（5） 构造
关系式为“减”型构造：
（6） 构造
（7） 构造
（8） 构造
（9）构造（注意的符号）
（10） 构造
【典例1】（2024·山东聊城·三模）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
设，
则，即为上的偶函数，
又当时，，
则，所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以，
即，所以，即，解得.故选：B
【典例2】（23-24高三上·河北·月考）已知函数及其导函数的定义域均为，且恒成立，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，有，
令，则，所以在区间上单调递增．
又，得，所以，
所以，解得．故选：A
【典例3】（23-24高三上·山东菏泽·月考）若定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为
【答案】
【解析】构造，
所以，
所以在上单调递增，且，
不等式可化为，即，所以，
所以原不等式的解集为.
重难点04 单变量不等式恒成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、，
2、，
3、，
4、，
【典例1】（2024·河南·三模）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】显然首先，
，
令，则，所以在定义域内严格单调递增，
所以若有成立，则必有，
即对于任意的恒成立，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，
从而，所以的取值范围是，即实数的最大值为.故选：B.
【典例2】（2024·陕西·二模），有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，有恒成立，
所以在上恒成立，
令，，
则，
令，得，当时，，故在上单调递增，
当时，，故在上单调递减，
则，
所以，即实数的取值范围为.故选：C．
重难点 05 双变量不等式与等式
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故．
【典例1】（23-24高三上·江苏常州·期中）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）对于，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】（1）由题设且，
当时在上递减；
当时，令，
当时在区间上递减；
当时在上递增．
所以当时，的减区间为，无增区间；
当时，的增区间为，减区间为.
（2）由题设知对恒成立．
当时，此时，不合题设，舍去．
当时，在上递增，只需符合．
综上：．
【典例2】（2023高三·全国·专题练习）设函数，．
（1）若曲线在处的切线过点，求的值；
（2）设若对，，使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵，
∴．
又，即切点为，
∴，解得．
（2）“对，，使得成立”，即“在上，”．
∵，，
∴在上单调递增，∴．
令，得或．
①当时，在上恒成立，单调递增，
，解得；
②当时，在上恒成立，单调递减，
在上恒成立，单调递增，
或，
∴或．
解得：或，∴；
③当时，在上恒成立，单调递减，
，解得，∴．
综上所述：或，即的取值范围为
重难点 06 导数与函数零点问题
利用导数确定函数零点的常用方法
1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）；
2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数。
【典例1】（2024高三下·浙江杭州·模拟预测）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由可得，则函数与函数的图象有两个交点；
设，则，
令，解得；令，解得；
所以在上单调递增，在上单调递减；
令，解得，可求得的图象在处的切线方程为；
令，解得，可求得的图象在处的切线方程为；
函数与函数的图象如图所示：
切线与在轴上的截距分别为,
当时，与函数的图象有一个交点，
故实数的取值范围为.故选：A
【典例2】（23-24高三下·河北·月考）已知函数在区间内有唯一极值点，其中为自然对数的底数.
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：在区间内有唯一零点.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1），当时，，
①当时，在上单调递减，没有极值点，不合题意；
②当时，与在上分别单调递增，显然在上单调递增，
因为，
所以，得，此时在内有唯一零点，
所以当时，；当时，，
所以在内有唯一极小值点，符合题意.
综上，实数的取值范围为.
（2）证明：由（1）知，当时，，，
∴在上，
∴在上单调递增，
∵当时，单调递增，
∴当时，单调递减,当时，单调递增，
∵当时，，∴，
又∵，∴在内有唯一零点，
即在内有唯一零点.
重难点07 隐零点问题的应用
导函数的零点不可求时的应对策略：
1、“特值试探”法：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特殊值的选取应遵循以下原则：①在含有的函数中，通常选取，特别地，选当时，来试探；②在含有的函数中，通常选取，特别地，选取当时，来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决.
2、“虚设和代换”法：当导函数的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点存在，再虚设为，接下来通常有两个方向：①由得到一个关于的方程，再将这个关于的方程的整体或局部代入，从而求得，然后解决相关的问题；②根据导函数的单调性，得出两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解。
【典例1】（23-24高三上·湖南·月考）已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）记函数的导函数为，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）函数 的定义域为 ， ，
①当时，对任意的 ，，
此时函数的减区间为，无增区间；
②当时，由 可得，由 可得，
此时函数的单调递增区间为，递减区间为；
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的单调递增区间为，递减区间为.
（2）若不等式恒成立，则有，
设函数，，，
令得，即，所以存在，使得成立，
所以①，且，即②，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
代入①②，可得，
要使得恒成立，则即可，所以.
【典例2】（23-24高三下·四川巴中·月考）函数；
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）在恒成立，求整数的最大值.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为和；（2）2
【解析】（1）当时，，，
当单调递减；
当或单调递增；
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为和
（2）因为，所以，即，
故，在恒成立，
即，则在恒成立，
设，
则，
设，则，所以在上单调递增，
又，，
所以方程有且只有一个实根，且，，
所以在上，，单调递减；
在,上，，单调递增，
所以函数的最小值为，从而，
又为整数，所以的最大值为：2．
重难点 08 极值点偏移问题
证明极值点偏移问题常用思路：利用分析法，将所证不等式中的变量分到不等式的两边，构造对称函数，注意将和化到同一区间，再利用导数据研究函数的单调性，求极致、最值等手段证得不等式。
【典例1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数为实数.
（1）讨论函数的极值；
（2）若存在满足，求证：.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意知，定义域为，，
因为，所以恒成立.
①当时，，函数为上的增函数，所以函数无极值.
②当时，令，得，
当时单调递减，
当时单调递增，
所以当时，函数取得极小值，函数无极大值.
综上，当时，函数无极值；
当时，函数的极小值为，无极大值.
（2）因为，
所以欲证，只需证明，
由（1）知若存在满足，则，
不妨设，则，
设，
则
，
因为，所以，，
所以，所以在上单调递减，
所以，
所以，即，
故，
因为在上单调递增，
所以，即，故.
【典例2】（2024·云南·二模）已知常数，函数.
（1）若，求的取值范围;
（2）若、是的零点，且，证明:.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由已知得的定义域为，
且
，
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增.
所以在处取得极小值即最小值，
，
，
，即的取值范围为.
（2）由（1）知，的定义域为，
在上单调递减，在上单调递增，且是的极小值点.
、是的零点，且，
、分别在、上，不妨设，
设，
则
当时，，即在上单调递减.
，，即，
，，
，，
又，在上单调递增，，即.
一、导数定义中极限的计算
瞬时变化率的变形形式
lim∆x→0fx0+∆x-f(x0)∆x=lim∆x→0fx0-∆x-fx0-∆x=lim∆x→0fx0+n∆x-f(x0)n∆x=lim∆x→0fx0+∆x-f(x0-∆x)2∆x=f'(x0)
【典例1】（2023·吉林长春·模拟预测）利用导数的定义计算值为（ ）
A．1B．C．0D．2
【答案】B
【解析】依题意，令函数，求导得，
所以.故选：B
【典例2】（2024·江苏南通·二模）已知，当时， .
【答案】1
【解析】由导数的定义知，，
由，得，所以.
二、求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率
第二步（写方程）：用点斜式
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为；
第二步：求出函数在点处的导数；
第三步：利用Q在曲线上和，解出及；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．
【典例1】（23-24高三上·河南·月考）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以切线方程为，即.
【典例2】（23-24高三上·山东青岛·期中）曲线过原点的切线方程为 .
【答案】
【解析】由得
设切点为，则切线方程为
由于切线经过原点，所以，解得，
所以切线方程为，即.
三、已知函数的单调性求参数
（1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；
（2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；
（3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点
（4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点
【典例1】（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解析】由题设在区间上单调递增，所以恒成立，
所以上恒成立，即恒成立，
而在上递增，故.
所以A符合要求.故选：A
【典例2】（2023·宁夏银川·三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．m>1
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
且，
令，得，
因为在区间上不单调，
所以，解得：故选：B.
四、利用导数求函数的极值或极值点
1、利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数；
（2）求方程的所有实数根；
（3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化．
①如果的符号由正变负，则是极大值；
②如果由负变正，则是极小值．
③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点．
【典例1】（23-24高三下·山东菏泽·月考）函数的极小值点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为，且，
所以当时，当或时，
所以在上单调递增，在，上单调递减，
所以在处取得极小值，在处取得极大值，
即极小值点为，极大值点为.故选：D
【典例2】（23-24高三下·海南·月考）已知函数在处的切线平行于直线.
（1）求的值；
（2）求的极值.
【答案】（1）；（2）的极大值为，极小值为
【解析】（1）由已知可得，
而直线的斜率为，
所以；
（2）由（1）得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
故极大值为，极小值为.
五、根据函数的极值求参数
根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路：
根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路先求解出，然后分析的根的个数：①分类讨论法分析的根的个数并求解参数范围；②参变分离法分析的根的个数并求解参数范围；③转化为两个函数的交点个数问题并求解参数范围.
【典例1】（23-24高三上·山西临汾·月考）已知曲线在点处的切线斜率为3，且是的极值点，则函数的另一个极值点为 .
【答案】
【解析】由题设，则，且，
所以，即，
当，，则上递增；
当，，则上递减；
所以、都是的极值点，故另一个极值点为.
【典例2】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上无极值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，，故，
因为函数在上无极值，
所以在R上恒成立，
当时，，
设，则，
当时，得，当时，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
从而，故，
当时，，则.
综上，.故选：D.
【典例3】（23-24高三上·河北衡水·月考）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】由题意在内有两个不相等的实数根，
即方程在内有两个不相等的实数根，
不妨设两根分别为，
所以，即异号、同号，从而异号.故选：ACD.
六、利用导数研究函数的最值
函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为：
（1）求函数在区间上的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；
（3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。
【典例1】（23-24高三下·河南·月考）函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，，单调递增，则，
当时，，求导得，单调递减，
因此，
所以的最小值为.故选：B
【典例2】（23-24高三下·湖南长沙·月考）已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）讨论在区间上的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，，则，所以，
则在处的切线方程为，即，
所以当时，函数在处的切线方程为．
（2）函数，则，
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
当时，函数在上单调递减，故函数的最小值；
当时，函数在上单调递增，故函数的最小值；
当时，函数的最小值．
综上可得.

易错点1 复合函数求导错误
点拨：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即。
【典例1】（2024高三·全国·专题练习）函数的导数是 ．
【答案】
【解析】因为，所以.
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）设函数，则
【答案】
【解析】依题意，函数，
所以.
易错点2 误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系
点拨：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是两侧异号。
【典例1】（23-24高三上·黑龙江·月考）如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（ ）

A．在处取得极大值B．是函数的极值点
C．是函数的极小值点D．函数在区间上单调递减
【答案】C
【解析】由图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增，
故是函数的极小值点，无极大值.故选：C
【典例2】（2023高三·全国·专题练习）（多选）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．有两个极值点B．为函数的极大值
C．有两个极小值D．为的极小值
【答案】BC
【解析】根据的图象，可得当时，，可得，即单调递减，
当时，，可得，即单调递增，
当时，，可得，即单调递减，
当时，，可得，即单调递增，
因此在和处取得极小值，
在处取得极大值，共3个极值点，可得A错误，C正确；
选项B，为函数的极大值，即B正确；不为函数的极小值，D错误.故选：BC
易错点3 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻
点拨：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件。
【典例1】（2024·山东滨州·二模）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数，求导得，由在上单调递减，
得，，即，令，
求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，，
则，解得，
所以的取值范围是.
【典例2】（2024·江西上饶·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，
即时，恒成立，
因为，当且仅当时等号成立，
即，所以.
易错点4 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚
点拨：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负。
【典例1】（23-24高三上·广东湛江·月考）的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由导函数的图象可知，当或时，；当时，.
所以，函数的增区间为和，减区间为，
所以，函数的图象为C选项中的图象.故选：C.
【典例2】（23-24高三下·全国·专题练习）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解法一：因为在和上，在和上，
所以函数在，上单调递增，在，上单调递减，
观察各选项知，只有D符合题意.
解法二：由题图知，在的左侧大于、右侧小于，
所以函数在处取得极大值，观察各选项知，只有D符合题意.故选：D.原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs_x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(x>0，a>0且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x (x>0)
f′(x)＝eq \f(1,x)