2025届高考数学一轮知识清单专题05 九种函数与抽象函数模型归类（解析版）

这是一份2025届高考数学一轮知识清单专题05 九种函数与抽象函数模型归类（解析版），共41页。
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc13283" 题型一：三大补充函数：对勾函数 PAGEREF _Tc13283 \h 1
\l "_Tc22442" 题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数 PAGEREF _Tc22442 \h 4
\l "_Tc27579" 题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数） PAGEREF _Tc27579 \h 6
\l "_Tc9414" 题型四：一元三次函数 PAGEREF _Tc9414 \h 9
\l "_Tc32669" 题型五：高斯取整函数 PAGEREF _Tc32669 \h 12
\l "_Tc27683" 题型六：绝对值函数 PAGEREF _Tc27683 \h 15
\l "_Tc17054" 题型七：对数绝对值型 PAGEREF _Tc17054 \h 19
\l "_Tc29041" 题型八：对数无理型 PAGEREF _Tc29041 \h 22
\l "_Tc31455" 题型九：对数反比例型 PAGEREF _Tc31455 \h 24
\l "_Tc22227" 题型十：指数反比例型 PAGEREF _Tc22227 \h 26
\l "_Tc27757" 题型十一：抽象函数模型：过原点直线型 PAGEREF _Tc27757 \h 28
\l "_Tc14516" 题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型 PAGEREF _Tc14516 \h 30
\l "_Tc20559" 题型十三：抽象函数模型：正切型 PAGEREF _Tc20559 \h 33
\l "_Tc26908" 题型十四：抽象函数模型：一元二次型 PAGEREF _Tc26908 \h 35
\l "_Tc16651" 题型十五：抽象函数模型：一元三次函数型 PAGEREF _Tc16651 \h 37
\l "_Tc20144" 题型十六：抽象函数模型：余弦或者双曲余弦模型 PAGEREF _Tc20144 \h 39
题型一：三大补充函数：对勾函数
对勾函数：图像特征
形如称为对勾函数
1.有“渐近线”：y=ax
2.“拐点”：解方程（即第一象限均值不等式取等处）
1.（2022秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是 .
【答案】
【分析】令，讨论的取值范围，确定函数的单调性，根据单调性确定函数的最大值与最小值，使且恒成立，进而确定的取值范围以及的取值范围，即求.
【详解】令
I.当时，函数显然单调递增，
所以，，
由题意可得，
这与矛盾，故舍去；
II，当时， 在单调递减，单调递增，
①.当时，即，所以，
由题意可得，
这与矛盾（舍去）.
②．当时，即，
所以，
，由题意得，a.当时，此时，
所以，故，
而 ，故，b.当时，此时，所以，
故，而，故.
③．当时，即，所以，，
由题意可得，这与矛盾，
综上所述：.故答案为：
2.（2022·安徽合肥·高二校联考开学考试）已知函数，关于x的不等式只有一个整数解，则正数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将函数解析式变形，结合打勾函数的图像与性质可求得的值域，进而结合不等式可知；因为不等式只有一个解，因而计算后与比较即可确定这个解为；进而由不等式成立条件可得正数a的取值范围.
【详解】函数，结合打勾函数性质可知，，
关于x的不等式，因为求正数a的取值范围，因而，化简不等式可得，
所以，即则，因为关于x的不等式只有一个整数解，
所以由以上数据可知整数解为，所以，
解得，所以故答案为：.
3.．（2023·高三单元测试）已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值为 .
【答案】4
【分析】根据单调性得到，要使正整数尽可能大，则可以是，得到答案.
【详解】当时，，单调递减，故，
要使正整数尽可能大，则可以是，故的最大值为4.
故答案为：4.
4.（2022·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知函数，若对任意的，长为的三条线段均可以构成三角形，则正实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出的导数，分类讨论可得最小值和最大值，由题意可得最小值的2倍大于最大值，解不等式即可得到所求的范围．
【详解】函数的导数为，
当时，，递增；当时，，递减．
当即时，，为减区间，即有的最大值为；
最小值为．
由题意可得只要满足，解得；
当且即时，，为减区间，，为增区间，
即有的最大值为；最小值为．
由题意可得只要满足，解得，所以；
当且（1）即时，，为减区间，，为增区间，
即有的最大值为；最小值为．
由题意可得只要满足，解得，所以；
当，即时，，为增区间，即有的最小值为；
最大值为．
由题意可得只要满足，解得．
综上可得，的取值范围是．
故答案为：．
题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数
反比例与分式型函数
解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再用穿线法求解
形如：。对称中为P，其中
①；
②
③一、三或者二、四象限，通过 计算判断
1.（2022·湖北武汉·高三校联考模拟）已知函数为奇函数，与的图像有8个交点，分别为，则 .
【答案】16
【分析】由为奇函数可得函数关于点对称，分离常数可知函数关于点对称，继而可得与图像的8个交点关于点对称，则，可求，结果可得.
【详解】为奇函数函数关于点对称
函数关于点对称与图像的8个交点关于点对称
,,,可得
同理可知
故答案为：
2.（2023·全国·高三对口高考）函数的值域是或，则此函数的定义域为 .
【答案】
【分析】利用反函数,可将原函数化为,(其中或),求出的值域即得的定义域.
【详解】，其中或，
当时,是减函数,此时，
当时,是减函数,此时，
∴函数的定义域为.
故答案为：.
3.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，其中且，函数，且对任意，都有，则的值是 ．
【答案】或3.
【分析】先判断区间与的关系可得，再分析时定义域与值域的关系，根据函数的单调性可确定定义域与值域的区间端点的不等式，进而求得和即可.最后分析当时，，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可
【详解】先判断区间与的关系，因为，故或.因为当，即时，由题意，当时，，故不成立；故.
再分析区间与的关系，因为，故或.
①当，即时，因为在区间上为减函数，故当， ，因为，而，故此时，即，因为，故即，故，解得，因为，故.此时区间在左侧，在右侧.故当时，，因为，故，所以 ，此时，故，解得，因为，故；
②当时，在区间上单调递减，易得，故此时且，即且，所以，故，故，即，，因为，故；
综上所述，或3。故答案为：或3.
4.（2023·浙江·高二校联考开学考试）已知函数，若函数在的最大值为2，则实数的值为 .
【答案】或2
【解析】由题意可得三个非负端点值，分别令它们为最大值2求，再验证是否符合题设即可求的值.
【详解】，由题意知：，
∴时，；时，；时，；
若时，或，而有，有，故与题设矛盾；
若时，或，而有，所以只有时成立；
若时，或，而有，所以只有时成立；
综上有：或，
故答案为：或2
题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数）
双刀函数
（两支各自增），或者 （两支各自减）
1.有“渐近线”：y=ax与y=-ax
2.“零点”：解方程（即方程等0处）

1.（2023·江苏南通·高二统考期末）已知函数，则关于x的不等式的解集是 .
【答案】
【分析】求出是奇函数，且在定义域上是单减函数，变形再利用单调性解不等式可得解.
【详解】，
是奇函数，又是上的减函数，是上的增函数，
由函数单调性质得是上的减函数.
,则，由奇函数得
且是上的减函数. ， ，又
不等式的解集是故答案为：
2.（2023春·湖北·高二统考期末）已知奇函数，有三个零点，则t的取值范围为 .
【答案】
【分析】由为奇函数求出的值，再利用导数研究函数和单调性和极值点，由有三个零点，求t的取值范围.
【详解】若，，函数没有三个零点，所以，
为奇函数，则，即，
得，
设，函数定义域为R，，为偶函数，
，是R上的增函数，且，
则，解得；，解得，
即在上单调递减，在上单调递增，
，由，则有，
所以，，
由，当且仅当时等号成立，则，
若，则，单调递减，没有三个零点；
若，令，则方程，即，
判别式，方程有两个不相等实数根，设两根为且，则有，，所以，
令，，由，则且，
，即，即，解得，得；
，即，即，解得或，得或，
所以在和上单调递减，在上单调递增，由，则有，，
由函数的单调性和递增速度可知，时，存在，的图像如图所示，

此时奇函数有三个零点.综上可知，t的取值范围为.故答案为：
3.（2023春·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知函数若，则 ．
【答案】3
【分析】利用，求得的值.
【详解】根据题意，函数，则，则，故有，又由，则，故答案为：3.
春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考）已知函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】令，分析函数的定义域、奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】设，则函数是定义域为，
因为，故函数为奇函数，
因为函数、、、均为上的增函数，
故函数为上的增函数，
因为，
由可得，
可得，
所以，，即，解得.
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
题型四：一元三次函数
一元三次函数：
所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，
设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．
1.．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心．若函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用题中给出的定义，得到的拐点为，从而得到的对称中心为，即，由此分析计算即可．
【详解】解：因为函数，则，，
令，解得，且，由题意可知，的拐点为，故的对称中心为，
所以，
所以．故选：A．
2.已知函数 fx=ax3+3x2+1，若至少存在两个实数 m，使得 f-m，f1，fm+2 成等差数列，则过坐标原点作曲线 y=fx 的切线可以作
A. 3 条B. 2 条C. 1 条D. 0 条
【答案】B【解析】至少存在两个实数 m，使得 f-m，f1，fm+2 成等差数列，
可得 f-m+f2+m=2f1=2a+4，即有 fx 的图象关于点 1,a+4 对称， fx 的导数为 fʹx=3ax2+6x，
fʺx=6ax+6，由 fʺx=0，可得 x=-1a，由 f-1a+x+f-1a-x 为常数，可得 -1a=1，解得 a=-1．
即有 fx=-x3+3x2+1，fʹx=-3x2+6x，设切点为 t,-t3+3t2+1，可得切线的斜率为 -3t2+6t=-t3+3t2+1t，化为 2t3-3t2+1=0，设 gt=2t3-3t2+1，gʹt=6t2-6t，
当 0