2025届高考数学一轮知识清单专题04 指对幂函数及函数与方程（5知识点+4重难点+7技巧+4易错）（解析版）

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知识点1 指数幂与对数
1、根式与分数指数幂
（1）根式的定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
（2）根式的性质（，且）：；
（3）分数指数幂的表示
正分数指数幂：规定：
负分数指数幂：规定：
性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
2、指数幂的运算性质
（1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
（2）指数幂的运算性质
①． ②． ③．
3、对数与对数运算
（1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，lgaN叫做对数式。
（2）对数的性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝lgaN(a>0，且a≠1)；
= 1 \* GB3 ①lga1＝0， = 2 \* GB3 ②lgaa＝1， = 3 \* GB3 ③algaN＝N， = 4 \* GB3 ④ lgaaN＝N (a>0，且a≠1).
指数式与对数式的关系
（3）对数的的运算法则与换底公式：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0
运算法则： = 1 \* GB3 ①lga(M·N)＝lgaM＋lgaN = 2 \* GB3 ②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN = 3 \* GB3 ③lgaMn＝nlgaM(n∈R)
换底公式： = 1 \* GB3 ①lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)，
选用换底公式时，一般选用e或10作为底数。
= 2 \* GB3 ②换底公式的三个重要结论：lgab＝eq \f(1,lgba)； lgambn＝eq \f(n,m)lgab； lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
知识点2 幂函数及其性质
1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
（1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数．
只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．
（2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x12的图象(如图)．
2、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．
2、二次函数的图象和性质
知识点3 指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．
2、指数函数的图象与性质
3、指数函数的常用技巧
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论；
（2）指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象，
底数与1的之间的大小关系为；
规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大。
（3）指数函数与的图象关于轴对称。
知识点4 对数函数及其性质
1、对数函数的概念
（1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．
（2）特殊的对数函数
= 1 \* GB3 ①常用对数函数：以10为底的对数函数.
= 2 \* GB3 ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.
2、对数函数的图象与性质
3、对数函数图象的常用结论
（1）函数y＝lgax与y=lg1ax的图象x轴对称；
（2）对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
知识点5 函数零点与二分法
1、函数零点的定义
（1）函数零点的概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
（2）函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，
也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数．
2、函数零点存在定理
（1）定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，
那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，
这个c也就是方程f(x)＝0的根．
（2）两个重要推论
推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点.
推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则
3、二分法
（1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
（2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤
= 1 \* GB3 ①确定零点的初始区间，验证
= 2 \* GB3 ②求区间的中点
= 3 \* GB3 ③计算，进一步确定零点所在的区间：
若（此时），则就是函数的零点；
若（此时），则令；
若（此时），则令.
= 4 \* GB3 ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4）
【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点；
重难点01 指数型复合函数的值域
1、形如（，且）的函数求值域
换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围
2、形如（，且）的函数求值域
换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。
【典例1】（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是 .
【答案】16
【解析】由，而，
因为单调递增，所以，则的最大值是16.
【典例2】（23-24高三上·福建福州·期中）函数的值域为 ．
【答案】
【解析】因为，
又，所以，所以，所以，
所以，所以函数的值域为.
【典例3】（23-24高三上·湖北·期中）已知是定义域为的奇函数.
（1）函数，，求的最小值.
（2）是否存在，使得对恒成立，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，
【解析】（1）由为上的奇函数，知，得；
代入函数得：，
由于，故时，为奇函数，满足条件，
，
令，易知在上单调递增，
故当时，取得最小值，，
当时，取得最大值，.∴，
则上式转化为，
∴时，，此时；
（2），，
代入不等式得，
即得：，
∵时，，∴，
又，当，即时，取得最小值，
而，∴.
重难点02 对数型复合函数的值域
1、形如（，且）的函数求值域
换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域。
2、形如（，且）的函数的值域
换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域。
【典例1】（23-24高三上·四川广安·月考）已知函数，则的值域是 .
【答案】
【解析】
,
单调递增，，
则的值域是。
【典例2】（23-24高三上·江苏常州·月考）已知函数，则函数的值域为 ．
【答案】
【解析】由于，
由，得，解得，
即函数的定义域为,．，
又，
，，
故函数的值域为.
重难点03 嵌套函数的零点问题
处理复合函数的零点问题的方法：
= 1 \* GB3 ①确定内层函数和外层函数；
②确定外层函数的零点；
③确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、…、，则函数的零点个数为.
【典例1】（2024·浙江金华·三模）若函数，则方程的实数根个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】，
当时，，则，
此时在上单调递减，
当时，，则，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
画出函数和的图象如下：
令得，
故，
令，则，且，
当时，结合图象可知，只有1个解，
当时，结合图象可知，只有1个解，
当时，结合图象可知，由3个解，
综上，方程的实数根的个数为5.故选：D
【典例2】（23-24高三上·江西上饶·月考）设函数，若关于x的函数恰好有五个零点.则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】作出函数的图象如图，
令，函数恰好有五个零点．
则方程化为，
则必有两个不同实根，则，
结合图形可知，则必不为，
故方程的一根在区间内，另一根在区间内，
令，则，解得：，
综上：实数的取值范围为.
【典例3】（23-24高三下·重庆·月考）已知函数，，若关于的方程有6个解，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题可得，令，则方程的解有3个，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
，，当时，，所以，
画的图象如下：
由图象可得，
且方程的三个解分别为，不妨设，
则有，即，
又
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
又因为，所以，所以有，即，
令，所以，所以在上单调递增，
又，所以的解集为，
综上，的取值范围为。
重难点 04 关于函数零点求和问题
利用函数零点位置的对称性求和
（1）将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题；
（2） = 1 \* GB3 ①如果两个函数图象都关于直线对称，那么这两个函数图象的交点也关于直线对称，则对应的两零点之和为；
= 2 \* GB3 ②如果两个函数图象都关于点对称，那么这两个函数图象的交点也关于点对称，则对应的两零点之和为.
【典例1】（23-24高三上·河北邢台·月考）已知定义域为的函数满足，且曲线与曲线有且只有两个交点，则函数的零点之和是（ ）
A．2B．－2C．4D．－4
【答案】A
【解析】由题意定义域为的函数满足，
则的图象关于点成中心对称，
函数的图象是由的图象向右平移一个单位得到，
故的图象关于点成中心对称，
又曲线与曲线有且只有两个交点，
则这两个交点关于对称，故这两个交点的横坐标之和为2，
而函数的零点即为曲线与曲线交点的横坐标，
故函数的零点之和是2，故选：A
【典例2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数，满足，，若恰有个零点，则这个零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为的定义域为，关于原点对称，
所以，
所以函数为奇函数，关于原点中心对称，
而函数是函数向右平移两个单位得到的函数，
因而关于中心对称，
函数满足，所以，
即，所以函数关于中心对称，且，
且，
所以由函数零点定义可知，即，
由于函数和函数都关于中心对称，
所以两个函数的交点也关于中心对称，
又因为恰有个零点，
即函数和函数的交点恰有个，
且其中一个为，其余的个交点关于对称分布，
所以个零点的和满足，故选：D.
一、指对幂与对数式运算
1、指数幂运算的一般原则
（1）指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；
（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
（3）底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；
（4）运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。
2、对数混合运算的一般原则
（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并；
（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；
（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；
（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；
（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。
3、对数运算中的几个运算技巧
（1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简；
（2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简；
（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，，，将值带入函数求解。
【典例1】（23-24高三上·山东菏泽·月考）化简求值：
（1）
（2）
【答案】（1）1；（2）
【解析】（1）原式；
（2）原式.
【典例2】（23-24高三上·河南信阳·月考）计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）原式；
（2）原式.
二、幂函数的图象与性质
对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x=1，y=1，y=x所分区域.根据a