上海市南洋模范中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

这是一份上海市南洋模范中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷，共13页。试卷主要包含了09，已知，则__________等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1.已知a，b均为实数，，则__________.
2.的展开式中，常数项为__________.
3.已知平面向量，的夹角为，且，，则__________.
4.不等式的解集为__________.
5.设，，若，则实数a的取值集合为__________.
6.圆的半径的最大值为__________.
7.已知，则__________.
8.已知点P为双曲线（，）右支上的一点，点、分别为双曲线的左、右焦点，若M为的内心，且，则双曲线的离心率为__________.
9.在一座尖塔的正南方向地面某点A，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔北偏东地面某点B，测得塔顶的仰角为，且A，B两点距离为7，在线段AB上的点C处测得塔顶的仰角为最大，则C点到塔底O的距离为__________.
10.已知函数是定义在R上的奇函数，且任意，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为__________.
11.已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围为__________.
12.定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“函数性质”.已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“函数性质”，且首项为1的数列满足，记的前n项和为，则数列的最小值为__________.
二、单选题（本大题共4题，满分20分）
13.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的分位数为（ ）
A.93B.93.5C.94D.94.5
14.已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面，，则（ ）
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若，，则
D.若，，，则
15.已知函数.若存在，，使得，则的最大值为（ ）
A.B.C.D.
16.在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P与直线l上任意一点Q，称的最小值为点P与直线l间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列四个命题：
①已知点，直线，则；
②定点、，动点满足则点P的轨迹与直线（k为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（ ）
A.命题①成立，命题②不成立B.命题①不成立，命题②成立
C.命题①②都成立D.命题①②都不成立
三、解答题（本大题共5题，满分76分）
17.如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的正弦值.
18.已知函数是定义在R上的奇函数（，）.
（1）求的解析式；
（2）求当时，函数的值域.
19.某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A、B两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场.假设每场比赛中A同学获胜的概率均为，且各场比赛的结果相互独立.
（1）求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率；
（2）此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X，求X的分布列及数学期望.
20.已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点.
（1）若椭圆上点P满足，求的值；
（2）点A为椭圆的右顶点，定点在x轴上，若点S为椭圆上一动点，当取得最小值时点S恰与点A重合，求实数t的取值范围；
（3）已知m为常数，过点且法向量为的直线l交椭圆于M、N两点，若椭圆C上存在点R满足（、），求的最大值.
21.我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为.对幂指函数求导时，可以将函数“指数化”再求导，例如：对于幂指函数，有.
（1）已知，求曲线在处的切线方程；
（2）若且，研究函数的单调性；
（3）已知m，n，s，t均大于0，且，讨论和的大小关系.
答 案
一、填空题
1.【答案】21
【解析】根据可得到，
故，，求得，，所以.
2.【答案】3
【解析】由展开式中的通项公式为：，
令，则，故展开式中的常数项为：.
3.【答案】
【解析】由题意，可得，所以.
4.【答案】
【解析】因为，所以恒成立，
所以，所以，，所以.
5.【答案】
【解析】由可得，
由于，故，，，
因此，，，
，，，故实数a的取值集合为.
6.【答案】
【解析】由可得，
当表示圆，即解得a的取值范围是，半径为，
是开口向下对称轴为的抛物线，
在严格递增，在严格递减，所以时最大值为.
7.【答案】
【解析】，
，则，故，
.
8.【答案】2
【解析】设内切圆半径为R，由题意知，
所以，即，
由点P为双曲线右支上的一点，则，故双曲线的离心率.
9.【答案】
【解析】设塔高为OP，如下图所示，
由题意知：，
，，平面AOB，，
若在C处的仰角最大，即最大，则取得最大值，
，当OC取得最小值时，最大，
设，则，，
，
解得：，，，
，
当时，OC最小，，
即若在C处的仰角最大，则C点到塔底O的距离为.
10.【答案】
【解析】奇函数，对于都有
，，则，即，
则函数是周期为4的周期函数.且关于直线对称，
作出函数与的图象知共有5个交点，其横坐标从小到大依次为，，，，，
所以，，，，
则，故在内所有的零点之.
11.【答案】
【解析】结合解析式可知当时，；当时，.
因为，所以.
令，得，则，故.
令，则，
令得；令得，
所以函数在上严格递减，在上严格递增，
所以，当时，，
因为，所以.所以的取值范围为.
12.【答案】
【解析】由二次函数最低点为可知：，
又，所以，则.
由题意得，
又由，得，
因为，所以，
即，又，，
所以，则，即，
故是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，.
令，则，
故当时，，当时，，故.
二、单选题
13.【答案】A
【解析】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，
因为，所以这组数据的分位数是第8个数93，故选：A.
14.【答案】D
【解析】对于A，若，，，则m，n可能平行，也可能异面，A错误；
对于B，若，，，则可能有，也可能有，也可能平面，相交，B错误；
对于C，若，，则有可能是，也可能，C错误，
对于D，根据线面平行的性质定理可知若，，，则，正确，故选：D.
15.【答案】D
【解析】由，
因，必有，或者，，
由，，分别得到，.
于是，，或者，，得的最大值为，故选：D.
16.【答案】D
【解析】对于①，设点Q是直线上一点，且，可得，
由，解得，即有，
当时，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范围是，无最值，
综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为.故①正确；
对于②，定点、，动点，
满足，
可得P不y轴上，P在线段间成立，可得，解得，
由对称性可得也成立，即有两点P满足条件；
若P在第一象限内，满足，即为，为射线，
由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，
则点P的轨迹与直线（k为常数）有且仅有2个公共点.故②正确；
综上可得，故选：C.
三、解答题
17.【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）连接交于O，在直三棱柱中，所有棱长均为4，
因此四边形是正方形，所以O是的中点，而D是AB的中点，
因此有，而平面，平面，所以平面；
（2）由（1）可知：，因此异面直线与所成角为（或其补角），
因为是正方形，所以，
在直三棱柱中，所有棱长均为4，
因此四边形是正方形，因此有，
在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线，
因此有，
由余弦定理可知：，
因此.
18.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由函数是R上的奇函数，
则有，解得，
即，，，
即，，解得，
经验证得，时，是奇函数，所以.
（2）由（1）知，，
当时，，
因此当时，，当时，，所以所求值域为.
19.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题可知，A同学连胜2场或连败2场，则其概率.
（2）由题可知，X的取值可能是2，4，6，
由（1）知，，当时，前2场打平，后两场A连胜或连败，
则，
，
所以分布列为：，所以数学期望.
20.【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）因为，所以设点，
则，所以，即，
所以；
（2）设，则，，
则，
所以，，
要时取最小值，则必有，所以；
（3）设过点且法向量为的直线l的方程为，，，
联立，消去x得，
则，，
则，
，
又，
又点R在椭圆C上，则，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，即的最大值为.
21.【答案】（1）略；（2）在上单调递增；
（3）略.
【解析】（1）略
（2）依题意，，，
求导得，
，
设，，
求导得，
由，得，由，得，
则函数在上严格递减，在上严格递增，
因此，从而，
所以在上严格递增.
（3）略