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    江苏省南京市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题

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    江苏省南京市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题

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    这是一份江苏省南京市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题,共10页。试卷主要包含了09,若是第二象限角,,则,已知复数z,下列命题正确的是,对于随机事件A,B,若,,,则等内容,欢迎下载使用。
    2024.09
    注意事项:
    1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分150分.
    2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.
    3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
    一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上.
    1.已知集合,,则( )
    A.B.C.D.
    2.已知,,则( )
    A.5B.6C.7D.12
    3.已知,.若,则( )
    A.B.C.D.
    4.已知数列为等差数列,前项和为.若,,则( )
    A.B.C.9D.18
    5.若是第二象限角,,则( )
    A.B.C.D.
    6.甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛,已决出了第1名到第4名(没有并列名次).甲、乙、丙三人向老师询问成绩,老师对甲和乙说:“你俩名次相邻”,对丙说:“很遗憾,你没有得到第1名”.从这个回答分析,4人的名次排列情况种数为( )
    A.4B.6C.8D.12
    7.若正四棱锥的高为8,且所有顶点都在半径为5的球面上,则该正四棱锥的侧面积为( )
    A.24B.32C.96D.128
    8.已知抛物线的焦点为,准线为,点在上,点在上.若,,则的面积为( )
    A.B.25C.D.55
    二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,请把答案填涂在答题卡相应位置上,全部选对得6分,部分选对得部分分,不选或有错选的得0分.
    9.已知复数z,下列命题正确的是( )
    A.若,则B.若,则的虚部为
    C.若,则D.若,则
    10.对于随机事件A,B,若,,,则( )
    A.B.C.D.
    11.设函数,则( )
    A.的定义域为
    B.的图象关于对称
    C.的最小值为
    D.方程在上所有根的和为
    三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上
    12.展开式中的常数项是___________.
    13.与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体,截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4,最小值为2,则该几何体的体积为___________.
    14.已知椭圆的左、右焦点分别为,,上顶点为,直线与相交于另一点.当最小时,的离心率为___________.
    四、解答题:本大题共5小题,共77分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.
    15.(本小题满分13分)
    小王早晨7:30从家出发上班,有A,B两个出行方案供其选择,他统计了最近100天分别选择A,B两个出行方案到达单位的时间,制成如下表格:
    (1)判断并说明理由:是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关;
    (2)小王准备下周一选择A方案上班,下周二至下周五选择B方案上班,记小王下周一至下周五这五天中,8点前到单位的天数为随机变量X.若用频率估计概率,求.
    附:,其中,
    16.(本小题满分15分)
    如图,在四面体中,是边长为3的正三角形,是以AB为斜边的等腰直角三角形,E,F分别为线段AB,BC的中点,,.
    (1)求证:平面;
    (2)若平面平面,求直线BD与平面所成角的正弦值.
    17.(本小题满分15分)
    已知数列,,,,且为等比数列.
    (1)求的值;
    (2)记数列的前项和为.若,求的值.
    18.(本小题满分17分)
    已知,是双曲线的左、右焦点,,点在C上.
    (1)求的方程
    (2)设直线过点,且与交于A,B两点.
    ①若,求的面积;
    ②以线段AB为直径的圆交轴于P,Q两点,若,求直线的方程.
    19.(本小题满分17分)
    已知函数,.
    (1)当时,求曲线在处切线的方程;
    (2)当时,试判断在上零点的个数,并说明理由;
    (3)当时,恒成立,求的取值范围.
    8点前到(天数)
    8点或8点后到(天数)
    A方案
    28
    12
    B方案
    30
    30
    0.10
    0.05
    0.025
    0.010
    0.011
    2.706
    3.841
    5.024
    6.635
    10.828
    南京市2025届高三年级学情调研
    数学参考答案
    2024.09
    一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上.
    二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分,部分选对得部分分,不选或有错选的得0分.
    三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
    12.24013.14.
    四、解答题:本大题共5小题,共77分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.
    15.(本小题满分13分)
    解:(1)假设点前到单位与方案选择无关,
    则.

    所以有的把握认为8点前到单位与路线选择有关.
    (2)选择方案上班,8点前到单位的概率为0.7,选择方案上班,8点前到单位的概率为0.5.
    当时,则分两种情况:
    ①若周一8点前到单位,则.
    (2)若周一8点前没有到单位,则.
    综上,.
    16.(本小题满分15分)
    解:(1)因为E,F分别为线段AB,BC中点,所以.
    因为,,即,所以,所以.
    又平面,平面,所以平面.
    (2)取AC中点,连接DO,OE
    因为为正三角形,所以.
    因为平面平面,平面平面,平面,
    所以平面.
    因为O,E分别为AC,AB中点,则.
    又因为,所以.
    以为坐标原点,OE,OC,OD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
    则,,,,
    故,,.
    设平面的法向量为,直线BD与平面所成角为,
    则即取.
    则,
    所以BD与平面所成角的正弦值为.
    17.(本小题满分15分)
    解:(1)因为,则,,,.
    又,则,,.
    因为为等比数列,则,所以,
    整理得,解得或2.
    因为,故.
    当时,
    .
    则,故为等比数列,所以符合题意.
    (2)
    当为偶数时,
    当为奇数时.
    综上,
    因为,又,
    故,所以为偶数.
    所以,
    整理得,解得或(舍),所以.
    18.(本小题满分17分)
    解:(1)由题意可知,点在上,根据双曲线的定义可知,
    即,所以,
    则,所以的方程为.
    (2)①设,.
    因为,所以,
    所以点坐标为,
    因为A,B在双曲线上,所以
    解得,,所以点坐标为,
    所以.
    ②当直线与轴垂直时,此时不满足条件.
    设直线的方程为,,,,.
    直线与联立消去,得,
    所以,.
    由,得且.
    以AB为直径的圆方程为,
    令,可得,则,为方程的两个根,
    所以,,
    所以
    .
    解得(舍)或,即,
    所以直线的方程为:.
    19.(本小题满分17分)
    解:(1)当时,,则,
    所以曲线在处切线的斜率.
    又因为,所以曲线在处切线的方程为.
    (2),,则,
    当时,,则在上单调递增.
    因为,,
    所以存在唯一的,使得.
    当时,,所以在上单调递减;
    当时,,所以在上单调递增.
    又因为,所以.
    又因为,所以当时,在上有且只有一个零点.
    (3)①当时,,与当时,矛盾,
    所以不满足题意.
    ②当时,,
    ,,.
    记函数,,
    则,
    当时,,所以在单调递增;
    当时,,所以在单调递减,
    所以,所以.
    又因为在上单调递增,
    所以,所以在上单调递增.
    (i)若,
    则,所以在上单调递增,
    则,符合题意;
    (ii)若,可得,则.
    因为,且在上单调递增,
    所以存在唯一的,使得.
    当时,,所以在上单调递减,
    当时,,所以在上单调递增,
    其中,且.
    所以

    因为,所以.
    又因为,所以,
    所以,满足题意.
    结合①②可知,当时,满足题意.
    综上,的取值范围为.1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    D
    D
    A
    B
    A
    C
    C
    B
    9
    10
    11
    AB
    BCD
    ACD

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