数学七年级上册1.2.1 有理数精练

这是一份数学七年级上册1.2.1 有理数精练，共44页。
考卷信息：
本套训练卷共36题，共六大题型，每个题型6题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生有理数中规律和新定义综合应用的六大题型的理解！
【题型1 数列型规律探究】
1．（2023春·山东济宁·六年级统考期末）如图，将大小相同的小圆规律摆放：第1个图形有5个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有11个小圆，…依此规律，第n个图形的小圆个数是（ ）
A．3n−2个B．3n+2个C．5n+1个D．5n−1个
2．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（ ）
A．253B．255C．257D．259
3．（2023春·河北保定·七年级统考期末）如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，由此规律最后一个三角形中，y的值是（ ）
A．380B．382C．384D．386
4．（2023春·全国·七年级期末）如图，在数轴上，点A表示数1,现将点A沿数轴作如下移动，第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，…，按照这种移动规律进行下去，第2021次移动到点A2021，那么点A2021所表示的数为（ ）
A．−3029B．−3032C．−3035D．−3038
5．（2023春·江西上饶·七年级校考期中）把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：
（1），(2， 3， 4)，(5，6，7，8，9)，(10， 11，12， 13， 14， 15， 16)，…，现用等式 AM=(i，j)表示正整数 M 是第i 组第 j 个数(从左往右数)，如A8=(3，4)，则A2020=( )
A．(44，81)B．(44，82)C．(45，83)D．(45，84)
6．（2023春·湖南永州·九年级校考期中）观察下列算式发现规律：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，……，则72020的个位数字是 ．
【题型2 裂差型规律探究】
1．（2023春·浙江杭州·七年级期末）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的矩形，接着把其中一个面积为12的矩形等分成两个面积为14的矩形，再把其中一个面积为14的矩形等分成两个面积为18的矩形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算：1+12+14+18+116+132+164+1128+1256= ．
2．（2023春·福建泉州·七年级福建省惠安第一中学校联考期中）观察下列等式：
第1个等式：a1=11×3=12×1−13；第2个等式：a2=13×5=12×13−15；
第3个等式：a3=15×7=12×15−17；第4个等式：a4=17×9=12×17−19；
…
请回答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5=_________=_________；
（2）用含n的代数式表示第n个等式：an=_________=_________(n为正整数)；
（3）求a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a2018的值．
（4）求15×10+110×15+115×20+120×25+……+12015×2020的值
3．（2023春·北京·七年级景山学校校考期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：
①|7＋2|＝ ；
②|－12＋15|＝ ；
（2）用简单的方法计算：|13－12|＋|14－13|＋|15－14|＋……＋|12021－12020|．
4．（2023春·河北保定·七年级校联考期中）观察下列各式：
−1×12=−1+12
−12×13=−12+13
−13×14=−13+14
……
(1)按照上述规律，第4个等式是：________________________________
(2)第n个等式是：________________________
(3)运用你发现的规律计算：−15×16+−16×17
(4)−1×12+−12×13+−13×14+⋯+−12021×12022=________
5．（2023春·河南新乡·七年级校考期中）（1）12×23=________
12×23×34=________
12×23×34×45=________
猜想：12×23×34×45×⋯⋯×nn+1=________
（2）根据上面的规律，解答下列问题：
①计算：1100−1×199−1×198−1×⋯⋯×13−1×12−1
②将2020减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14……，依次类推，最后减去余下的12020，则剩余的结果是多少?
6．（2023春·浙江金华·七年级统考期中）我们知道：1−12=21×2−11×2=11×2；12−13=32×3−22×3=12×3；13−14=43×4−33×4=13×4；…，反过来，可得：11×2=1−12；12×3=12−13；13×4=13−14；…，各式相加，可得：11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=1−14=34．
根据上面的规律，解答下列问题：
(1)11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7=___________；
(2)计算：11×5+15×9+19×13+⋅⋅⋅+197×101；
(3)计算：11×4×7+14×7×10+17×10×13+⋅⋅⋅+194×97×100．
【题型3 新定义型规律探究】
1．（2023春·四川成都·七年级校考期中）已知：C32=3×21×2=3，C53=5×4×31×2×3=10，C64=6×5×4×31×2×3×4=15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算C118= ．
2．（2023春·全国·七年级期末）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f(1)=0，f(2)=1，f(3)=2，f(4)=3，…；
（2）f(12)=2，f(13)=3，f(14)=4，f(15)=5，…．
利用以上规律计算：f(12008)−f(2008)= ．
3．（2023春·江西宜春·七年级统考期中）对于正数x，规定fx=x1+x，例如：f2=21+2=23，f3=31+3=34，f12=121+12=13，f13=131+13=14……利用以上规律计算：
f12019+f12018+f12017+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+f13+f12 +f1+f2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+f2019的值为： .
4．（2023春·山西临汾·七年级校联考期中）探究规律，完成相关题目．
老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”
然后老师写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
(+5)※(+2)=+(|5|+|2|)=+7；
(−3)※(−5)=+(|3|+|5|)=+8；
(−3)※(+4)=−(|3|+|4|)=−7；
(+5)※(−6)=−(|5|+|6|)=−11；
0※(+8)=8；
(−6)※0=6．
小明看了这些算式后说：“我知道老师定义的※（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
(1)归纳※（加乘）运算的运算法则．
两数进行※（加乘）运算时，运算法则是： ；
特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算运算法则是： ．
(2)计算：
①(−5)※0※(−3)；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
②(−4)※3※(−10)※(−5)．
5．（2023春·重庆潼南·七年级统考期末）阅读材料，探究规律，完成下列问题．
甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：(+2)∗(+3)=+5；(−1)∗(−9)=+10；(−3)∗(+6)=−9；(+4)∗(−4)=−8；0∗(+1)=1；0∗(−7)=7．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
(1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子：
(−2)∗(−7)= ；(+4)∗(−3)= ；0∗(−5)= ．
请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则：
两数进行*（加乘）运算时， ．
特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ．
(2)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）
6．（2023春·北京房山·七年级统考期末）将n个互不相同的整数置于一排，构成一个数组．在这n个数字前任意添加“+”或“-”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组．
（1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；
1 2 3 4 =
（2）若数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，则m的值可以是多少？
（3）若某“运算平衡”数组中共含有n个整数，则这n个整数需要具备什么样的规律？
【题型4 含n2型规律探究】
1．（2023春·全国·七年级期末）观察下列等式：
（1）13=12
（2）13+23=32
（3）13+23+33=62
（4）13+23+33+43=102
……
根据此规律，第10个等式的右边应该是a2，则a的值是（ ）
A．45B．54C．55D．65
2．（2023·浙江嘉兴·七年级校联考期中）数列：0，2，4，8，12，18，…是我国的大衍数列，也是世界数学史上第一道数列题．该数列中的奇数项可表示为n2−12，偶数项表示为n22．
如：第一个数为12−12=0，第二个数为222=2，…
现在数轴的原点上有一点P，依次以大衍数列中的数为距离向左右来回跳跃．
第1秒时，点P在原点，记为P1；
第2秒时，点P向左跳2个单位，记为P2，此时点P2所表示的数为-2；
第3秒时，点P向右跳4个单位，记为P3，此时点P3所表示的数为2；
…
按此规律跳跃，点P20表示的数为 ．
3．（2023春·广东珠海·八年级校联考期末）观察下列式子：
0×2+1＝12……①
1×3+1＝22……②
2×4+1＝32……③
3×5+1＝42……④
……
（1）第⑤个式子 ，第⑩个式子 ；
（2）请用含n（n为正整数）的式子表示上述的规律，并证明：
（3）求值：（1+11×3）（1+12×4）（1+13×5）（1+14×6）…（1+12016×2018）．
4．（2023春·四川乐山·七年级统考期中）(1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来：
(2)观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳得出：1﹣1n2＝______
(3)利用上述规律计算下式的值：(1-122)×(1-132)×(1-142)×…×(1-1992)×(1-11002)
5．（2023春·河南郑州·七年级郑州外国语中学校考期中）阅读探究：12=1×2×36；12+22=2×3×56；12+22+32=3×4×76；12+22+32+42=4×5×96；…
(1)根据上述规律，求12+22+32+42+52的值；
(2)你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）；
(3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：112+122+132+142+152．
6．（2023春·北京·七年级北京四中校考期中）阅读材料．
我们知道，1+2+3+…+n=nn+12，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？
在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为n+n+n+…+n，即n2．这样，该三角形数阵中共有nn+12个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2．
【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 ，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）= ，因此，12+22+32+…+n2= ．
【解决问题】
根据以上发现，计算：12+22+32+⋯1021+2+3+⋯+10的结果为 ．
【题型5 定义两个数的运算】
1．（2023春·天津·七年级校考期末）现定义运算“*”，对于任意有理数a，b满足a*b＝2a−b,a≥ba−2b,a0 ，
∴|7＋2|＝7+2；
②∵−12+15b，则代数式中绝对值符号可直接去掉，代数式等于a，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：①∵a⊕b=12(|a−b|+a+b),a≠b，
∴3⊕2=123−2+3+2=3，
2⊕3=122−3+2+3=3，
−3⊕2=12−3−2−3+2=2，
−3⊕−2=12−3+2−3−2=−2，
故答案为：3，3，2，−2；
②例如：3⊕−2=123+2+3−2=3，
−2⊕−3=12−2+3−2−3=−2，
通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值，
用a，b的式子表示出一般规律为a⊕b=a,a>bb,b>a；
（2）解：①【−92.5⊕16.33】⊕【−33.8⊕−4】
=16.33⊕−4
=16.33；
②不妨设a>b，则代数式中绝对值符号可直接去掉，
∴代数式等于a，
a为偶数，b=a−1
最小值=−10+−8+−6+−4+−2+0+2+4+6+8=−10，
故答案为：−10．
【点睛】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解．
4．（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”，a⊗b=a+b−20232，如：1⊗2=1+2−20232，1⊗2⊗3=1+2−20232+3−20232=−2017．
材料二：规定a表示不超过a的最大整数，如3.1=3，−2=−2，−1.3=−2．
(1)2⊗6 =______，−ππ=______；
(2)求1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值：
(3)若有理数m，n满足m=2n=3n+1，请直接写出m⊗m+n的结果．
【答案】(1)−20072，−64
(2)2023
(3)−20532
【分析】（1）根据材料1新定义的运算“⊗”的概念即可求出2⊗6的值，根据材料2中的定义即可求出−ππ的值；
（2）根据新定义函数把1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023变形为加减运算，再根据运算顺序即可求出1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值；
（3）根据m=2n=3n+1求出m的值和n的范围，再求出m+n的值，即可得出m⊗m+n的值．
【详解】（1）解：∵a⊗b=a+b−20232，
∴2⊗6=2+6−20232=−20072，
∵−π=−4，π=3，
∴−ππ =−43=−64，
故答案为：−20072，−64；
（2）依题意，1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023
=1+2+3+……+2023+2022×−20232
=1+20232×2023−2022×20232
=2023；
（3）∵n+1=n+1，2n=3n+1，
∴2n=3n+3，
∴n=−3，
∴m=2×−3 =−6，
∴m+n =−6+n=−9，
∴m⊗m+n =−9⊗−6=−9−6−20232=−20532．
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键．
5．（2023春·江苏淮安·七年级洪泽外国语中学校考期中）定义新运算“⊙”：对于有理数a，b，都有a⊙b=ab+b．例如：1⊙2=1×2+2=4．
(1)计算(−5)⊙(−1)的结果是______．
(2)有理数m，n满足(m+2)2+n−3∣=0，求(m⊙n)⊙(−1)的值．
【答案】(1)4
(2)2
【分析】（1）直接利用新定义进而计算得出答案；
（2）直接利用非负数的性质结合新定义计算得出答案.
【详解】（1）解：原式=(−5)⊙(−1)
=(−5)×(−1)+(−1)
=4；
（2）解：∵(m+2)2+n−3∣=0，
∴m=−2，n=3，
原式=(m⊙n)⊙(−1)
=(−2)⊙3⊙(−1)
=(−2)×3+3⊙(−1)
=(−3)⊙(−1)
=(−3)×(−1)+(−1)
=2.
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.
6．（2023春·湖南邵阳·七年级校联考期中）定义一种运算符号“★”：a★b=a2−ab，如：−2★3=−22−−2×3=10，那么−3★−2★13的结果是 ．
【答案】8
【分析】根据运算律a★b=a2−ab，先算括号内，再算括号外即可
【详解】解：−3★−2★13
=−32−−3×−2★13
=3★13
=8
故答案为8
【点睛】此题考查了有理数的混合运算、新定义，解决本题的关键是会用新定义解答问题
【题型6 定义多个数的运算】
1．（2023春·陕西西安·七年级校考期中）对一组数(x , y)的一次操作变换记为P1(x , y)，定义其变换法则如下：P1(x , y)=(x+y , x−y)；且规定P0(x , y)=P1(Pn−1(x , y))（n为大于1的整数），如P1(1 , 2)=(3 , −1),P2(1 , 2)=P1(P1(1 , 2))=P1(3 , −1)=(2 , 4)，P3(1 , 2)=P1(p2(1 , 2))=P1(2 , 4)=(6 , −2)，则P2011(1 , −1)=（ ）
A．(0 , 21005)B．(0 , −21005)C．(0 , −21006)D．(0 , 21006)
【答案】D
【详解】试题分析：根据变换的计算法则可得：P1(1，-1)=(0，2)，P2(1，-1)= (2，-2)，P3(1，-1)= (0，4)，P4(1，-1)= (4，-4)，P5(1，-1)= (0，8)，P6(1，-1)= (8，-8)，根据规律我们可以得出P20111 , −1=(0 , 21006).
点睛：本题主要考查的就是新的运算的应用以及规律的发现和推测问题，解决这个问题理解新定义的计算法则和找出答案的规律是解题的关键.在解决这种问题的时候我们一般都是根据所给出的新定义求出前面几个的答案，然后根据答案找出一般性的规律，最后根据一般性的规律得出答案.
2．（2023春·全国·七年级期中）对于正整数n，定义Fn=n2,n”或“=”）
(5)计算：−142÷−12④×−7⑥−−48÷−17④+−1
【答案】(1)１；−20222023
(2)ABCDF
(3)1an−2
(4)>
(5)−5149
【分析】（1）利用a的圈n次方的意义，进行计算即可．
（2）利用a的圈n次方的意义，进行判断．
（3）利用圈n次方的意义，进行计算即可．
（4）利用（3）的结论，进行计算即可．
（5）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．
【详解】（1）2022②= 2022÷2022=1 ；−20232022③= −20232022÷−20232022÷−20232022=−20222023
（2）A、因为a②=a÷a=1a≠0 任意非零数的圈2次方都等于1，符合题意；
B、a③a÷a÷a=1aa≠ , 任意非零数的圈3次方都等于它的倒数,符合题意；
C、圈n次方等于它本身的数是1或−1，符合题意；
D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，符合题意
E．（−2）②=1 ，2②=1 ，不符合题意
F．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数2③=12，12③ =2 ，符合题意．
（3）an =a÷a÷a÷a÷⋯÷a=a·1a·1a·1a·⋯·1a=1an−2
（4）−9⑤ =−193=−1729 ，−3⑦ =−135=−1243 ，
∵−1729>−1243
∴ −9⑤>−3⑦．
（5）原式=−1−196÷−22×−174−−48÷−72+−1
=−1−149+4849−1
=−5149 ．
5．（2023春·江苏·七年级期末）数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定m=||c−a|−|c−b||，n=|c−a|+|c−b|
（1）当a=−3，b=4，c=2时，则m=______，n=______．
（2）当a=−3，b=4，m=3，n=7时，则c=______．
（3）当a=−3，b=4，且n=2m，求c的值．
（4）若点A、B、C为数轴上任意三点，p=|a−b|，化简：|m−p|−|p−n|+2|m−n|
【答案】（1）3；7；（2）2或-1；（3）152或94或−132或−54；（4）2c−2b或6b−6c或6c−6a或2a−2c或2c−2a或2b−2c或6a−6c或6c−6b
【分析】（1）根据a,b,c的值计算出c−a=5,c−b=−2，然后代入即可计算出m,n的值；
（2）分c≥4 ，c≤−3， −3c,b>c>a,c>a>b,c>b>a 六种情况进行讨论，即可得出答案．
【详解】（1）∵a=−3，b=4，c=2
∴c−a=5,c−b=−2
∴m=5−−2=5−2=3
n=5+−2=5+2=7
（2）∵a=−3，b=4，
若c≥4，则m=c−a−(c−b)=b−a=7
若c≤−3，则m=a−c+(c−b)=a−b=7
若−3b
则p=a−b
m=a−c−(c−b)=a+b−2c
n=a−c+c−b=a−b
当a+b−2c≥0时，m=a+b−2c
∴m−p=a+b−2c−(a−b)=2c−2b
p−n=0
m−n=(a+b−2c)−(a−b)=2c−2b
∴原式=(2c−2b)−0+2(2c−2b)=6c−6b
当a+b−2ca>c
则p=b−a
m=a−c−(b−c)=b−a
n=a−c+b−c=a+b−2c
∴m−p=0
p−n=b−a−(a+b−2c)=2a−2c
m−n=b−a−(a+b−2c)=2a−2c
∴原式=0−(2a−2c)+2(2a−2c)=2a−2c
④若b>c>a
则p=b−a
m=c−a−(b−c)=2c−a−b
n=c−a+b−c=b−a
当2c−a−b≥0时，m=2c−a−b
∴m−p=2c−a−b−(b−a)=2b−2c
p−n=0
m−n=(2c−a−b)−(b−a)=2b−2c
∴原式=(2b−2c)−0+2(2b−2c)=6b−6c
当2c−a−ba>b
则p=a−b
m=c−a−(c−b)=a−b
n=c−a+c−b=2c−a−b
∴m−p=0
p−n=a−b−(2c−a−b)=2c−2a
m−n=a−b−(2c−a−b)=2c−2a
∴原式=0−(2c−2a)+2(2c−2a)=2c−2a
⑥若c>b>a
则p=b−a
m=c−a−(c−b)=b−a
n=c−a+c−b=2c−a−b
∴m−p=0
p−n=b−a−(2c−a−b)=2c−2b
m−n=b−a−(2c−a−b)=2c−2b
∴原式=0−(2c−2b)+2(2c−2b)=2c−2b
【点睛】本题主要考查绝对值与合并同类项，掌握绝对值的性质是解题的关键．
6．（2023春·福建厦门·七年级大同中学校考期中）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，（规定20=1）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20=5，表示该生为5班的学生．
(1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________．
(2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“1”、“2”，结合“+”、“−”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的班级编号范围．
【答案】(1)9
(2)不能，理由见解析，改编规则见解析，范围为1至31
【分析】（1）根据规定了运算法则进行计算即可求解；
（2）根据有理数的混合运算进行计算，得出最大的班级变号为15，则不能被全部被识别，改编为：改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，根据有理数的混合运算进行计算可得知新系统规则可表示的班级编号范围．
【详解】（1）解：图3中，第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，则序号为1×23+0×22+0×21+1×20=9，
故答案为：9；
（2）不能，∵1×23+1×22+1×21+1×20=8+4+2+1=15