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所属成套资源：沪科版七年级数学上册举一反三专项练习(学生版+解析)
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初中数学人教版（2024）七年级上册4.3.1 角达标测试
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这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册4.3.1 角达标测试，共63页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc31502" 【题型1 角的相关概念辨析】 PAGEREF _Tc31502 \h 1
\l "_Tc276" 【题型2 角的单位换算】 PAGEREF _Tc276 \h 2
\l "_Tc1464" 【题型3 钟表上有关角的计算】 PAGEREF _Tc1464 \h 3
\l "_Tc7001" 【题型4 与方向角有关的计算】 PAGEREF _Tc7001 \h 4
\l "_Tc30909" 【题型5 角的计数问题】 PAGEREF _Tc30909 \h 5
\l "_Tc10985" 【题型6 角的比较】 PAGEREF _Tc10985 \h 6
\l "_Tc1483" 【题型7 与角平分线相关的角的运算】 PAGEREF _Tc1483 \h 8
\l "_Tc28585" 【题型8 与角n等分线相关的角的运算】 PAGEREF _Tc28585 \h 9
\l "_Tc5745" 【题型9 在三角板中的角的运算】 PAGEREF _Tc5745 \h 11
\l "_Tc14622" 【题型10 余角和补角的计算】 PAGEREF _Tc14622 \h 13
\l "_Tc32630" 【题型11 同（等）角的余角和补角相等的运用】 PAGEREF _Tc32630 \h 14
【知识点1 角的概念及其表示方法】
定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．
【题型1 角的相关概念辨析】
【例1】完成以下各题．
(1)写出图中能用一个字母表示的角；
(2)写出图中以A为顶点的角；
(3)图中共有几个角？
【变式1-1】下列说法中，正确的是（ ）
A．两条射线组成的图形叫做角
B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角
C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
D．角的边越长，角越大
【变式1-2】如图所示，图中可以用一个字母表示的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】如图，
(1)用不同的方法表示图中以D为顶点的角；
(2)写出以B为顶点的角与边；
(3)画出DA'，使∠ADA'成平角，写出它的边．
【题型2 角的单位换算】
【例2】关于度、分、秒的换算．
（1）56°18'用度表示；
（2）12°32'24″用度表示；
（3）12.31°用度、分、秒表示．
【变式2-1】比较大小：60°25' 60.25°（填“>”，“<”或“=”）．
【变式2-2】计算
（1）34°41′25″×5；
（2）72°35′÷2＋18°33′×4．
【变式2-3】若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（ ）
A．∠C＞∠A＞∠BB．∠C＞∠B＞∠A
C．∠A＞∠C＞∠BD．∠A＞∠B＞∠C
【知识点2 钟表上有关夹角问题】
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【题型3 钟表上有关角的计算】
【例3】某同学走进教室发现黑板前的钟表为8：30，他想知道再过多长时间分针能和时针第一次重合．假设钟表走时准确，请问再过 分钟．
【变式3-1】实验中学上午10:10时通常准时上第三节课，此时时针与分针所夹的角是（ ）
A．105°B．110°C．115°D．120°
【变式3-2】小明下午4点多外出购物，当时钟面上的时针与分针的夹角恰好为88∘，下午不到5点回家时，时针与分针的夹角又是88∘，则小明外出的时间是 分钟．
【变式3-3】钟面角是指时钟的时针和分针所成的角．例如：六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°；七点钟的时候，时针与分针所成钟面角为150°．那么从六点钟到七点钟这一个小时内，哪些时刻时针与分针所成钟面角为100°？请写出具体时刻： ．（结果形如6点2311分）
【知识点3 方向角】
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．
【题型4 与方向角有关的计算】
【例4】根据描述标出每个同学家的位置
(1)小红家在学校东偏北30°方向150米处．
(2)学校在小平家北偏西45°方向200米处．
(3)小华家在学校南偏西60°方向100米处．
(4)小刚家在学校西偏北30°方向150米处．
【变式4-1】从海岛A 点观察海上两艘轮船 B、C．轮船B在点A的北偏东 60°25'方向；轮船C在点A的南偏东15°37'方向，则∠BAC= ．
【变式4-2】如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（ ）
A．85°B．105°C．125°D．160°
【变式4-3】如图，货轮甲从港口O出发，沿东偏南60°的方向航行20海里后到达A处．（已知四个圆圈的半径（由小到大）分别是5海里，10海里，15海里，20海里．）
（1）写出在港口O观测灯塔B，C的方向及它们与港口的距离；
（2）已知灯塔D在港口O的南偏西30°方向上，且与灯塔B相距35海里，在图中标出灯塔D的位置．
（3）货轮乙从港口O出发，沿正东方向航行15海里到达P处后，需把航行方向调整到与货轮甲的航行方向一致，此时货轮乙应向左（或右）转多少度？并画出货轮乙航行线路示意图．
【题型5 角的计数问题】
【例5】解答下列各题
（1）如图，在∠AOB中，以O为顶点引射线，填表：
（2）若∠AOB内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论．
（3）若∠AOB内有射线条数是2020，则角的总个数为多少？
【变式5-1】如图，从点O出发的5条射线，可以组成的锐角的个数是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【变式5-2】如图，从点O引出的射线（任两条不共线）条数与角的总个数有如下关系：从点O引出两条射线形成1个角；如图1从点O引出3条射线共形成3个角；如图2从点O引出4条射线共形成6个角；如图3从点O引出5条射线共形成10个角；
（1）观察操作：当从点O引出6条射线共形成有 个角；
（2）探索发现：如图4当从点O引出n条射线共形成 个角；（用含n的式子表示）
（3）实践应用：8支篮球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），总的比赛场数为 场．如果n支篮球队进行主客场制单循环赛（参加的每个队都与其它所有队各赛2场）总的比赛场数是 场．
【变式5-3】在锐角∠AOB内部由O点引出3种射线，第1种是将∠AOB分成10等份；第2种是将∠AOB分成12等份；第3种是将∠AOB分成15等份，所有这些射线连同OA､OB可组成的角的个数是（ ）
A．595B．406C．35D．666
【知识点4 角的比较与运算】
角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
【题型6 角的比较】
【例6】如图所示，∠AOB=∠DOE，∠BOC<∠COD，试比较∠AOC和∠COE的大小关系．
【变式6-1】已知∠α与∠β都小于平角，在平面内把这两个角的一条边重合，若∠α的另一条边恰好落在∠β的内部，则（）．
A．∠α<∠βB．∠α=∠βC．∠α>∠βD．不能比较∠α与∠β的大小
【变式6-2】如图，已知直线AB与射线OP相交于点O，点C是OA上一点，且∠AOP=90°. 用尺规完成作图：
(1)在射线OB上截取OD，使OD=OC；在射线OP上取一点E，OE=2OC，连接CE、DE；比较线段CE与DE的大小，并直接写出结论；
(2)在射线OP上取一点Q(不同于点O，E)，连接CQ、DQ，比较∠CED与∠CQD的大小，并直接写出结论.
【变式6-3】学习了角的大小比较后，我们知道利用度量法可以进行两个角的大小比较C、D为一个量角器在AB上方边缘上的两个动点，连接CO、DO．
(1)当C，D两点运动到如图1所示的位置时，请你直接由量角器读出∠COB=______°，∠DOA=______°；
(2)若OD从OA出发以每秒8°的速度向终边OB运动，同时OC从OB出发，以每秒10°的速度向终边OA运动，运动时间为t，当CO⊥DO时，运动时间t是多少？
(3)如图2，过点O作AB的垂线与量角器的边缘交于点E，若∠COD=60°，OF是∠COE的平分线，OD从OA出发，当C与B重合时停止运动，请探究这个运动过程中，∠DOE与∠COF的数量关系．
【知识点5 角的和差关系】
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．
【题型7 与角平分线相关的角的运算】
【例7】如图，O为直线AD上一点，以O为顶点作∠COE=90°，射线OF平分∠AOE．
(1)如图①，∠AOC与∠DOE的数量关系为______；
(2)如图①，如果∠AOC=60°，求∠COF的度数；
(3)若将图①中的∠COE绕点O旋转至图②的位置，OF依然平分∠AOE，若∠AOC=α，请猜想∠COF的度数（可用α表示），并说明理由．
【变式7-1】如图，点O为直线AB上一点，∠COD=90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
(1)若∠AOE=10°，求∠BOD的度数；
(2)若∠AOC:∠COB=2:13，求∠BOF的度数．
【变式7-2】解答下列问题
如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．
(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．
(2)如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ= （表示出所有可能的结果探索新知）．
(3)如图3，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ= （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．
【变式7-3】已知：O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．
图1 图2 图3
(1)如图1，若∠COF=34°，则∠BOE= ；若∠COF=m°，则∠BOE= ；∠BOE与∠COF的数量关系为 ．
(2)在图2中，若∠COF=75°，在∠BOE内部是否存在一条射线OD，使得2∠BOD+∠AOF=13∠BOE−∠BOD？若存在，请求出∠BOD，若不存在，请说明理由．
(3)当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3所示的位置时，直接写出∠BOE与∠COF的数量关系．
【题型8 与角n等分线相关的角的运算】
【例8】如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线OC为∠AOB的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）
(1)角的三等分线________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，∠AOB=45°，射线OC为∠AOB的“幸福线”，求∠AOC的度数；
(3)如图②，已知∠AOB=60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0【变式8-1】已知∠AOB＝120°，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线．
(1)若OC平分∠AOB，
①依题意补全图1；
②∠MON的度数为 ．
(2)当射线OC绕点O在∠AOB的内部旋转时，∠MON的度数是否改变？若不变，求∠MON的度数；若改变，说明理由．
【变式8-2】定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1:2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ=x，则∠MON用含x的代数式表示为（ ）
A．94x或3x或92xB．94x或3x或9xC．94x或92x或9xD．3x或92x或9x
【变式8-3】综合与实践
【问题发现】在数学探究课上，王老师带领同学们结束角平分线的探究后，安排同学打自主探究角的三等分线．小明进行了如下探究，如图①，若射线OC，OD是∠AOB的三等分线，则称更靠近OA边的射线OC是射线OA的“友好线”，靠近OB边的射线OD是射线OB的“友好线”．
(1)如图②，∠AOB=150°，射线OP是射线OA的友好线，求∠AOP的度数．
(2)【问题探究】如图③，∠AOB=120°，射线OQ与射线OA重合并绕点O以每秒4°的速度逆时针方向旋转，与射线OB重合时停止．问旋转几秒后，OQ是OB的“友好线”．
(3)【问题拓展】如图④，∠AOB=180°，射线OM，ON分别与射线OA，OB重合，射线OM绕点O以每秒4°的速度逆时针方向旋转，同时射线ON绕点O以每秒2°的速度顺时针方向旋转，是否存在某一刻OM恰好是ON的“友好线”，若存在，求出时间t秒；若不存在，请说明理由．
【题型9 在三角板中的角的运算】
【例9】如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合．若三角尺②的一条直角边与AC边的夹角为40°，则三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角不可能是（ ）
A．20°B．80°C．100°D．150°
【变式9-1】如图所示，以直线AB上的一点O为端点，在直线AB的上方作射线OP，使∠BOP=70°．将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（∠MON=90°）在直线AB的上方．设∠BOM=n° 0
(1)当n=32时，求∠PON的大小；
(2)若0【变式9-2】（1）探究：在①15∘，②25∘，③35∘，④45∘，⑤65∘中，乐乐同学只利用一副三角板能画出来的角是；__________（填序号）
（2）在探究过程中他发现：如图1，他先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45∘角（∠AOB的顶点与60∘角（∠COD的顶点互相重合，且边OA､OC都在直线EF上．固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向每秒旋转5∘（如图2），当边OB第一次落在射线OF上时停止．在此过程中，若旋转时间为t秒，请用t表达下列角度．∠AOE=__________°．∠BOC=__________°．
（3）在此过程中，是否存在一个时间t（秒），使∠BOC=3∠AOD？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
【变式9-3】综合与实践
在一次数学综合实践课上，王老师提出了这样一个问题．
将一副三角板按如图1所示方式摆放，分别作出∠AOC,∠BOD的平分线OM,ON，然后提出问题：求∠MON的度数．
明明与同桌丽丽讨论后，进行了如下解答：
【特殊情况，探索思路】
将三角板分别按图2，图3所示的方式摆放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的平分线，其中，按图2方式摆放时，可以看成是ON,OD,OB在同一条直线上，按图3方式摆放时，∠AOC和∠BOD相等．
(1)直接写出计算结果：图2中∠MON的度数为_______，图3中∠MON的度数为_______；
(2)【特例启发，解答题目】
猜想在图1所示的一般情况下∠MON的度数，并说明理由；
(3)【核心素养，方法总结】
你觉得明明和丽丽解决以上问题的方法，用到了_______数学思想
A．由特殊到一般 B．方程思想 C．分类讨论 D．逆向思考
(4)【拓展结论，设计新题】
若将王老师出示的题目中条件“分别作出∠AOC,∠BOD的平分线OM,ON”改为“分别作出射线OM,ON，使∠AOM=45∠AOC,∠DON=15∠BOD”，请你直接写出∠MON的度数．
【题型10 余角和补角的计算】
【例10】如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
(1)写出图中∠AOD的补角，∠BOE的补角；
(2)∠COD与∠EOC互余吗？为什么？
【变式10-1】一个锐角的补角与它的余角的度数差是 度．
【变式10-2】若∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系是（ ）
A．∠1=∠3B．∠3=90°
C．∠3=180°−∠1D．∠3=90°+∠1
【变式10-3】如图，O为直线AB上一点，∠COD=90°，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，OF平分∠BOD，下列结论：①∠EOG=90°；②∠DOE与∠BOF互补；③∠AOC−∠BOD=90°；④∠DOG=12∠AOC．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．
【题型11 同（等）角的余角和补角相等的运用】
【例11】如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE=∠COF=90°，图中与∠BOC互补的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式11-1】如图所示，∠AOC与∠BOD都是直角，且∠AOB∶∠AOD＝2∶11，则∠AOB＝（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
【变式11-2】如图，∠AOC=∠BOD=90°.
(1)直接写出图中一组相等的锐角；
(2)设∠DOC=α，∠AOB=β，求β与α之间的关系式；
(3)请在备用图中，仅利用三角板画出∠MPN，使∠MPN=∠EPF.（不写作法，保留作图痕迹）
【变式11-3】如图，平面内∠AOB=∠COD=90°，∠COE=∠BOE，OF平分∠AOD，则以下结论：①∠AOE=∠DOE；②∠AOD+∠COB=180°；③∠COB−∠AOD=90°；④∠COE+∠BOF=180°．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．0个
专题4.4 角的比较与补（余）角【十一大题型】
【沪科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc31502" 【题型1 角的相关概念辨析】 PAGEREF _Tc31502 \h 1
\l "_Tc276" 【题型2 角的单位换算】 PAGEREF _Tc276 \h 4
\l "_Tc1464" 【题型3 钟表上有关角的计算】 PAGEREF _Tc1464 \h 7
\l "_Tc7001" 【题型4 与方向角有关的计算】 PAGEREF _Tc7001 \h 9
\l "_Tc30909" 【题型5 角的计数问题】 PAGEREF _Tc30909 \h 13
\l "_Tc10985" 【题型6 角的比较】 PAGEREF _Tc10985 \h 17
\l "_Tc1483" 【题型7 与角平分线相关的角的运算】 PAGEREF _Tc1483 \h 21
\l "_Tc28585" 【题型8 与角n等分线相关的角的运算】 PAGEREF _Tc28585 \h 27
\l "_Tc5745" 【题型9 在三角板中的角的运算】 PAGEREF _Tc5745 \h 34
\l "_Tc14622" 【题型10 余角和补角的计算】 PAGEREF _Tc14622 \h 41
\l "_Tc32630" 【题型11 同（等）角的余角和补角相等的运用】 PAGEREF _Tc32630 \h 43
【知识点1 角的概念及其表示方法】
定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．
【题型1 角的相关概念辨析】
【例1】完成以下各题．
(1)写出图中能用一个字母表示的角；
(2)写出图中以A为顶点的角；
(3)图中共有几个角？
【答案】(1)能用一个字母表示的角有2个：∠B，∠D
(2)以A为顶点的角有6个：∠BAD，∠BAC，∠BAE，∠DAC，∠CAE，∠DAE
(3)图中所有的角有11个：∠BAD，∠BAC，∠BAE，∠DAC，∠CAE，∠DAE，∠D，∠ACD，∠ACB，∠BCD，∠B
【分析】（1）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案；
（2）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案；
（3）根据角的概念即可得到答案．
【详解】（1）能用一个字母表示的角有2个：∠B，∠D；
（2）以A为顶点的角有6个：∠BAD，∠BAC，∠BAE，∠DAC，∠CAE，∠DAE；
（3）图中所有的角有11个：∠BAD，∠BAC，∠BAE，∠DAC，∠CAE，∠DAE，∠D，∠ACD，∠ACB，∠BCD，∠B．
【点睛】本题主要考查了角的概念．从一点引出两条射线组成的图形就叫做角．
【变式1-1】下列说法中，正确的是（ ）
A．两条射线组成的图形叫做角
B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角
C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
D．角的边越长，角越大
【答案】C
【分析】根据角的动态定义和角的静态定义解答．
【详解】解：A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故此选项不符合题意；
B、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故此选项不符合题意；
C、角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，故此选项符合题意；；
D、角度的大小与边的长短无关，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了角的动态定义，解题关键是熟练掌握角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．角的静态定义：具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角．这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边．
【变式1-2】如图所示，图中可以用一个字母表示的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案．
【详解】解：能用一个字母表示的角有2个：∠A，∠C；
故选B．
【点睛】本题考查了角的概念，能数出符合的所有角是解题的关键．
【变式1-3】如图，
(1)用不同的方法表示图中以D为顶点的角；
(2)写出以B为顶点的角与边；
(3)画出DA'，使∠ADA'成平角，写出它的边．
【答案】(1)∠ADB或∠1或∠D
(2)角为∠CBD（或∠B或∠2），边是BD，BC
(3)图见解析，边是DA，DA'
【分析】（1）根据角的表示方法即可得到答案；
（2）根据角的表示方法和边的定义即可得到答案；
（3）根据平角的定义和边的定义即可得到答案．
【详解】（1）解：由图可得：
用三个字母表示以D为顶点的角为：∠ADB，
用一个字母表示以D为顶点的角为：∠D，
用数字表示以D为顶点的角为：∠1，
故答案为：∠ADB或∠1或∠D．
（2）解：解：由图可得：
用三个字母表示以B为顶点的角为：∠CBD，
用一个字母表示以B为顶点的角为：∠B，
用数字表示以B为顶点的角为：∠2，
以B为顶点边是BD，BC，
故答案为：角为∠CBD（或∠B或∠2），边是BD，BC．
（3）解：如图，DA'是射线DA的反向延长线，
则∠ADA'成平角，∠ADA'的边是DA，DA'．
【点睛】本题考查角的概念，熟练掌握角的概念与表示方法是解题的关键．
【题型2 角的单位换算】
【例2】关于度、分、秒的换算．
（1）56°18'用度表示；
（2）12°32'24″用度表示；
（3）12.31°用度、分、秒表示．
【答案】（1）56.3°．（2）12.54°．（3）12°18'36″．
【分析】（1）将18'转化为18×(160)°=0.3°即可得到答案；
（2）将24″转化为24×(160)'=0.4'，32.4'转化为32.4×(160)°=0.54°即可得到答案；
（3）将0.31°转化为0.31×60'=18.6'，将0.6'转化为0.6×60″=36″即可得到答案．
【详解】（1）56°18'=56°+18'=56°+18×(160)°=56.3°；
（2）12°32'24″
=12°+32'+24″
=12°+32'+24×(160)'
=12°+32.4'
=12°+32.4×(160)°
=12.54°；
（3）12.31°=12°+0.31°
=12°+0.31×60'
=12°+18.6'
=12°+18'+0.6'
=12°+18'+0.6×60″
=12°+18'+36″
=12°18'36″．
【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．
【变式2-1】比较大小：60°25' 60.25°（填“>”，“<”或“=”）．
【答案】>
【分析】先把单位化统一，再比较大小即可到答案．
【详解】解：∵60.25°=60°+0.25°=60°15'，
∴60°25'>60.25°，
故答案为：>
【点睛】本题考查了角的大小比较，注意单位要化统一，掌握1°=60'是解题关键．
【变式2-2】计算
（1）34°41′25″×5；
（2）72°35′÷2＋18°33′×4．
【答案】（1）173°27′5″；（2）110°29′30″．
【分析】（1）根据角度与整数的乘法法则计算即可；
（2）根据角度的四则混合运算法则计算即可．
【详解】（1）34°41′25″×5
＝（34°＋41′＋25″）×5
＝34°×5＋41′×5＋25″×5
＝170°＋205′＋125″
＝173°27′5″；
（2）72°35′÷2＋18°33′×4
＝36°17′30″＋72°132′
＝110°29′30″．
【点睛】本题主要考查了角度的运算，正确理解角度的60进制是解答本题的关键．
【变式2-3】若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（ ）
A．∠C＞∠A＞∠BB．∠C＞∠B＞∠A
C．∠A＞∠C＞∠BD．∠A＞∠B＞∠C
【答案】D
【分析】先把∠C的度数化成度、分、秒，再进行比较，即可得到答案．
【详解】∵∠C＝30.25°＝30°+0.25°
0.25°＝0.25×60′＝15′，
∴∠C＝30°15′，
∵∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，
∴∠A＞∠B＞∠C
故选：D．
【点睛】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，解题的关键是正确进行度分秒之间的换算，从而完成求解．
【知识点2 钟表上有关夹角问题】
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【题型3 钟表上有关角的计算】
【例3】某同学走进教室发现黑板前的钟表为8：30，他想知道再过多长时间分针能和时针第一次重合．假设钟表走时准确，请问再过 分钟．
【答案】15011
【分析】由钟表旋转可得每过一分钟时针转过的角度为0.5度，分针每分钟走6度，设再过x分钟，分针与时针第一次重合，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：钟表上一周是360度，有12个大格，
∴每个大格的度数为：360÷12=30度，
一个大格有5个小格，
∴每个小格的度数为：30÷5=6度，
一小时是60分钟，每过一分钟时针转过的角度为：30÷60=0.5度，分针每分钟走6度，
设再过x分钟，分针与时针第一次重合，
根据题意得：0.5x+60+0.5×30=6x，
解得：x=15011，
故答案为：15011．
【点睛】题目主要考查钟面角度的计算及一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
【变式3-1】实验中学上午10:10时通常准时上第三节课，此时时针与分针所夹的角是（ ）
A．105°B．110°C．115°D．120°
【答案】C
【分析】时钟上每一大格是30°，此时时针与分针所夹的角是30°×4减去时针转动的度数．
【详解】解：时钟上每一大格是30°，
∵10:10时时针与分针之间有四个大格，且此时时针转动30°×10÷60=5°，
∴此时时针与分针所夹的角是30°×4−5°=115°，
故选：C．
【点睛】本题考查时间的推算和角度的计算，明确时钟上每一大格是30°和时针转动的度数是解题的关键．
【变式3-2】小明下午4点多外出购物，当时钟面上的时针与分针的夹角恰好为88∘，下午不到5点回家时，时针与分针的夹角又是88∘，则小明外出的时间是 分钟．
【答案】32
【分析】根据题意，设小明外出到回家时针走了x°，则分针走了2×88°+x°，可得到时针的度数，又因为时针每小时走30°，故小明外出用的时间可求．
【详解】解：设时针从小明外出到回家走了x°，则分针走了2×88°+x°，由题意，得2×88°+x°360°=x°30°，
解得x=16°，
∵时针每小时走30°，
∴16°30°=3260小时，
即小明外出用了32分钟时间．
故答案为：32
【点睛】本题考查应用类问题，钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动112°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立方程求解．
【变式3-3】钟面角是指时钟的时针和分针所成的角．例如：六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°；七点钟的时候，时针与分针所成钟面角为150°．那么从六点钟到七点钟这一个小时内，哪些时刻时针与分针所成钟面角为100°？请写出具体时刻： ．（结果形如6点2311分）
【答案】6点16011分或6点56011
【分析】设6点m分时，时针与分针所成钟面角为100°，根据时针与分针的角度差为100°，分时针与分针重合前以及重合后分别列出方程即可求解．
【详解】解：设6点m分时，时针与分针所成钟面角为100°，时针每分钟转30°60=0.5°，分针每分钟转6°，六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°，依题意得
分时针与分针重合前，0.5m+180−6m=100，
解得：m=16011
分时针与分针重合后，6m−0.5m+180=100，
解得：m=56011
故答案为：6点16011分或6点56011．
【点睛】本题考查了钟面角的计算，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键．
【知识点3 方向角】
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．
【题型4 与方向角有关的计算】
【例4】根据描述标出每个同学家的位置
(1)小红家在学校东偏北30°方向150米处．
(2)学校在小平家北偏西45°方向200米处．
(3)小华家在学校南偏西60°方向100米处．
(4)小刚家在学校西偏北30°方向150米处．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）利用方向角的定义即可解答；
（2）利用方向角的定义即可解答；
（3）利用方向角的定义即可解答；
（4）利用方向角的定义即可解答．
【详解】（1）如图所示，
（2）如图所示，
（3）如图所示，
（4）如图所示，
【点睛】本题考查了用坐标表示地理位置，正确掌握方向角的定义是解题的关键．
【变式4-1】从海岛A 点观察海上两艘轮船 B、C．轮船B在点A的北偏东 60°25'方向；轮船C在点A的南偏东15°37'方向，则∠BAC= ．
【答案】103°58'
【分析】首先根据题意画出草图，然后由方向角的定义，确定AB、AC与正北方向、正南方向的夹角；然后根据角的关系计算，即可求出∠BAC的度数．
【详解】解：如图，
∵轮船B在点A的北偏东60°25'方向；轮船C在点A的南偏西15°37'方向，
∴∠ABC=180°−60°25'−15°37'=103°58'．
故答案为：103°58'．
【点睛】本题主要考查了与方向角有关的计算，解决本题的关键是掌握方向角的定义．
【变式4-2】如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（ ）
A．85°B．105°C．125°D．160°
【答案】C
【分析】首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．
【详解】根据题意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，
故选：C．
【点睛】本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键．
【变式4-3】如图，货轮甲从港口O出发，沿东偏南60°的方向航行20海里后到达A处．（已知四个圆圈的半径（由小到大）分别是5海里，10海里，15海里，20海里．）
（1）写出在港口O观测灯塔B，C的方向及它们与港口的距离；
（2）已知灯塔D在港口O的南偏西30°方向上，且与灯塔B相距35海里，在图中标出灯塔D的位置．
（3）货轮乙从港口O出发，沿正东方向航行15海里到达P处后，需把航行方向调整到与货轮甲的航行方向一致，此时货轮乙应向左（或右）转多少度？并画出货轮乙航行线路示意图．
【答案】（1）灯塔B的方向是东偏北60°，灯塔C的方向是正北方向，灯塔B与港口O相距离20海里，灯塔C与港口O相距离10海里；（2）详见解析；（3）货轮乙应向右转60°，画图见解析
【分析】（1）根据方位角的定义以及题意可求出港口O观测灯塔B，C的方向及它们与港口的距离；（2）根据方位角的定义即可找出灯塔D的位置；（3）根据甲的方向航行以及乙的航行方向可求出货轮乙应向左（或右）转的角度，以及航行线路示意图.
【详解】（1）灯塔B的方向是东偏北60°，
灯塔C的方向是正北方向，
灯塔B与港口O相距离20海里，
灯塔C与港口O相距离10海里；
（2）灯塔D的位置如图所示；
（3）∵甲沿东偏南60°航行，乙沿正东方向航行
要使乙与甲的航行方向一致
∴货轮乙应向右转60°即顺时针转60°，
航行线路如图所示．
【点睛】本题主要考查了方向角含义，理解方向角的定义是解决本题的关键．
【题型5 角的计数问题】
【例5】解答下列各题
（1）如图，在∠AOB中，以O为顶点引射线，填表：
（2）若∠AOB内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论．
（3）若∠AOB内有射线条数是2020，则角的总个数为多少？
【答案】（1）3，6，10，15；（2）12(n+1)(n+2)；（3）2043231
【分析】（1）若∠AOB内射线的条数是n，可构成12(n+1)(n+2)个角，依据规律回答即可；
（2）若∠AOB内射线的条数是n，可构成12(n+1)(n+2)个角，依据规律回答即可；
（3）把2020代入12(n+1)(n+2)求解即可．
【详解】解：（1）填表如下：
（2）当n=1时，角总个数为：1+2=3，
当n=2时，角总个数为：1+2+3=6，
当n=3时，角总个数为：1+2+3+4=10，
当n=4时，角总个数为：1+2+3+4+5=15，
...
当n=n时，角总个数为：
1+2+3+4+5+⋯+(n+1)=12(n+1)(n+2)，
即∠AOB内射线的条线是n时，
角总个数为：12(n+1)(n+2)
（3）当∠AOB内有射线条数是2020时，
角总个数为：12×2021×2022=2043231（个）．
【点睛】本题主要考查的是角的概念，掌握其规律是解题的关键．有公共顶点的n条射线，一共可构成12n（n-1）个角．
【变式5-1】如图，从点O出发的5条射线，可以组成的锐角的个数是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【分析】每一条射线都分别与其它的射线组成一个角，如图所示，若从点O出发的n条射线，可以组成角的个数是nn−12
【详解】解：组成角的个数是nn−12=5×5−12=10
故选C．
【点睛】此题主要考查了角的概念以及应用，要熟练掌握．利用公式：从点O出发的n条射线，组成角的个数为nn−12，是解决问题的关键．
【变式5-2】如图，从点O引出的射线（任两条不共线）条数与角的总个数有如下关系：从点O引出两条射线形成1个角；如图1从点O引出3条射线共形成3个角；如图2从点O引出4条射线共形成6个角；如图3从点O引出5条射线共形成10个角；
（1）观察操作：当从点O引出6条射线共形成有 个角；
（2）探索发现：如图4当从点O引出n条射线共形成 个角；（用含n的式子表示）
（3）实践应用：8支篮球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），总的比赛场数为 场．如果n支篮球队进行主客场制单循环赛（参加的每个队都与其它所有队各赛2场）总的比赛场数是 场．
【答案】 15 nn−12 28 n(n－1)
【分析】（1）观察图形可知， 2条射线组成1个角，3条射线就可以组成2+1=3个角，4条射线可以组成3+2+1=6个角，依此可得6条射线组成角的个数是1+2+3+4+5然后计算即可；
（2）根据（1）的规律可知：n条射线组成角的个数是1+2+3+…+（n-1），然后计算即可；
（3）将每只球队当作一条射线，每场单循环赛当作一个角，然后利用（2）的规律解答即可；
【详解】解：（1）观察图形可知，2条射线组成1个角，3条射线就可以组成2+1=3个角，4条射线可以组成3+2+1=6个角，依此可得6条射线组成角的个数是1+2+3+4+5=15；
（2）根据（1）的规律可知：n条射线组成角的个数是1+2+3+…+（n-1）=nn−12；
（3）将每只球队当作一条射线，每场单循环赛当作一个角，所以8支篮球队进行单循环比赛相当于8条射线可以组成的角，即比赛场数88−12=28；
如果n支篮球队进行主客场制单循环赛（参加的每个队都与其它所有队各赛2场）总的比赛场数是nn−12×2= n(n－1).
故答案为（1）15，（2）nn−12，（3）28, n(n－1).
【点睛】考查了数角的个数、归纳总结规律以及迁移应用规律的能力，根据题意总结规律和迁移应用规律是解答本题的关键．
【变式5-3】在锐角∠AOB内部由O点引出3种射线，第1种是将∠AOB分成10等份；第2种是将∠AOB分成12等份；第3种是将∠AOB分成15等份，所有这些射线连同OA､OB可组成的角的个数是（ ）
A．595B．406C．35D．666
【答案】B
【分析】设锐角∠AOB=α，第1种中间由9条射线，每个小角为α10，第2种中间由11条射线，每个小角为α12，第3种中间由14条射线，每个小角为α15，利用∠AOB内部的三种射线与OA形成的角相等求出重合的射线，第一种第m被倍小角为mα10，第二种n倍小角nα12，与第三种p倍小角pα15相同，则m10=n12=p15，先看三种分法中无同时重合的，再看每两种分法重合情况，第1种, 第2种,共重合1条，第1种,第3种，共重合4条，，第2种,第3种,共重合2条，在∠AOB中一共有射线数29条射线，29条射线分成的小角最多28个，所有角=1+2+3+…+28求和即可．
【详解】设锐角∠AOB=α
第1种是将∠AOB分成10等份；中间由9条射线，每个小角为α10，
第2种是将∠AOB分成12等份；中间由11条射线，每个小角为α12，
第3种是将∠AOB分成15等份，中间由14条射线，每个小角为α15，
设第1种, 第2种，第3种中相等的角的射线重合为1条，
第一种第m倍小角为mα10，第二种n倍小角nα12，与第三种p倍小角pα15相同
则m10=n12=p15，
先看三种分法中同时重合情况m:n:p=10:12:15除OA，OB外没有重合的，
再看每两种分法重合情况
第1种, 第2种, m:n=5:6，第一种第5条与第二种第6条重合，共重合1条，
第1种,第3种，m:p=2:3，m=2，4，6，8,与P=3，6，9，12重合，共重合4条，
第2种,第3种, n:p=4:5,n=4，8与p=5，10重合，共重合2条，
在∠AOB中一共有射线数=2+9+11+14-1-2-4=29条射线，
29条射线分成的所有角=1+2+3+…+28=12×28×28+1=406个角．
故选择：B．
【点睛】本题考查射线分角问题，不同角的个数求法，掌握掌握三种分法中排出重合射线的条数是解题关键．
【知识点4 角的比较与运算】
角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
【题型6 角的比较】
【例6】如图所示，∠AOB=∠DOE，∠BOC<∠COD，试比较∠AOC和∠COE的大小关系．
【答案】∠AOC< ∠COE．详见解析
【分析】由∠AOC=∠AOB+∠BOC,∠COE=∠DOE+∠COD，∠AOB=∠DOE，∠BOC<∠COD可直接判定大小关系．
【详解】因为∠AOC=∠AOB+∠BOC,∠COE=∠DOE+∠COD，∠AOB=∠DOE，∠BOC<∠COD；
所以可得∠AOC< ∠COE．
故答案为∠AOC< ∠COE．
【点睛】本题主要考查角的大小比较，关键是根据图形得到∠AOC和∠COE的等量关系式，然后根据已知条件进行比较即可．
【变式6-1】已知∠α与∠β都小于平角，在平面内把这两个角的一条边重合，若∠α的另一条边恰好落在∠β的内部，则（）．
A．∠α<∠βB．∠α=∠βC．∠α>∠βD．不能比较∠α与∠β的大小
【答案】A
【分析】如图所示，∠AOC=∠β，∠BOC=∠α，∠AOC＞∠BOC，∠α<∠β．
【详解】解：如图所示，∠AOC=∠β，∠BOC=∠α，
∵∠AOC＞∠BOC，
∴∠α<∠β，
故选A．
【点睛】本题主要考查了角的大小比较，解题的关键在于能够画出图形进行求解．
【变式6-2】如图，已知直线AB与射线OP相交于点O，点C是OA上一点，且∠AOP=90°. 用尺规完成作图：
(1)在射线OB上截取OD，使OD=OC；在射线OP上取一点E，OE=2OC，连接CE、DE；比较线段CE与DE的大小，并直接写出结论；
(2)在射线OP上取一点Q(不同于点O，E)，连接CQ、DQ，比较∠CED与∠CQD的大小，并直接写出结论.
【答案】(1)CE=DE
(2)当点Q在线段OE上时，∠CED<∠CQ1D，当点Q在射线EP上时，∠CED>∠CQ2D
【分析】（1）按照作一条线段等于已知线段的作法作图即可.
（2）分两种情况：①Q点在线段OE上，②Q点在线段EP上，作出图形即可比较大小.
【详解】（1）如图，点D、E即为所求，且CE=DE.
（2）如图，当Q点在线段OE上时，∠CED<∠CQ1D，
当点Q在射线EP上时，∠CED>∠CQ2D.
【点睛】本题主要考查了比较线段的大小和比较角的大小，解题的关键是根据题意正确的作出图形.
【变式6-3】学习了角的大小比较后，我们知道利用度量法可以进行两个角的大小比较C、D为一个量角器在AB上方边缘上的两个动点，连接CO、DO．
(1)当C，D两点运动到如图1所示的位置时，请你直接由量角器读出∠COB=______°，∠DOA=______°；
(2)若OD从OA出发以每秒8°的速度向终边OB运动，同时OC从OB出发，以每秒10°的速度向终边OA运动，运动时间为t，当CO⊥DO时，运动时间t是多少？
(3)如图2，过点O作AB的垂线与量角器的边缘交于点E，若∠COD=60°，OF是∠COE的平分线，OD从OA出发，当C与B重合时停止运动，请探究这个运动过程中，∠DOE与∠COF的数量关系．
【答案】(1)45，60
(2)运动时间是5s或15s时，CO⊥DO．
(3)当0°<α≤30°时，∠COF=12∠DOE−30°；当30°<α≤90°时，∠COF=−12∠DOE+30°；当90°<α≤120°时，∠COF=12∠DOE+30°．
【分析】（1）根据量角器的读法读数即可；
（2）分情况讨论：当C在D的右边时；当C在D的左边时，列出关于t的方程求解即可；
（3）设∠DOA=α，分情况讨论：当0°<α≤30°时， 当30°<α≤90°时，当90°<α≤120°时，表示出∠DOE，∠COF，即可求出∠DOE与∠COF的数量关系．
【详解】（1）解：由图可知：∠COB=45°，∠DOA=60°，
故答案为：45，60
（2）如图1，当C在D的右边时，8t+10t=90，解得t=5；
如图2，当C在D的左边时，8t+10t=180+90，解得t=15
答：运动时间是5s或15s时，CO⊥DO．
（3）设∠DOA=α，
当0°<α≤30°时，如图3，∠DOE=90°−α，∠COF=90°−α−60°2，
∴∠COF=12∠DOE−30°
当30°<α≤90°时，如图4，∠DOE=90°−α，∠COF=α+60°−90°2，
∴∠COF=−12∠DOE+30°
当90°<α≤120°时，如图5，∠DOE=α−90°，∠COF=α+60°−90°2，
∴∠COF=12∠DOE+30°
综上，当0°<α≤30°时，∠COF=12∠DOE−30°；
当30°<α≤90°时，∠COF=−12∠DOE+30°；
当90°<α≤120°时，∠COF=12∠DOE+30°；
【点睛】本题考查角的度量，角之间的关系，垂直，解题的关键是熟练掌握量角器的使用方法，结合图形求解，注意分情况讨论．
【知识点5 角的和差关系】
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．
【题型7 与角平分线相关的角的运算】
【例7】如图，O为直线AD上一点，以O为顶点作∠COE=90°，射线OF平分∠AOE．
(1)如图①，∠AOC与∠DOE的数量关系为______；
(2)如图①，如果∠AOC=60°，求∠COF的度数；
(3)若将图①中的∠COE绕点O旋转至图②的位置，OF依然平分∠AOE，若∠AOC=α，请猜想∠COF的度数（可用α表示），并说明理由．
【答案】(1)∠AOC+∠DOE=90°
(2)∠COF=15°
(3)∠COF=45°+a2，理由见解析
【分析】（1）根据已知条件和图形可知：∠COE=90°，∠COE+∠AOC+∠DOE=180°，从而可以得到∠AOC与∠DOE的数量关系；
（2）先求出∠AOE，根据射线OF平分∠AOE，得到∠AOF=12∠AOE，再利用∠COF=∠AOF−∠AOC即可求解；
（3）利用∠AOC=α，表示出∠AOE，再利用OF平分∠AOE，得到∠AOF，再写出∠COF的度数．
【详解】（1）解：∵∠COE=90°，∠COE+∠AOC+∠DOE=180°，
∴∠AOC+∠DOE=90°，
故答案为：∠AOC+∠DOE=90°；
（2）∠COF=15°
理由如下：
∵∠AOC=60°，∠COE=90°，
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=150°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=12∠AOE=75°，
∴∠COF=∠AOF−∠AOC=75°−60°=15°；
（3）∠COF=45°+a2，理由如下：
∵∠AOC=α，
∴∠AOE=90°−α，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=12∠AOE=45°−a2，
∴∠COF=∠AOC+∠AOF= 45°+a2
【点睛】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是找出各个角之间的关系，利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件．
【变式7-1】如图，点O为直线AB上一点，∠COD=90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
(1)若∠AOE=10°，求∠BOD的度数；
(2)若∠AOC:∠COB=2:13，求∠BOF的度数．
【答案】(1)70°
(2)33°
【分析】（1）由OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，可得∠AOC=2∠AOE=20°，根据∠BOD=180°−∠AOC−∠COD，计算求解即可；
（2）由∠AOC:∠COB=2:13，∠AOC+∠COB=180°，可得∠AOC=180°×215=24°，则∠BOD=180°−∠AOC−∠COD=66°，由OF平分∠BOD，可得∠BOF=12∠BOD，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOC=2∠AOE=20°，
∴∠BOD=180°−∠AOC−∠COD=70°，
∴∠BOD的度数为70°；
（2）解：∵∠AOC:∠COB=2:13，∠AOC+∠COB=180°，
∴∠AOC=180°×215=24°，
∴∠BOD=180°−∠AOC−∠COD=66°，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF=12∠BOD=33°，
∴∠BOF的度数为33°．
【点睛】本题考查了角平分线．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
【变式7-2】解答下列问题
如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．
(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．
(2)如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ= （表示出所有可能的结果探索新知）．
(3)如图3，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ= （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．
【答案】(1)是
(2)30°，20°或40°
(3)12α或13α或23α
【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解答；
(2)根据“巧分线”定义，分∠MPN=2∠MPQ1、∠NPQ2=2∠MPQ2、∠MPQ3=2∠NPQ3三种情况求解即可；
(3) 根据“巧分线”定义，分∠MPN=2∠MPQ1、∠NPQ2=2∠MPQ2、∠MPQ3=2∠NPQ3三种情况求解即可．
【详解】（1）解：如图1：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,
∴根据巧分线定义可得OC是这个角的“巧分线”．
故答案为：是．
（2）解：如图3：①当∠MPN=2∠MPQ1时，则∠MPQ1=12∠MPN=12×60°=30°；
②当∠NPQ2=2∠MPQ2，则∠MPN=∠MPQ2+∠NPQ2=3∠MPQ2=60°，解得：∠MPQ2=20°；
③当∠MPQ3=2∠NPQ3，则∠MPN=∠MPQ3+∠NPQ3=32∠MPQ3=60°，解得：∠MPQ3=40°．
综上，∠MPQ可以为30°，20°，40°．
（3）解：如图3：①当∠MPN=2∠MPQ1时，则∠MPQ1=12∠MPN=12×α=α2；
②当∠NPQ2=2∠MPQ2，则∠MPN=∠MPQ2+∠NPQ2=3∠MPQ2=α，解得：∠MPQ2=13α；
③当∠MPQ3=2∠NPQ3，则∠MPN=∠MPQ3+∠NPQ3=32∠MPQ3=α，解得：∠MPQ3=23α．
综上，∠MPQ可以为α2，13α，23α．
【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“巧分线”的定义是解题的关键．
【变式7-3】已知：O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．
图1 图2 图3
(1)如图1，若∠COF=34°，则∠BOE= ；若∠COF=m°，则∠BOE= ；∠BOE与∠COF的数量关系为 ．
(2)在图2中，若∠COF=75°，在∠BOE内部是否存在一条射线OD，使得2∠BOD+∠AOF=13∠BOE−∠BOD？若存在，请求出∠BOD，若不存在，请说明理由．
(3)当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3所示的位置时，直接写出∠BOE与∠COF的数量关系．
【答案】(1)68°，2m°，∠BOE=2∠COF
(2)存在，15°
(3)2∠COF+∠BOE=360°
【分析】（1）由直角三角形的性质求得∠EOF的度数，再OF平分∠AOE，求得∠AOE的度数，从而求得∠BOE的度数；若∠COF=m°，则∠EOF=90°−m°，由角平分线的定义求得∠AOE=180°−2m°，从而求得∠BOE的度数，进而求得∠BOE=2∠COF；
（2）由∠COF=75°，∠COE=90°，求得∠EOF的度数，再根据角平分线的定义求得∠AOF的度数，再由平角的定义求得∠BOE的度数，再代入2∠BOD+∠AOF=13∠BOE−∠BOD求解即可；
（3）设∠BOE=α，则∠BOC=90°−α，∠AOE=180°−α，由角平分线的定义求得∠EOF=90°−12α，从而求得∠COF=180°−12α，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵∠COF=34°，∠COE=90°，
∴∠EOF=90°−34°=56°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF=112°，
∴∠BOE=180°−112°=68°；
∵∠COF=m°，∠COE=90°，
∴∠EOF=90°−m°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=180°−2m°，
∴∠BOE=180°−180°−2m°=2m°；
∴∠BOE=2∠COF，
故答案为：68°，2m°，∠BOE=2∠COF；
（2）解：存在，理由如下：
∵∠COE=90°，∠COF=75°，
∴∠EOF=15°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=15°，
∴∠BOE=180°−30°=150°，
∵2∠BOD+∠AOF=13∠BOE−∠BOD，
∴2∠BOD+15°=13（150°−∠BOD），
∴∠BOD=15°；
（3）解：∵∠COE=90°，
设∠BOE=α，则∠BOC=90°−α，∠AOE=180°−α，
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF=12180°−α=90°−12α，
∴∠COF=∠BOC+∠BOE+∠EOF=90°−α+α+90°−12α=180°−12α，
即2∠COF+∠BOE=360°．
【点睛】本题考查角平分线的定义及角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义及确定图中各角度之间的关系是解题的关键．
【题型8 与角n等分线相关的角的运算】
【例8】如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线OC为∠AOB的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）
(1)角的三等分线________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，∠AOB=45°，射线OC为∠AOB的“幸福线”，求∠AOC的度数；
(3)如图②，已知∠AOB=60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0【答案】(1)是；
(2)15°，33.75°，11.25°，30°；
(3)t=3613或t=45或t=6．
【分析】（1）若OC为∠AOB的三等分线，则有∠AOB=3∠AOC，符合“幸福线”的定义；
（2）根据“幸福线”的定义可得当∠AOB=3∠AOC时，当∠AOC=3∠BOC时，当∠BOC=3∠AOC时，当∠AOB=3∠BOC时，然后根据角的和差关系进行求解即可；
（3）由题意可分①当0【详解】（1）解：若OC为∠AOB的三等分线，则有∠AOB=3∠AOC，符合“幸福线”的定义，所以角的三等分线是这个角的“幸福线”；
故答案为：是．
（2）解：由题意得：
∵∠AOB=45°，射线OC为∠AOB的“幸福线”，
∴①当∠AOB=3∠AOC时，则有：∠AOC=15°；
②当∠AOC=3∠BOC时，则有∠AOC=34∠AOB=33.75°；
③当∠BOC=3∠AOC时，则有∠AOC=14∠AOB=11.25°；
④当∠AOB=3∠BOC时，则有：∠BOC=15°；∠AOC=30°；
综上所述：当射线OC为∠AOB的“幸福线”时，∠AOC的度数为15°，33.75°，11.25°，30°；
（3）解：∵∠AOB=60°，
∴射线ON与OA重合的时间为60°÷15°=4（秒），
∴当0∴∠MOA=20t°，∠AON=（60−15t）°，
OA是∠MON的“幸福线”，则有以下三类情况：
①∠MOA=3∠MON，即20t=320t+60−15t，t=36（舍去），
②∠MOA=3∠AON，即20t=360−15t，t=3613，
③∠AON=3∠MOA，即60−15t=3×20t，t=45；
④∠AON=3∠MON，即60−15t=3×60+5t，t=−4（舍去）；
当4∴∠MON=（5t+60）°，∠AON=（15t−60）°，
ON是∠AOM的“幸福线”，则有以下三类情况：
①∠MON=3∠MOA，即5t+60=3×20t，t=1211（不符合题意，舍去），
②∠NOA=3∠MOA，即15t−60=3×20t，t=−43（不符合题意，舍去）；
③∠MON=3∠NOA，即5t+60=315t−60，t=6；
④∠NOA=3∠MON，即15t−60=35t+60，t不存在；
综上：t=3613或t=45或t=6．
【点睛】本题主要考查角的三等分点的计算及角的动点问题，熟练掌握角的三等分点的计算及角之间的和差关系是解题的关键．
【变式8-1】已知∠AOB＝120°，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线．
(1)若OC平分∠AOB，
①依题意补全图1；
②∠MON的度数为 ．
(2)当射线OC绕点O在∠AOB的内部旋转时，∠MON的度数是否改变？若不变，求∠MON的度数；若改变，说明理由．
【答案】(1)①见解析；②80°
(2)∠MON的度数不变，80°
【分析】（1）①根据题意补全图；②根据∠AOM=13∠AOC=13×60°=20°，∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝40°，得出∠MON的度数；
（2）由OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线，得出∠MON＝∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）＝23∠AOB，从而得出答案．
【详解】（1）解：①依题意补全图如下：
②∵OC平分∠AOB，∠AOB＝120°，
∴∠AOC=12∠AOB=60°，
∵射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，
∴∠AOM=13∠AOC=13×60°=20°，
∴∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝40°，
同理可得∠CON＝40°，
∴∠MON＝∠CON+∠MOC＝80°；
（2）解：∠MON的度数不变．
∵OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线，
∵∠AOM=13∠AOC，∠BON=13∠BOC，
∴∠MON＝∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）
＝∠AOB﹣13∠AOC+∠BOC
＝23∠AOB，
∵∠AOB＝120°，
∴∠MON＝80°．
【点睛】本题考查了角的计算和角的三等分线，掌握各个角之间的关系是解题的关键．
【变式8-2】定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1:2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ=x，则∠MON用含x的代数式表示为（ ）
A．94x或3x或92xB．94x或3x或9xC．94x或92x或9xD．3x或92x或9x
【答案】C
【分析】分四种情况，分别计算，即可求解．
【详解】解：如图：射线OP是∠MON∠MOP=2∠NOP的三等分线，射线OQ是∠MOP∠QOP=2∠MOQ的三等分线，
则∠QOP=2x，∠NOP=12∠MOP=12×x+2x=32x，
∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+2x+32x=92x；
如图：射线OP是∠MON∠MOP=2∠NOP的三等分线，射线OQ是∠MOP∠MOQ=2∠QOP的三等分线，
则∠QOP=12x，∠NOP=12∠MOP=12×x+12x=34x，
∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+12x+34x=94x；
如图：射线OP是∠MON∠NOP=2∠MOP的三等分线，射线OQ是∠MOP∠MOQ=2∠QOP的三等分线，
则∠QOP=12x，∠NOP=2∠MOP=2×x+12x=3x，
∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+12x+3x=92x；
如图：射线OP是∠MON∠NOP=2∠MOP的三等分线，射线OQ是∠MOP∠QOP=2∠MOQ的三等分线，
则∠QOP=2x，∠NOP=2∠MOP=2×x+2x=6x，
∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+2x+6x=9x；
综上，∠MON为94x或92x或9x，
故选：C．
【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
【变式8-3】综合与实践
【问题发现】在数学探究课上，王老师带领同学们结束角平分线的探究后，安排同学打自主探究角的三等分线．小明进行了如下探究，如图①，若射线OC，OD是∠AOB的三等分线，则称更靠近OA边的射线OC是射线OA的“友好线”，靠近OB边的射线OD是射线OB的“友好线”．
(1)如图②，∠AOB=150°，射线OP是射线OA的友好线，求∠AOP的度数．
(2)【问题探究】如图③，∠AOB=120°，射线OQ与射线OA重合并绕点O以每秒4°的速度逆时针方向旋转，与射线OB重合时停止．问旋转几秒后，OQ是OB的“友好线”．
(3)【问题拓展】如图④，∠AOB=180°，射线OM，ON分别与射线OA，OB重合，射线OM绕点O以每秒4°的速度逆时针方向旋转，同时射线ON绕点O以每秒2°的速度顺时针方向旋转，是否存在某一刻OM恰好是ON的“友好线”，若存在，求出时间t秒；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)∠AOP=50°
(2)旋转20秒后，OQ是OB的“友好线”
(3)存在；当t=452或t=1354时，OM恰好是ON的“友好线”
【分析】（1）根据“友好线”定义求出∠AOP的度数即可；
（2）根据“友好线”定义求出∠BOQ的度数，然后再求出∠AOQ的度数，根据旋转速度求出旋转时间，即可得出答案；
（3）分两种情况讨论，当OM在ON右侧时，当OM在ON左侧时，分别画出图形，列出关于t的方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：∵∠AOB=150°，
∴当射线OP是射线OA的“友好线”时，∠AOP=13∠AOB=50°．
（2）解：∵∠AOB=120°，
∴当OQ是OB的“友好线”时，∠BOQ=13∠AOB=40°，
∴∠AOQ=∠AOB−∠BOQ=120°−40°=80°，
∴旋转时间为80÷4=20（秒），
即旋转20秒后，OQ是OB的“友好线”．
（3）解：存在；当t=452或t=1354时，OM恰好是ON的“友好线”．
当OM在ON右侧时，如图所示：
此时∠AOM=4t，∠BON=2t，
∵OM恰好是ON的“友好线”，
∴∠MON=13∠AON，
∴180−4t−2t=13180−2t，
解得：t=452；
当OM在ON右侧时，如图所示：
此时∠AOM=4t，∠BON=2t，
∵OM恰好是ON的“友好线”，
∴∠MON=13∠BON，
∴2t−180°−4t=13×2t，
解得：t=1354；
综上分析可知，当t=452或t=1354时，OM恰好是ON的“友好线”．
【点睛】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是理解题目中“友好线”的定义，数形结合，注意分类讨论．
【题型9 在三角板中的角的运算】
【例9】如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合．若三角尺②的一条直角边与AC边的夹角为40°，则三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角不可能是（ ）
A．20°B．80°C．100°D．150°
【答案】D
【分析】根据题意，画出图形，进行分类讨论即可．
【详解】解：（1）当OD与AC边的夹角为40°时，
①当OD在AC下方时，
∵∠CAD=40°,∠DAE=90°，
∴∠CAE=90°−40°=50°；
∵∠BAC=30°，
∴∠BAE=30°+50°=80°，
②当OD在AC上方时，
∵∠CAD=40°,∠DAE=90°,∠BAC=30°，
∴∠BAE=30°+40°+90°=160°；
（2）当OE与AC边的夹角为40°时，
①当OE在AC下方时，
∵∠CAE=40°,∠BAC=30°，
∴∠BAE=40°−30°=10°，
∴∠BAD=10°+90°=100°，
②当OE在AC上方时，
∵∠CAE=40°,∠BAC=30°，
∴∠BAD=90°−40°−30°=20°，
综上：另一条直角边与AB边的夹角可能是80°,160°,20°,100°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了与三夹板有关的角度计算，解题的关键是熟练掌握三角板的各个角度，以及正确画出图形，具有分类讨论的思想．
【变式9-1】如图所示，以直线AB上的一点O为端点，在直线AB的上方作射线OP，使∠BOP=70°．将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（∠MON=90°）在直线AB的上方．设∠BOM=n° 0
(1)当n=32时，求∠PON的大小；
(2)若0【答案】(1)∠PON=52°
(2)∠AON−∠POM=20°
【分析】（1）根据角的和差运算求解即可；
（2）首先根据题意表示出POM=70°−n°，∠AON=180°−90°−n°=90°−n°，然后作差求解即可．
【详解】（1）解：当n=32时，∠BOM=32°，
∵∠POB=70°，
∴∠POM=70°−32°=38°．
∵∠MON=90°，
∴∠PON=90°−38°=52°．
（2）解：当0∵∠POB=70°，
∴POM=70°−n°．
∵∠MON=90°，
∴∠AON=180°−90°−n°=90°−n°．
∴∠AON−∠POM=90°−n°−70°−n°=20°．
【点睛】本题主要考查角的加减运算，能够熟练根据要求列角的等量关系是解题关键．
【变式9-2】（1）探究：在①15∘，②25∘，③35∘，④45∘，⑤65∘中，乐乐同学只利用一副三角板能画出来的角是；__________（填序号）
（2）在探究过程中他发现：如图1，他先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45∘角（∠AOB的顶点与60∘角（∠COD的顶点互相重合，且边OA､OC都在直线EF上．固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向每秒旋转5∘（如图2），当边OB第一次落在射线OF上时停止．在此过程中，若旋转时间为t秒，请用t表达下列角度．∠AOE=__________°．∠BOC=__________°．
（3）在此过程中，是否存在一个时间t（秒），使∠BOC=3∠AOD？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①④；（2）∠AOE=5t∘，∠BOC=135∘−5t∘；（3）存在，当t=22.5或t=24.75时，∠BOC=3∠AOD，理由见解析
【分析】（1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是15°的倍数的角都可以画出来；
（2）根据旋转角度=旋转速度乘以旋转时间以及角的和差即可得出答案；
（3）当OA在∠DOE内时和OA在∠DOE外部时，列方程即可得到结论．
【详解】解：（1）∵15°=45°−30°，
∴25∘、35∘和65∘不能写成90∘、60∘、45∘、30∘的和或差，故画不出；
故选①④；
（2）∠AOE=5t∘，∠BOC=180∘−∠AOE−45∘=135∘−5t∘
（3）存在时间t，使∠BOC=3∠AOD，理由如下：
由题意得：∠AOB=45∘,∠COD=60∘,∠DOE=180∘−∠COD=120∘，
①当OA在∠DOE内时，如图所示，
∴∠AOD=∠DOE−∠AOE=120∘−5t∘
∵∠BOC=3∠AOD
∴135∘−5t∘=3120∘−5t∘
解得t=22.5，
∵22.5×5∘<120∘，
∴t=22.5符合题意；
②当OA在∠DOE外部时，如图2−2．所示
∴∠AOD=∠DOE−∠AOE=5t∘−120∘
∵∠BOC=3∠AOD,
∴135∘−5t∘=35t∘−120∘,
解得t=24.75，
∵24.75×5∘>120∘，
∴t=24.75符合题意；
∴当t=22.5或t=24.75时，∠BOC=3∠AOD．
【点睛】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确的理解题意列出方程是解题的关键．
【变式9-3】综合与实践
在一次数学综合实践课上，王老师提出了这样一个问题．
将一副三角板按如图1所示方式摆放，分别作出∠AOC,∠BOD的平分线OM,ON，然后提出问题：求∠MON的度数．
明明与同桌丽丽讨论后，进行了如下解答：
【特殊情况，探索思路】
将三角板分别按图2，图3所示的方式摆放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的平分线，其中，按图2方式摆放时，可以看成是ON,OD,OB在同一条直线上，按图3方式摆放时，∠AOC和∠BOD相等．
(1)直接写出计算结果：图2中∠MON的度数为_______，图3中∠MON的度数为_______；
(2)【特例启发，解答题目】
猜想在图1所示的一般情况下∠MON的度数，并说明理由；
(3)【核心素养，方法总结】
你觉得明明和丽丽解决以上问题的方法，用到了_______数学思想
A．由特殊到一般 B．方程思想 C．分类讨论 D．逆向思考
(4)【拓展结论，设计新题】
若将王老师出示的题目中条件“分别作出∠AOC,∠BOD的平分线OM,ON”改为“分别作出射线OM,ON，使∠AOM=45∠AOC,∠DON=15∠BOD”，请你直接写出∠MON的度数．
【答案】(1)135°；135°
(2)∠MON=135°，理由见解析
(3)A
(4)∠MON=108°
【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠AOC+∠BOD=180°−∠COD=90°，根据角平分线的定义得到∠MOC+∠NOD =12∠AOC+12∠BOD=12(∠AOC+∠BOD)=45°，于是得到结论；
（3）根据明明和丽丽解决以上问题的方法，用到的是由特殊到一般的数学思想；
（4）根据已知条件得到∠AOC+∠BOD=180°−∠COD=90°，根据角平分线的定义得到∠MOC+∠NOD =15∠AOC+∠BOD=180°，于是得到结论．
【详解】（1）解：图2中，∠MON=12×90°+90°=135°,
图3中，∠MDN =12∠AOC+12∠BOD+∠COD
=12(∠AOC+∠BOD)+90°
=12×90°+90°
=135°；
（2）图1中，∵∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=180°−∠COD=90°，
∵OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线，
∴∠MOC+∠NOD =12∠AOC+12∠BOD=12(∠AOC+∠BOD)=45°，
∴∠MON=(∠MOC+∠NOD)+∠COD=45°+90°=135°；
（3）明明和丽丽解决以上问题的方法，用到了由特殊到一般的数学思想
故选：A．
（4）∵∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=180°−∠COD=90°，
∵ ∠AOM=45∠AOC,∠DON=15∠BOD
∴∠MOC =15 ∠AOC，
∴∠MOC+∠NOD =15∠AOC+15∠BOD=15(∠AOC+∠BOD)=18°，
∴∠MON=(∠MOC+∠NOD)+∠COD=18°+90°=108°；
∴∠MON=108°．
【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，通过图形直观得出各个角之间的和差关系，是解决问题的关键．
【题型10 余角和补角的计算】
【例10】如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
(1)写出图中∠AOD的补角，∠BOE的补角；
(2)∠COD与∠EOC互余吗？为什么？
【答案】(1)∠AOD的补角为∠BOD,∠COD，∠BOE的补角为∠AOE,∠COE
(2)互余，理由见解析
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠COD=∠BOD=12∠BOC，∠AOE=∠COE=12∠AOC，再根据和为180度的两个角互为补角进行求解即可；
（2）由角平分线的定义可得∠COD=12∠BOC，∠COE=12∠AOC，在根据和为90度的两个角互为余角进行证明即可．
【详解】（1）∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠COD=∠BOD=12∠BOC，∠AOE=∠COE=12∠AOC，
∵∠AOD+∠BOD=180°，∠BOE+∠AOE=180°，
∴∠AOD+∠COD=180°，∠BOE+∠COE=180°，
∴∠AOD的补角为∠BOD,∠COD，∠BOE的补角为∠AOE,∠COE；
（2）互余，理由如下：
∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠COD=12∠BOC，∠COE=12∠AOC，
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠COD+∠COE=12∠BOC+12∠AOC=12∠BOC+∠AOC=90°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和余角、补角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式10-1】一个锐角的补角与它的余角的度数差是 度．
【答案】90
【分析】先设这个锐角为x度，根据余角和补角的定义列出式子计算即可．
【详解】解：设这个锐角为x度，则其补角为180−x度，余角为90−x度，
∴其补角与余角的度数差是180−x−90−x=180−x−90+x=90度，
故答案为：90．
【点睛】本题考查了有关余角和补角的定义，解题关键在于熟记这些定义．
【变式10-2】若∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系是（ ）
A．∠1=∠3B．∠3=90°
C．∠3=180°−∠1D．∠3=90°+∠1
【答案】D
【分析】由∠1与∠2互余，∠2与∠3互补可得∠1+∠2=90°①，∠2+∠3=180°②，由②−①得：∠3−∠1=90°，由此即可得到答案．
【详解】解：∵ ∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，
∴∠1+∠2=90°①，∠2+∠3=180°②，
由②−①得：∠3−∠1=90°，
∴∠3=90°+∠1，
故选：D．
【点睛】本题考查了余角和补角，解决本题的关键是要记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180°．
【变式10-3】如图，O为直线AB上一点，∠COD=90°，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，OF平分∠BOD，下列结论：①∠EOG=90°；②∠DOE与∠BOF互补；③∠AOC−∠BOD=90°；④∠DOG=12∠AOC．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．
【答案】①③④
【分析】设∠BOD=2α，则∠BOC=90°−2α，∠AOC=90°+2α，由角平分线的定义得出∠BOF=∠DOF=12∠BOD=α，∠AOE=∠COE=12∠AOC=45°+α，∠COG=∠BOG=12∠BOC=45°−α，然后再逐项分析即可得到答案．
【详解】解：设∠BOD=2α，
∵ ∠COD=90°，
∴∠BOC=∠COD−∠BOD=90°−2α，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=180°−∠BOC=180°−90°−2α=90°+2α，
∵ OF平分∠BOD，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，
∴∠BOF=∠DOF=12∠BOD=α，∠AOE=∠COE=12∠AOC=45°+α，∠COG=∠BOG=12∠BOC=45°−α，
∴∠EOG=∠EOC+∠COG=45°+α+45°−α=90°，故①正确，符合题意；
∴∠DOE+∠BOF=∠COD+∠COE+∠BOF=90°+45°+α+α=135°+2α，
∵α度数未知，
∴ ∠DOE与∠BOF不一定互补，故②错误，不符合题意；
∴∠AOC−∠BOD=90°+2α−2α=90°，故③正确，符合题意；
∵∠DOG=∠BOD+∠BOG=2α+45°−α=45°+α，∠AOC=90°+2α，
∴ ∠DOG=12∠AOC，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有：①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查的是补角和余角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
【题型11 同（等）角的余角和补角相等的运用】
【例11】如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE=∠COF=90°，图中与∠BOC互补的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据同角的余角相等，得到∠COA=∠EOF，根据平角的定义，得到∠BOC+∠AOC=180°，∠BOC+∠BOD=180°，进而得到∠BOC+∠EOF=180°，即可得出结果．
【详解】解：∵∠AOE=∠COF=90°，
∴∠COA=∠EOF=90°−∠COE，
∵∠BOC+∠AOC=180°，∠BOC+∠BOD=180°，
∴∠BOC+∠EOF=180°，
∴图中与∠BOC互补的角有∠COA,∠EOF,∠BOD，共3个；
故选C．
【点睛】本题考查补角的判断．正确的识图，理清角的和差关系，熟练掌握同角的余角相等，互补的两角之和为180°，是解题的关键．
【变式11-1】如图所示，∠AOC与∠BOD都是直角，且∠AOB∶∠AOD＝2∶11，则∠AOB＝（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
【答案】C
【分析】由∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD知∠AOB=∠COD，设∠AOB=2α，则∠AOD=11α，故∠AOB+∠BOC=9α=90°，解得α，从而可求解．
【详解】解：∵∠AOC与∠BOD都是直角，
∴∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD=90°，
∴∠AOB=∠COD， 设∠AOB=2α，
∵∠AOB：∠AOD=2：11，
∴∠AOD=11α,∠AOC=9α,
∴∠AOB+∠BOC=9α=90°，
解得α=10°，
∴∠AOB=20°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角的计算以及余角和补角，正确表示出各角度数是解题关键．
【变式11-2】如图，∠AOC=∠BOD=90°.
(1)直接写出图中一组相等的锐角；
(2)设∠DOC=α，∠AOB=β，求β与α之间的关系式；
(3)请在备用图中，仅利用三角板画出∠MPN，使∠MPN=∠EPF.（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)∠AOD=∠BOC
(2)β=180°−α
(3)见解析
【分析】（1）根据同角的余角相等，即可得到答案；
（2）结合角的特点进行计算即可；
（3）以PF为直角的一边作∠MPF，再以EP为直角的一边作∠EPN，∠MPN即为所求作．
【详解】（1）解：∵ ∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠DOC+∠AOD=90°，∠DOC+∠BOC=90°，
∴ ∠AOD=∠BOC；
（2）解：设∠DOC=α，∠AOB=β，则β=∠AOD+α+∠COB，
∴β+α=∠AOD+α+∠COB+α，
∴β+α=∠AOC+∠BOD=180°，
∴ β=180°−α；
（3）解：如图所示，∠MPN即为所求．
∵EPN，∠MPF=90°，
∴∠EPN+∠EPM=∠MPF+∠EPM，
∴∠MPN=∠EPF．
【点睛】本题考查了角的和差计算，同角的余角相等，作图-复杂作图，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式11-3】如图，平面内∠AOB=∠COD=90°，∠COE=∠BOE，OF平分∠AOD，则以下结论：①∠AOE=∠DOE；②∠AOD+∠COB=180°；③∠COB−∠AOD=90°；④∠COE+∠BOF=180°．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．0个
【答案】B
【分析】先根据余角的性质证明∠AOC=∠BOD，再根据∠COE=∠BOE，即可判断①正确；根据∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°=90°+90°=180°，即可判断②正确；根据∠COB−∠AOD=∠AOC+90°−∠AOD，且∠AOC≠∠AOD，可判断③错误；
根据平分线的定义得出∠AOF=∠DOF，根据∠AOE=∠DOE得出∠AOF+∠AOE=∠DOF+∠DOE=180°，根据∠COE=∠BOE，即可判断④正确．
【详解】解：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD=90°，
∴∠AOC=∠BOD
∵∠COE=∠BOE，
∴∠AOE=∠DOE，故①正确；
∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°=90°+90°=180°，故②正确；
∠COB−∠AOD=∠AOC+90°−∠AOD，
而∠AOC≠∠AOD，故③不正确；
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF=∠DOF，
∵∠AOE=∠DOE，
∴∠AOF+∠AOE=∠DOF+∠DOE=180°，即点F、O、E共线，
∵∠COE=∠BOE，
∴∠COE+∠BOF=180°，故④正确；
综上分析可知，正确结论的个数有3个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，余角的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握各角度之间的关系．
表示方法
A
图例
记法
适用范围
用三个大写字母表示
B
O
AOB
或BOA
任何情况下都适应.表示端点的字母必须写在中间.
用一个大写字母表示
A
A
以这个点为顶点的角只有一个.
用数字表示
1
1
任何情况下都适用.但必须在靠近顶点处加上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊字母.
用希腊字母表示
∠AOB内射线的条数
1
2
3
4
角的总个数
______
______
______
______
表示方法
A
图例
记法
适用范围
用三个大写字母表示
B
O
AOB
或BOA
任何情况下都适应.表示端点的字母必须写在中间.
用一个大写字母表示
A
A
以这个点为顶点的角只有一个.
用数字表示
1
1
任何情况下都适用.但必须在靠近顶点处加上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊字母.
用希腊字母表示
∠AOB内射线的条数
1
2
3
4
角的总个数
______
______
______
______
∠AOB内射线的条数
1
2
3
4
角的总个数
3
6
10
15
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc31502" 【题型1 角的相关概念辨析】 PAGEREF _Tc31502 \h 1
\l "_Tc276" 【题型2 角的单位换算】 PAGEREF _Tc276 \h 2
\l "_Tc1464" 【题型3 钟表上有关角的计算】 PAGEREF _Tc1464 \h 3
\l "_Tc7001" 【题型4 与方向角有关的计算】 PAGEREF _Tc7001 \h 4
\l "_Tc30909" 【题型5 角的计数问题】 PAGEREF _Tc30909 \h 5
\l "_Tc10985" 【题型6 角的比较】 PAGEREF _Tc10985 \h 6
\l "_Tc1483" 【题型7 与角平分线相关的角的运算】 PAGEREF _Tc1483 \h 8
\l "_Tc28585" 【题型8 与角n等分线相关的角的运算】 PAGEREF _Tc28585 \h 9
\l "_Tc5745" 【题型9 在三角板中的角的运算】 PAGEREF _Tc5745 \h 11
\l "_Tc14622" 【题型10 余角和补角的计算】 PAGEREF _Tc14622 \h 13
\l "_Tc32630" 【题型11 同（等）角的余角和补角相等的运用】 PAGEREF _Tc32630 \h 14
【知识点1 角的概念及其表示方法】
定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．
【题型1 角的相关概念辨析】
【例1】完成以下各题．
(1)写出图中能用一个字母表示的角；
(2)写出图中以A为顶点的角；
(3)图中共有几个角？
【变式1-1】下列说法中，正确的是（ ）
A．两条射线组成的图形叫做角
B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角
C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
D．角的边越长，角越大
【变式1-2】如图所示，图中可以用一个字母表示的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】如图，
(1)用不同的方法表示图中以D为顶点的角；
(2)写出以B为顶点的角与边；
(3)画出DA'，使∠ADA'成平角，写出它的边．
【题型2 角的单位换算】
【例2】关于度、分、秒的换算．
（1）56°18'用度表示；
（2）12°32'24″用度表示；
（3）12.31°用度、分、秒表示．
【变式2-1】比较大小：60°25' 60.25°（填“>”，“<”或“=”）．
【变式2-2】计算
（1）34°41′25″×5；
（2）72°35′÷2＋18°33′×4．
【变式2-3】若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（ ）
A．∠C＞∠A＞∠BB．∠C＞∠B＞∠A
C．∠A＞∠C＞∠BD．∠A＞∠B＞∠C
【知识点2 钟表上有关夹角问题】
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【题型3 钟表上有关角的计算】
【例3】某同学走进教室发现黑板前的钟表为8：30，他想知道再过多长时间分针能和时针第一次重合．假设钟表走时准确，请问再过 分钟．
【变式3-1】实验中学上午10:10时通常准时上第三节课，此时时针与分针所夹的角是（ ）
A．105°B．110°C．115°D．120°
【变式3-2】小明下午4点多外出购物，当时钟面上的时针与分针的夹角恰好为88∘，下午不到5点回家时，时针与分针的夹角又是88∘，则小明外出的时间是 分钟．
【变式3-3】钟面角是指时钟的时针和分针所成的角．例如：六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°；七点钟的时候，时针与分针所成钟面角为150°．那么从六点钟到七点钟这一个小时内，哪些时刻时针与分针所成钟面角为100°？请写出具体时刻： ．（结果形如6点2311分）
【知识点3 方向角】
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．
【题型4 与方向角有关的计算】
【例4】根据描述标出每个同学家的位置
(1)小红家在学校东偏北30°方向150米处．
(2)学校在小平家北偏西45°方向200米处．
(3)小华家在学校南偏西60°方向100米处．
(4)小刚家在学校西偏北30°方向150米处．
【变式4-1】从海岛A 点观察海上两艘轮船 B、C．轮船B在点A的北偏东 60°25'方向；轮船C在点A的南偏东15°37'方向，则∠BAC= ．
【变式4-2】如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（ ）
A．85°B．105°C．125°D．160°
【变式4-3】如图，货轮甲从港口O出发，沿东偏南60°的方向航行20海里后到达A处．（已知四个圆圈的半径（由小到大）分别是5海里，10海里，15海里，20海里．）
（1）写出在港口O观测灯塔B，C的方向及它们与港口的距离；
（2）已知灯塔D在港口O的南偏西30°方向上，且与灯塔B相距35海里，在图中标出灯塔D的位置．
（3）货轮乙从港口O出发，沿正东方向航行15海里到达P处后，需把航行方向调整到与货轮甲的航行方向一致，此时货轮乙应向左（或右）转多少度？并画出货轮乙航行线路示意图．
【题型5 角的计数问题】
【例5】解答下列各题
（1）如图，在∠AOB中，以O为顶点引射线，填表：
（2）若∠AOB内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论．
（3）若∠AOB内有射线条数是2020，则角的总个数为多少？
【变式5-1】如图，从点O出发的5条射线，可以组成的锐角的个数是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【变式5-2】如图，从点O引出的射线（任两条不共线）条数与角的总个数有如下关系：从点O引出两条射线形成1个角；如图1从点O引出3条射线共形成3个角；如图2从点O引出4条射线共形成6个角；如图3从点O引出5条射线共形成10个角；
（1）观察操作：当从点O引出6条射线共形成有 个角；
（2）探索发现：如图4当从点O引出n条射线共形成 个角；（用含n的式子表示）
（3）实践应用：8支篮球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），总的比赛场数为 场．如果n支篮球队进行主客场制单循环赛（参加的每个队都与其它所有队各赛2场）总的比赛场数是 场．
【变式5-3】在锐角∠AOB内部由O点引出3种射线，第1种是将∠AOB分成10等份；第2种是将∠AOB分成12等份；第3种是将∠AOB分成15等份，所有这些射线连同OA､OB可组成的角的个数是（ ）
A．595B．406C．35D．666
【知识点4 角的比较与运算】
角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
【题型6 角的比较】
【例6】如图所示，∠AOB=∠DOE，∠BOC<∠COD，试比较∠AOC和∠COE的大小关系．
【变式6-1】已知∠α与∠β都小于平角，在平面内把这两个角的一条边重合，若∠α的另一条边恰好落在∠β的内部，则（）．
A．∠α<∠βB．∠α=∠βC．∠α>∠βD．不能比较∠α与∠β的大小
【变式6-2】如图，已知直线AB与射线OP相交于点O，点C是OA上一点，且∠AOP=90°. 用尺规完成作图：
(1)在射线OB上截取OD，使OD=OC；在射线OP上取一点E，OE=2OC，连接CE、DE；比较线段CE与DE的大小，并直接写出结论；
(2)在射线OP上取一点Q(不同于点O，E)，连接CQ、DQ，比较∠CED与∠CQD的大小，并直接写出结论.
【变式6-3】学习了角的大小比较后，我们知道利用度量法可以进行两个角的大小比较C、D为一个量角器在AB上方边缘上的两个动点，连接CO、DO．
(1)当C，D两点运动到如图1所示的位置时，请你直接由量角器读出∠COB=______°，∠DOA=______°；
(2)若OD从OA出发以每秒8°的速度向终边OB运动，同时OC从OB出发，以每秒10°的速度向终边OA运动，运动时间为t，当CO⊥DO时，运动时间t是多少？
(3)如图2，过点O作AB的垂线与量角器的边缘交于点E，若∠COD=60°，OF是∠COE的平分线，OD从OA出发，当C与B重合时停止运动，请探究这个运动过程中，∠DOE与∠COF的数量关系．
【知识点5 角的和差关系】
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．
【题型7 与角平分线相关的角的运算】
【例7】如图，O为直线AD上一点，以O为顶点作∠COE=90°，射线OF平分∠AOE．
(1)如图①，∠AOC与∠DOE的数量关系为______；
(2)如图①，如果∠AOC=60°，求∠COF的度数；
(3)若将图①中的∠COE绕点O旋转至图②的位置，OF依然平分∠AOE，若∠AOC=α，请猜想∠COF的度数（可用α表示），并说明理由．
【变式7-1】如图，点O为直线AB上一点，∠COD=90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
(1)若∠AOE=10°，求∠BOD的度数；
(2)若∠AOC:∠COB=2:13，求∠BOF的度数．
【变式7-2】解答下列问题
如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．
(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．
(2)如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ= （表示出所有可能的结果探索新知）．
(3)如图3，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ= （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．
【变式7-3】已知：O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．
图1 图2 图3
(1)如图1，若∠COF=34°，则∠BOE= ；若∠COF=m°，则∠BOE= ；∠BOE与∠COF的数量关系为 ．
(2)在图2中，若∠COF=75°，在∠BOE内部是否存在一条射线OD，使得2∠BOD+∠AOF=13∠BOE−∠BOD？若存在，请求出∠BOD，若不存在，请说明理由．
(3)当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3所示的位置时，直接写出∠BOE与∠COF的数量关系．
【题型8 与角n等分线相关的角的运算】
【例8】如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线OC为∠AOB的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）
(1)角的三等分线________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，∠AOB=45°，射线OC为∠AOB的“幸福线”，求∠AOC的度数；
(3)如图②，已知∠AOB=60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0
(1)若OC平分∠AOB，
①依题意补全图1；
②∠MON的度数为 ．
(2)当射线OC绕点O在∠AOB的内部旋转时，∠MON的度数是否改变？若不变，求∠MON的度数；若改变，说明理由．
【变式8-2】定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1:2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ=x，则∠MON用含x的代数式表示为（ ）
A．94x或3x或92xB．94x或3x或9xC．94x或92x或9xD．3x或92x或9x
【变式8-3】综合与实践
【问题发现】在数学探究课上，王老师带领同学们结束角平分线的探究后，安排同学打自主探究角的三等分线．小明进行了如下探究，如图①，若射线OC，OD是∠AOB的三等分线，则称更靠近OA边的射线OC是射线OA的“友好线”，靠近OB边的射线OD是射线OB的“友好线”．
(1)如图②，∠AOB=150°，射线OP是射线OA的友好线，求∠AOP的度数．
(2)【问题探究】如图③，∠AOB=120°，射线OQ与射线OA重合并绕点O以每秒4°的速度逆时针方向旋转，与射线OB重合时停止．问旋转几秒后，OQ是OB的“友好线”．
(3)【问题拓展】如图④，∠AOB=180°，射线OM，ON分别与射线OA，OB重合，射线OM绕点O以每秒4°的速度逆时针方向旋转，同时射线ON绕点O以每秒2°的速度顺时针方向旋转，是否存在某一刻OM恰好是ON的“友好线”，若存在，求出时间t秒；若不存在，请说明理由．
【题型9 在三角板中的角的运算】
【例9】如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合．若三角尺②的一条直角边与AC边的夹角为40°，则三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角不可能是（ ）
A．20°B．80°C．100°D．150°
【变式9-1】如图所示，以直线AB上的一点O为端点，在直线AB的上方作射线OP，使∠BOP=70°．将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（∠MON=90°）在直线AB的上方．设∠BOM=n° 0
(1)当n=32时，求∠PON的大小；
(2)若0
（2）在探究过程中他发现：如图1，他先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45∘角（∠AOB的顶点与60∘角（∠COD的顶点互相重合，且边OA､OC都在直线EF上．固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向每秒旋转5∘（如图2），当边OB第一次落在射线OF上时停止．在此过程中，若旋转时间为t秒，请用t表达下列角度．∠AOE=__________°．∠BOC=__________°．
（3）在此过程中，是否存在一个时间t（秒），使∠BOC=3∠AOD？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
【变式9-3】综合与实践
在一次数学综合实践课上，王老师提出了这样一个问题．
将一副三角板按如图1所示方式摆放，分别作出∠AOC,∠BOD的平分线OM,ON，然后提出问题：求∠MON的度数．
明明与同桌丽丽讨论后，进行了如下解答：
【特殊情况，探索思路】
将三角板分别按图2，图3所示的方式摆放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的平分线，其中，按图2方式摆放时，可以看成是ON,OD,OB在同一条直线上，按图3方式摆放时，∠AOC和∠BOD相等．
(1)直接写出计算结果：图2中∠MON的度数为_______，图3中∠MON的度数为_______；
(2)【特例启发，解答题目】
猜想在图1所示的一般情况下∠MON的度数，并说明理由；
(3)【核心素养，方法总结】
你觉得明明和丽丽解决以上问题的方法，用到了_______数学思想
A．由特殊到一般 B．方程思想 C．分类讨论 D．逆向思考
(4)【拓展结论，设计新题】
若将王老师出示的题目中条件“分别作出∠AOC,∠BOD的平分线OM,ON”改为“分别作出射线OM,ON，使∠AOM=45∠AOC,∠DON=15∠BOD”，请你直接写出∠MON的度数．
【题型10 余角和补角的计算】
【例10】如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
(1)写出图中∠AOD的补角，∠BOE的补角；
(2)∠COD与∠EOC互余吗？为什么？
【变式10-1】一个锐角的补角与它的余角的度数差是 度．
【变式10-2】若∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系是（ ）
A．∠1=∠3B．∠3=90°
C．∠3=180°−∠1D．∠3=90°+∠1
【变式10-3】如图，O为直线AB上一点，∠COD=90°，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，OF平分∠BOD，下列结论：①∠EOG=90°；②∠DOE与∠BOF互补；③∠AOC−∠BOD=90°；④∠DOG=12∠AOC．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．
【题型11 同（等）角的余角和补角相等的运用】
【例11】如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE=∠COF=90°，图中与∠BOC互补的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式11-1】如图所示，∠AOC与∠BOD都是直角，且∠AOB∶∠AOD＝2∶11，则∠AOB＝（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
【变式11-2】如图，∠AOC=∠BOD=90°.
(1)直接写出图中一组相等的锐角；
(2)设∠DOC=α，∠AOB=β，求β与α之间的关系式；
(3)请在备用图中，仅利用三角板画出∠MPN，使∠MPN=∠EPF.（不写作法，保留作图痕迹）
【变式11-3】如图，平面内∠AOB=∠COD=90°，∠COE=∠BOE，OF平分∠AOD，则以下结论：①∠AOE=∠DOE；②∠AOD+∠COB=180°；③∠COB−∠AOD=90°；④∠COE+∠BOF=180°．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．0个
专题4.4 角的比较与补（余）角【十一大题型】
【沪科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc31502" 【题型1 角的相关概念辨析】 PAGEREF _Tc31502 \h 1
\l "_Tc276" 【题型2 角的单位换算】 PAGEREF _Tc276 \h 4
\l "_Tc1464" 【题型3 钟表上有关角的计算】 PAGEREF _Tc1464 \h 7
\l "_Tc7001" 【题型4 与方向角有关的计算】 PAGEREF _Tc7001 \h 9
\l "_Tc30909" 【题型5 角的计数问题】 PAGEREF _Tc30909 \h 13
\l "_Tc10985" 【题型6 角的比较】 PAGEREF _Tc10985 \h 17
\l "_Tc1483" 【题型7 与角平分线相关的角的运算】 PAGEREF _Tc1483 \h 21
\l "_Tc28585" 【题型8 与角n等分线相关的角的运算】 PAGEREF _Tc28585 \h 27
\l "_Tc5745" 【题型9 在三角板中的角的运算】 PAGEREF _Tc5745 \h 34
\l "_Tc14622" 【题型10 余角和补角的计算】 PAGEREF _Tc14622 \h 41
\l "_Tc32630" 【题型11 同（等）角的余角和补角相等的运用】 PAGEREF _Tc32630 \h 43
【知识点1 角的概念及其表示方法】
定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．
【题型1 角的相关概念辨析】
【例1】完成以下各题．
(1)写出图中能用一个字母表示的角；
(2)写出图中以A为顶点的角；
(3)图中共有几个角？
【答案】(1)能用一个字母表示的角有2个：∠B，∠D
(2)以A为顶点的角有6个：∠BAD，∠BAC，∠BAE，∠DAC，∠CAE，∠DAE
(3)图中所有的角有11个：∠BAD，∠BAC，∠BAE，∠DAC，∠CAE，∠DAE，∠D，∠ACD，∠ACB，∠BCD，∠B
【分析】（1）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案；
（2）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案；
（3）根据角的概念即可得到答案．
【详解】（1）能用一个字母表示的角有2个：∠B，∠D；
（2）以A为顶点的角有6个：∠BAD，∠BAC，∠BAE，∠DAC，∠CAE，∠DAE；
（3）图中所有的角有11个：∠BAD，∠BAC，∠BAE，∠DAC，∠CAE，∠DAE，∠D，∠ACD，∠ACB，∠BCD，∠B．
【点睛】本题主要考查了角的概念．从一点引出两条射线组成的图形就叫做角．
【变式1-1】下列说法中，正确的是（ ）
A．两条射线组成的图形叫做角
B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角
C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
D．角的边越长，角越大
【答案】C
【分析】根据角的动态定义和角的静态定义解答．
【详解】解：A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故此选项不符合题意；
B、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故此选项不符合题意；
C、角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，故此选项符合题意；；
D、角度的大小与边的长短无关，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了角的动态定义，解题关键是熟练掌握角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．角的静态定义：具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角．这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边．
【变式1-2】如图所示，图中可以用一个字母表示的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案．
【详解】解：能用一个字母表示的角有2个：∠A，∠C；
故选B．
【点睛】本题考查了角的概念，能数出符合的所有角是解题的关键．
【变式1-3】如图，
(1)用不同的方法表示图中以D为顶点的角；
(2)写出以B为顶点的角与边；
(3)画出DA'，使∠ADA'成平角，写出它的边．
【答案】(1)∠ADB或∠1或∠D
(2)角为∠CBD（或∠B或∠2），边是BD，BC
(3)图见解析，边是DA，DA'
【分析】（1）根据角的表示方法即可得到答案；
（2）根据角的表示方法和边的定义即可得到答案；
（3）根据平角的定义和边的定义即可得到答案．
【详解】（1）解：由图可得：
用三个字母表示以D为顶点的角为：∠ADB，
用一个字母表示以D为顶点的角为：∠D，
用数字表示以D为顶点的角为：∠1，
故答案为：∠ADB或∠1或∠D．
（2）解：解：由图可得：
用三个字母表示以B为顶点的角为：∠CBD，
用一个字母表示以B为顶点的角为：∠B，
用数字表示以B为顶点的角为：∠2，
以B为顶点边是BD，BC，
故答案为：角为∠CBD（或∠B或∠2），边是BD，BC．
（3）解：如图，DA'是射线DA的反向延长线，
则∠ADA'成平角，∠ADA'的边是DA，DA'．
【点睛】本题考查角的概念，熟练掌握角的概念与表示方法是解题的关键．
【题型2 角的单位换算】
【例2】关于度、分、秒的换算．
（1）56°18'用度表示；
（2）12°32'24″用度表示；
（3）12.31°用度、分、秒表示．
【答案】（1）56.3°．（2）12.54°．（3）12°18'36″．
【分析】（1）将18'转化为18×(160)°=0.3°即可得到答案；
（2）将24″转化为24×(160)'=0.4'，32.4'转化为32.4×(160)°=0.54°即可得到答案；
（3）将0.31°转化为0.31×60'=18.6'，将0.6'转化为0.6×60″=36″即可得到答案．
【详解】（1）56°18'=56°+18'=56°+18×(160)°=56.3°；
（2）12°32'24″
=12°+32'+24″
=12°+32'+24×(160)'
=12°+32.4'
=12°+32.4×(160)°
=12.54°；
（3）12.31°=12°+0.31°
=12°+0.31×60'
=12°+18.6'
=12°+18'+0.6'
=12°+18'+0.6×60″
=12°+18'+36″
=12°18'36″．
【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．
【变式2-1】比较大小：60°25' 60.25°（填“>”，“<”或“=”）．
【答案】>
【分析】先把单位化统一，再比较大小即可到答案．
【详解】解：∵60.25°=60°+0.25°=60°15'，
∴60°25'>60.25°，
故答案为：>
【点睛】本题考查了角的大小比较，注意单位要化统一，掌握1°=60'是解题关键．
【变式2-2】计算
（1）34°41′25″×5；
（2）72°35′÷2＋18°33′×4．
【答案】（1）173°27′5″；（2）110°29′30″．
【分析】（1）根据角度与整数的乘法法则计算即可；
（2）根据角度的四则混合运算法则计算即可．
【详解】（1）34°41′25″×5
＝（34°＋41′＋25″）×5
＝34°×5＋41′×5＋25″×5
＝170°＋205′＋125″
＝173°27′5″；
（2）72°35′÷2＋18°33′×4
＝36°17′30″＋72°132′
＝110°29′30″．
【点睛】本题主要考查了角度的运算，正确理解角度的60进制是解答本题的关键．
【变式2-3】若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（ ）
A．∠C＞∠A＞∠BB．∠C＞∠B＞∠A
C．∠A＞∠C＞∠BD．∠A＞∠B＞∠C
【答案】D
【分析】先把∠C的度数化成度、分、秒，再进行比较，即可得到答案．
【详解】∵∠C＝30.25°＝30°+0.25°
0.25°＝0.25×60′＝15′，
∴∠C＝30°15′，
∵∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，
∴∠A＞∠B＞∠C
故选：D．
【点睛】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，解题的关键是正确进行度分秒之间的换算，从而完成求解．
【知识点2 钟表上有关夹角问题】
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【题型3 钟表上有关角的计算】
【例3】某同学走进教室发现黑板前的钟表为8：30，他想知道再过多长时间分针能和时针第一次重合．假设钟表走时准确，请问再过 分钟．
【答案】15011
【分析】由钟表旋转可得每过一分钟时针转过的角度为0.5度，分针每分钟走6度，设再过x分钟，分针与时针第一次重合，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：钟表上一周是360度，有12个大格，
∴每个大格的度数为：360÷12=30度，
一个大格有5个小格，
∴每个小格的度数为：30÷5=6度，
一小时是60分钟，每过一分钟时针转过的角度为：30÷60=0.5度，分针每分钟走6度，
设再过x分钟，分针与时针第一次重合，
根据题意得：0.5x+60+0.5×30=6x，
解得：x=15011，
故答案为：15011．
【点睛】题目主要考查钟面角度的计算及一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
【变式3-1】实验中学上午10:10时通常准时上第三节课，此时时针与分针所夹的角是（ ）
A．105°B．110°C．115°D．120°
【答案】C
【分析】时钟上每一大格是30°，此时时针与分针所夹的角是30°×4减去时针转动的度数．
【详解】解：时钟上每一大格是30°，
∵10:10时时针与分针之间有四个大格，且此时时针转动30°×10÷60=5°，
∴此时时针与分针所夹的角是30°×4−5°=115°，
故选：C．
【点睛】本题考查时间的推算和角度的计算，明确时钟上每一大格是30°和时针转动的度数是解题的关键．
【变式3-2】小明下午4点多外出购物，当时钟面上的时针与分针的夹角恰好为88∘，下午不到5点回家时，时针与分针的夹角又是88∘，则小明外出的时间是 分钟．
【答案】32
【分析】根据题意，设小明外出到回家时针走了x°，则分针走了2×88°+x°，可得到时针的度数，又因为时针每小时走30°，故小明外出用的时间可求．
【详解】解：设时针从小明外出到回家走了x°，则分针走了2×88°+x°，由题意，得2×88°+x°360°=x°30°，
解得x=16°，
∵时针每小时走30°，
∴16°30°=3260小时，
即小明外出用了32分钟时间．
故答案为：32
【点睛】本题考查应用类问题，钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动112°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立方程求解．
【变式3-3】钟面角是指时钟的时针和分针所成的角．例如：六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°；七点钟的时候，时针与分针所成钟面角为150°．那么从六点钟到七点钟这一个小时内，哪些时刻时针与分针所成钟面角为100°？请写出具体时刻： ．（结果形如6点2311分）
【答案】6点16011分或6点56011
【分析】设6点m分时，时针与分针所成钟面角为100°，根据时针与分针的角度差为100°，分时针与分针重合前以及重合后分别列出方程即可求解．
【详解】解：设6点m分时，时针与分针所成钟面角为100°，时针每分钟转30°60=0.5°，分针每分钟转6°，六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°，依题意得
分时针与分针重合前，0.5m+180−6m=100，
解得：m=16011
分时针与分针重合后，6m−0.5m+180=100，
解得：m=56011
故答案为：6点16011分或6点56011．
【点睛】本题考查了钟面角的计算，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键．
【知识点3 方向角】
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．
【题型4 与方向角有关的计算】
【例4】根据描述标出每个同学家的位置
(1)小红家在学校东偏北30°方向150米处．
(2)学校在小平家北偏西45°方向200米处．
(3)小华家在学校南偏西60°方向100米处．
(4)小刚家在学校西偏北30°方向150米处．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）利用方向角的定义即可解答；
（2）利用方向角的定义即可解答；
（3）利用方向角的定义即可解答；
（4）利用方向角的定义即可解答．
【详解】（1）如图所示，
（2）如图所示，
（3）如图所示，
（4）如图所示，
【点睛】本题考查了用坐标表示地理位置，正确掌握方向角的定义是解题的关键．
【变式4-1】从海岛A 点观察海上两艘轮船 B、C．轮船B在点A的北偏东 60°25'方向；轮船C在点A的南偏东15°37'方向，则∠BAC= ．
【答案】103°58'
【分析】首先根据题意画出草图，然后由方向角的定义，确定AB、AC与正北方向、正南方向的夹角；然后根据角的关系计算，即可求出∠BAC的度数．
【详解】解：如图，
∵轮船B在点A的北偏东60°25'方向；轮船C在点A的南偏西15°37'方向，
∴∠ABC=180°−60°25'−15°37'=103°58'．
故答案为：103°58'．
【点睛】本题主要考查了与方向角有关的计算，解决本题的关键是掌握方向角的定义．
【变式4-2】如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（ ）
A．85°B．105°C．125°D．160°
【答案】C
【分析】首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．
【详解】根据题意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，
故选：C．
【点睛】本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键．
【变式4-3】如图，货轮甲从港口O出发，沿东偏南60°的方向航行20海里后到达A处．（已知四个圆圈的半径（由小到大）分别是5海里，10海里，15海里，20海里．）
（1）写出在港口O观测灯塔B，C的方向及它们与港口的距离；
（2）已知灯塔D在港口O的南偏西30°方向上，且与灯塔B相距35海里，在图中标出灯塔D的位置．
（3）货轮乙从港口O出发，沿正东方向航行15海里到达P处后，需把航行方向调整到与货轮甲的航行方向一致，此时货轮乙应向左（或右）转多少度？并画出货轮乙航行线路示意图．
【答案】（1）灯塔B的方向是东偏北60°，灯塔C的方向是正北方向，灯塔B与港口O相距离20海里，灯塔C与港口O相距离10海里；（2）详见解析；（3）货轮乙应向右转60°，画图见解析
【分析】（1）根据方位角的定义以及题意可求出港口O观测灯塔B，C的方向及它们与港口的距离；（2）根据方位角的定义即可找出灯塔D的位置；（3）根据甲的方向航行以及乙的航行方向可求出货轮乙应向左（或右）转的角度，以及航行线路示意图.
【详解】（1）灯塔B的方向是东偏北60°，
灯塔C的方向是正北方向，
灯塔B与港口O相距离20海里，
灯塔C与港口O相距离10海里；
（2）灯塔D的位置如图所示；
（3）∵甲沿东偏南60°航行，乙沿正东方向航行
要使乙与甲的航行方向一致
∴货轮乙应向右转60°即顺时针转60°，
航行线路如图所示．
【点睛】本题主要考查了方向角含义，理解方向角的定义是解决本题的关键．
【题型5 角的计数问题】
【例5】解答下列各题
（1）如图，在∠AOB中，以O为顶点引射线，填表：
（2）若∠AOB内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论．
（3）若∠AOB内有射线条数是2020，则角的总个数为多少？
【答案】（1）3，6，10，15；（2）12(n+1)(n+2)；（3）2043231
【分析】（1）若∠AOB内射线的条数是n，可构成12(n+1)(n+2)个角，依据规律回答即可；
（2）若∠AOB内射线的条数是n，可构成12(n+1)(n+2)个角，依据规律回答即可；
（3）把2020代入12(n+1)(n+2)求解即可．
【详解】解：（1）填表如下：
（2）当n=1时，角总个数为：1+2=3，
当n=2时，角总个数为：1+2+3=6，
当n=3时，角总个数为：1+2+3+4=10，
当n=4时，角总个数为：1+2+3+4+5=15，
...
当n=n时，角总个数为：
1+2+3+4+5+⋯+(n+1)=12(n+1)(n+2)，
即∠AOB内射线的条线是n时，
角总个数为：12(n+1)(n+2)
（3）当∠AOB内有射线条数是2020时，
角总个数为：12×2021×2022=2043231（个）．
【点睛】本题主要考查的是角的概念，掌握其规律是解题的关键．有公共顶点的n条射线，一共可构成12n（n-1）个角．
【变式5-1】如图，从点O出发的5条射线，可以组成的锐角的个数是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【分析】每一条射线都分别与其它的射线组成一个角，如图所示，若从点O出发的n条射线，可以组成角的个数是nn−12
【详解】解：组成角的个数是nn−12=5×5−12=10
故选C．
【点睛】此题主要考查了角的概念以及应用，要熟练掌握．利用公式：从点O出发的n条射线，组成角的个数为nn−12，是解决问题的关键．
【变式5-2】如图，从点O引出的射线（任两条不共线）条数与角的总个数有如下关系：从点O引出两条射线形成1个角；如图1从点O引出3条射线共形成3个角；如图2从点O引出4条射线共形成6个角；如图3从点O引出5条射线共形成10个角；
（1）观察操作：当从点O引出6条射线共形成有 个角；
（2）探索发现：如图4当从点O引出n条射线共形成 个角；（用含n的式子表示）
（3）实践应用：8支篮球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），总的比赛场数为 场．如果n支篮球队进行主客场制单循环赛（参加的每个队都与其它所有队各赛2场）总的比赛场数是 场．
【答案】 15 nn−12 28 n(n－1)
【分析】（1）观察图形可知， 2条射线组成1个角，3条射线就可以组成2+1=3个角，4条射线可以组成3+2+1=6个角，依此可得6条射线组成角的个数是1+2+3+4+5然后计算即可；
（2）根据（1）的规律可知：n条射线组成角的个数是1+2+3+…+（n-1），然后计算即可；
（3）将每只球队当作一条射线，每场单循环赛当作一个角，然后利用（2）的规律解答即可；
【详解】解：（1）观察图形可知，2条射线组成1个角，3条射线就可以组成2+1=3个角，4条射线可以组成3+2+1=6个角，依此可得6条射线组成角的个数是1+2+3+4+5=15；
（2）根据（1）的规律可知：n条射线组成角的个数是1+2+3+…+（n-1）=nn−12；
（3）将每只球队当作一条射线，每场单循环赛当作一个角，所以8支篮球队进行单循环比赛相当于8条射线可以组成的角，即比赛场数88−12=28；
如果n支篮球队进行主客场制单循环赛（参加的每个队都与其它所有队各赛2场）总的比赛场数是nn−12×2= n(n－1).
故答案为（1）15，（2）nn−12，（3）28, n(n－1).
【点睛】考查了数角的个数、归纳总结规律以及迁移应用规律的能力，根据题意总结规律和迁移应用规律是解答本题的关键．
【变式5-3】在锐角∠AOB内部由O点引出3种射线，第1种是将∠AOB分成10等份；第2种是将∠AOB分成12等份；第3种是将∠AOB分成15等份，所有这些射线连同OA､OB可组成的角的个数是（ ）
A．595B．406C．35D．666
【答案】B
【分析】设锐角∠AOB=α，第1种中间由9条射线，每个小角为α10，第2种中间由11条射线，每个小角为α12，第3种中间由14条射线，每个小角为α15，利用∠AOB内部的三种射线与OA形成的角相等求出重合的射线，第一种第m被倍小角为mα10，第二种n倍小角nα12，与第三种p倍小角pα15相同，则m10=n12=p15，先看三种分法中无同时重合的，再看每两种分法重合情况，第1种, 第2种,共重合1条，第1种,第3种，共重合4条，，第2种,第3种,共重合2条，在∠AOB中一共有射线数29条射线，29条射线分成的小角最多28个，所有角=1+2+3+…+28求和即可．
【详解】设锐角∠AOB=α
第1种是将∠AOB分成10等份；中间由9条射线，每个小角为α10，
第2种是将∠AOB分成12等份；中间由11条射线，每个小角为α12，
第3种是将∠AOB分成15等份，中间由14条射线，每个小角为α15，
设第1种, 第2种，第3种中相等的角的射线重合为1条，
第一种第m倍小角为mα10，第二种n倍小角nα12，与第三种p倍小角pα15相同
则m10=n12=p15，
先看三种分法中同时重合情况m:n:p=10:12:15除OA，OB外没有重合的，
再看每两种分法重合情况
第1种, 第2种, m:n=5:6，第一种第5条与第二种第6条重合，共重合1条，
第1种,第3种，m:p=2:3，m=2，4，6，8,与P=3，6，9，12重合，共重合4条，
第2种,第3种, n:p=4:5,n=4，8与p=5，10重合，共重合2条，
在∠AOB中一共有射线数=2+9+11+14-1-2-4=29条射线，
29条射线分成的所有角=1+2+3+…+28=12×28×28+1=406个角．
故选择：B．
【点睛】本题考查射线分角问题，不同角的个数求法，掌握掌握三种分法中排出重合射线的条数是解题关键．
【知识点4 角的比较与运算】
角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
【题型6 角的比较】
【例6】如图所示，∠AOB=∠DOE，∠BOC<∠COD，试比较∠AOC和∠COE的大小关系．
【答案】∠AOC< ∠COE．详见解析
【分析】由∠AOC=∠AOB+∠BOC,∠COE=∠DOE+∠COD，∠AOB=∠DOE，∠BOC<∠COD可直接判定大小关系．
【详解】因为∠AOC=∠AOB+∠BOC,∠COE=∠DOE+∠COD，∠AOB=∠DOE，∠BOC<∠COD；
所以可得∠AOC< ∠COE．
故答案为∠AOC< ∠COE．
【点睛】本题主要考查角的大小比较，关键是根据图形得到∠AOC和∠COE的等量关系式，然后根据已知条件进行比较即可．
【变式6-1】已知∠α与∠β都小于平角，在平面内把这两个角的一条边重合，若∠α的另一条边恰好落在∠β的内部，则（）．
A．∠α<∠βB．∠α=∠βC．∠α>∠βD．不能比较∠α与∠β的大小
【答案】A
【分析】如图所示，∠AOC=∠β，∠BOC=∠α，∠AOC＞∠BOC，∠α<∠β．
【详解】解：如图所示，∠AOC=∠β，∠BOC=∠α，
∵∠AOC＞∠BOC，
∴∠α<∠β，
故选A．
【点睛】本题主要考查了角的大小比较，解题的关键在于能够画出图形进行求解．
【变式6-2】如图，已知直线AB与射线OP相交于点O，点C是OA上一点，且∠AOP=90°. 用尺规完成作图：
(1)在射线OB上截取OD，使OD=OC；在射线OP上取一点E，OE=2OC，连接CE、DE；比较线段CE与DE的大小，并直接写出结论；
(2)在射线OP上取一点Q(不同于点O，E)，连接CQ、DQ，比较∠CED与∠CQD的大小，并直接写出结论.
【答案】(1)CE=DE
(2)当点Q在线段OE上时，∠CED<∠CQ1D，当点Q在射线EP上时，∠CED>∠CQ2D
【分析】（1）按照作一条线段等于已知线段的作法作图即可.
（2）分两种情况：①Q点在线段OE上，②Q点在线段EP上，作出图形即可比较大小.
【详解】（1）如图，点D、E即为所求，且CE=DE.
（2）如图，当Q点在线段OE上时，∠CED<∠CQ1D，
当点Q在射线EP上时，∠CED>∠CQ2D.
【点睛】本题主要考查了比较线段的大小和比较角的大小，解题的关键是根据题意正确的作出图形.
【变式6-3】学习了角的大小比较后，我们知道利用度量法可以进行两个角的大小比较C、D为一个量角器在AB上方边缘上的两个动点，连接CO、DO．
(1)当C，D两点运动到如图1所示的位置时，请你直接由量角器读出∠COB=______°，∠DOA=______°；
(2)若OD从OA出发以每秒8°的速度向终边OB运动，同时OC从OB出发，以每秒10°的速度向终边OA运动，运动时间为t，当CO⊥DO时，运动时间t是多少？
(3)如图2，过点O作AB的垂线与量角器的边缘交于点E，若∠COD=60°，OF是∠COE的平分线，OD从OA出发，当C与B重合时停止运动，请探究这个运动过程中，∠DOE与∠COF的数量关系．
【答案】(1)45，60
(2)运动时间是5s或15s时，CO⊥DO．
(3)当0°<α≤30°时，∠COF=12∠DOE−30°；当30°<α≤90°时，∠COF=−12∠DOE+30°；当90°<α≤120°时，∠COF=12∠DOE+30°．
【分析】（1）根据量角器的读法读数即可；
（2）分情况讨论：当C在D的右边时；当C在D的左边时，列出关于t的方程求解即可；
（3）设∠DOA=α，分情况讨论：当0°<α≤30°时， 当30°<α≤90°时，当90°<α≤120°时，表示出∠DOE，∠COF，即可求出∠DOE与∠COF的数量关系．
【详解】（1）解：由图可知：∠COB=45°，∠DOA=60°，
故答案为：45，60
（2）如图1，当C在D的右边时，8t+10t=90，解得t=5；
如图2，当C在D的左边时，8t+10t=180+90，解得t=15
答：运动时间是5s或15s时，CO⊥DO．
（3）设∠DOA=α，
当0°<α≤30°时，如图3，∠DOE=90°−α，∠COF=90°−α−60°2，
∴∠COF=12∠DOE−30°
当30°<α≤90°时，如图4，∠DOE=90°−α，∠COF=α+60°−90°2，
∴∠COF=−12∠DOE+30°
当90°<α≤120°时，如图5，∠DOE=α−90°，∠COF=α+60°−90°2，
∴∠COF=12∠DOE+30°
综上，当0°<α≤30°时，∠COF=12∠DOE−30°；
当30°<α≤90°时，∠COF=−12∠DOE+30°；
当90°<α≤120°时，∠COF=12∠DOE+30°；
【点睛】本题考查角的度量，角之间的关系，垂直，解题的关键是熟练掌握量角器的使用方法，结合图形求解，注意分情况讨论．
【知识点5 角的和差关系】
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．
【题型7 与角平分线相关的角的运算】
【例7】如图，O为直线AD上一点，以O为顶点作∠COE=90°，射线OF平分∠AOE．
(1)如图①，∠AOC与∠DOE的数量关系为______；
(2)如图①，如果∠AOC=60°，求∠COF的度数；
(3)若将图①中的∠COE绕点O旋转至图②的位置，OF依然平分∠AOE，若∠AOC=α，请猜想∠COF的度数（可用α表示），并说明理由．
【答案】(1)∠AOC+∠DOE=90°
(2)∠COF=15°
(3)∠COF=45°+a2，理由见解析
【分析】（1）根据已知条件和图形可知：∠COE=90°，∠COE+∠AOC+∠DOE=180°，从而可以得到∠AOC与∠DOE的数量关系；
（2）先求出∠AOE，根据射线OF平分∠AOE，得到∠AOF=12∠AOE，再利用∠COF=∠AOF−∠AOC即可求解；
（3）利用∠AOC=α，表示出∠AOE，再利用OF平分∠AOE，得到∠AOF，再写出∠COF的度数．
【详解】（1）解：∵∠COE=90°，∠COE+∠AOC+∠DOE=180°，
∴∠AOC+∠DOE=90°，
故答案为：∠AOC+∠DOE=90°；
（2）∠COF=15°
理由如下：
∵∠AOC=60°，∠COE=90°，
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=150°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=12∠AOE=75°，
∴∠COF=∠AOF−∠AOC=75°−60°=15°；
（3）∠COF=45°+a2，理由如下：
∵∠AOC=α，
∴∠AOE=90°−α，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=12∠AOE=45°−a2，
∴∠COF=∠AOC+∠AOF= 45°+a2
【点睛】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是找出各个角之间的关系，利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件．
【变式7-1】如图，点O为直线AB上一点，∠COD=90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
(1)若∠AOE=10°，求∠BOD的度数；
(2)若∠AOC:∠COB=2:13，求∠BOF的度数．
【答案】(1)70°
(2)33°
【分析】（1）由OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，可得∠AOC=2∠AOE=20°，根据∠BOD=180°−∠AOC−∠COD，计算求解即可；
（2）由∠AOC:∠COB=2:13，∠AOC+∠COB=180°，可得∠AOC=180°×215=24°，则∠BOD=180°−∠AOC−∠COD=66°，由OF平分∠BOD，可得∠BOF=12∠BOD，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOC=2∠AOE=20°，
∴∠BOD=180°−∠AOC−∠COD=70°，
∴∠BOD的度数为70°；
（2）解：∵∠AOC:∠COB=2:13，∠AOC+∠COB=180°，
∴∠AOC=180°×215=24°，
∴∠BOD=180°−∠AOC−∠COD=66°，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF=12∠BOD=33°，
∴∠BOF的度数为33°．
【点睛】本题考查了角平分线．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
【变式7-2】解答下列问题
如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．
(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．
(2)如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ= （表示出所有可能的结果探索新知）．
(3)如图3，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ= （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．
【答案】(1)是
(2)30°，20°或40°
(3)12α或13α或23α
【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解答；
(2)根据“巧分线”定义，分∠MPN=2∠MPQ1、∠NPQ2=2∠MPQ2、∠MPQ3=2∠NPQ3三种情况求解即可；
(3) 根据“巧分线”定义，分∠MPN=2∠MPQ1、∠NPQ2=2∠MPQ2、∠MPQ3=2∠NPQ3三种情况求解即可．
【详解】（1）解：如图1：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,
∴根据巧分线定义可得OC是这个角的“巧分线”．
故答案为：是．
（2）解：如图3：①当∠MPN=2∠MPQ1时，则∠MPQ1=12∠MPN=12×60°=30°；
②当∠NPQ2=2∠MPQ2，则∠MPN=∠MPQ2+∠NPQ2=3∠MPQ2=60°，解得：∠MPQ2=20°；
③当∠MPQ3=2∠NPQ3，则∠MPN=∠MPQ3+∠NPQ3=32∠MPQ3=60°，解得：∠MPQ3=40°．
综上，∠MPQ可以为30°，20°，40°．
（3）解：如图3：①当∠MPN=2∠MPQ1时，则∠MPQ1=12∠MPN=12×α=α2；
②当∠NPQ2=2∠MPQ2，则∠MPN=∠MPQ2+∠NPQ2=3∠MPQ2=α，解得：∠MPQ2=13α；
③当∠MPQ3=2∠NPQ3，则∠MPN=∠MPQ3+∠NPQ3=32∠MPQ3=α，解得：∠MPQ3=23α．
综上，∠MPQ可以为α2，13α，23α．
【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“巧分线”的定义是解题的关键．
【变式7-3】已知：O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．
图1 图2 图3
(1)如图1，若∠COF=34°，则∠BOE= ；若∠COF=m°，则∠BOE= ；∠BOE与∠COF的数量关系为 ．
(2)在图2中，若∠COF=75°，在∠BOE内部是否存在一条射线OD，使得2∠BOD+∠AOF=13∠BOE−∠BOD？若存在，请求出∠BOD，若不存在，请说明理由．
(3)当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3所示的位置时，直接写出∠BOE与∠COF的数量关系．
【答案】(1)68°，2m°，∠BOE=2∠COF
(2)存在，15°
(3)2∠COF+∠BOE=360°
【分析】（1）由直角三角形的性质求得∠EOF的度数，再OF平分∠AOE，求得∠AOE的度数，从而求得∠BOE的度数；若∠COF=m°，则∠EOF=90°−m°，由角平分线的定义求得∠AOE=180°−2m°，从而求得∠BOE的度数，进而求得∠BOE=2∠COF；
（2）由∠COF=75°，∠COE=90°，求得∠EOF的度数，再根据角平分线的定义求得∠AOF的度数，再由平角的定义求得∠BOE的度数，再代入2∠BOD+∠AOF=13∠BOE−∠BOD求解即可；
（3）设∠BOE=α，则∠BOC=90°−α，∠AOE=180°−α，由角平分线的定义求得∠EOF=90°−12α，从而求得∠COF=180°−12α，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵∠COF=34°，∠COE=90°，
∴∠EOF=90°−34°=56°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF=112°，
∴∠BOE=180°−112°=68°；
∵∠COF=m°，∠COE=90°，
∴∠EOF=90°−m°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=180°−2m°，
∴∠BOE=180°−180°−2m°=2m°；
∴∠BOE=2∠COF，
故答案为：68°，2m°，∠BOE=2∠COF；
（2）解：存在，理由如下：
∵∠COE=90°，∠COF=75°，
∴∠EOF=15°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=15°，
∴∠BOE=180°−30°=150°，
∵2∠BOD+∠AOF=13∠BOE−∠BOD，
∴2∠BOD+15°=13（150°−∠BOD），
∴∠BOD=15°；
（3）解：∵∠COE=90°，
设∠BOE=α，则∠BOC=90°−α，∠AOE=180°−α，
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF=12180°−α=90°−12α，
∴∠COF=∠BOC+∠BOE+∠EOF=90°−α+α+90°−12α=180°−12α，
即2∠COF+∠BOE=360°．
【点睛】本题考查角平分线的定义及角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义及确定图中各角度之间的关系是解题的关键．
【题型8 与角n等分线相关的角的运算】
【例8】如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线OC为∠AOB的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）
(1)角的三等分线________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，∠AOB=45°，射线OC为∠AOB的“幸福线”，求∠AOC的度数；
(3)如图②，已知∠AOB=60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0
(2)15°，33.75°，11.25°，30°；
(3)t=3613或t=45或t=6．
【分析】（1）若OC为∠AOB的三等分线，则有∠AOB=3∠AOC，符合“幸福线”的定义；
（2）根据“幸福线”的定义可得当∠AOB=3∠AOC时，当∠AOC=3∠BOC时，当∠BOC=3∠AOC时，当∠AOB=3∠BOC时，然后根据角的和差关系进行求解即可；
（3）由题意可分①当0
故答案为：是．
（2）解：由题意得：
∵∠AOB=45°，射线OC为∠AOB的“幸福线”，
∴①当∠AOB=3∠AOC时，则有：∠AOC=15°；
②当∠AOC=3∠BOC时，则有∠AOC=34∠AOB=33.75°；
③当∠BOC=3∠AOC时，则有∠AOC=14∠AOB=11.25°；
④当∠AOB=3∠BOC时，则有：∠BOC=15°；∠AOC=30°；
综上所述：当射线OC为∠AOB的“幸福线”时，∠AOC的度数为15°，33.75°，11.25°，30°；
（3）解：∵∠AOB=60°，
∴射线ON与OA重合的时间为60°÷15°=4（秒），
∴当0
OA是∠MON的“幸福线”，则有以下三类情况：
①∠MOA=3∠MON，即20t=320t+60−15t，t=36（舍去），
②∠MOA=3∠AON，即20t=360−15t，t=3613，
③∠AON=3∠MOA，即60−15t=3×20t，t=45；
④∠AON=3∠MON，即60−15t=3×60+5t，t=−4（舍去）；
当4
ON是∠AOM的“幸福线”，则有以下三类情况：
①∠MON=3∠MOA，即5t+60=3×20t，t=1211（不符合题意，舍去），
②∠NOA=3∠MOA，即15t−60=3×20t，t=−43（不符合题意，舍去）；
③∠MON=3∠NOA，即5t+60=315t−60，t=6；
④∠NOA=3∠MON，即15t−60=35t+60，t不存在；
综上：t=3613或t=45或t=6．
【点睛】本题主要考查角的三等分点的计算及角的动点问题，熟练掌握角的三等分点的计算及角之间的和差关系是解题的关键．
【变式8-1】已知∠AOB＝120°，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线．
(1)若OC平分∠AOB，
①依题意补全图1；
②∠MON的度数为 ．
(2)当射线OC绕点O在∠AOB的内部旋转时，∠MON的度数是否改变？若不变，求∠MON的度数；若改变，说明理由．
【答案】(1)①见解析；②80°
(2)∠MON的度数不变，80°
【分析】（1）①根据题意补全图；②根据∠AOM=13∠AOC=13×60°=20°，∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝40°，得出∠MON的度数；
（2）由OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线，得出∠MON＝∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）＝23∠AOB，从而得出答案．
【详解】（1）解：①依题意补全图如下：
②∵OC平分∠AOB，∠AOB＝120°，
∴∠AOC=12∠AOB=60°，
∵射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，
∴∠AOM=13∠AOC=13×60°=20°，
∴∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝40°，
同理可得∠CON＝40°，
∴∠MON＝∠CON+∠MOC＝80°；
（2）解：∠MON的度数不变．
∵OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线，
∵∠AOM=13∠AOC，∠BON=13∠BOC，
∴∠MON＝∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）
＝∠AOB﹣13∠AOC+∠BOC
＝23∠AOB，
∵∠AOB＝120°，
∴∠MON＝80°．
【点睛】本题考查了角的计算和角的三等分线，掌握各个角之间的关系是解题的关键．
【变式8-2】定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1:2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ=x，则∠MON用含x的代数式表示为（ ）
A．94x或3x或92xB．94x或3x或9xC．94x或92x或9xD．3x或92x或9x
【答案】C
【分析】分四种情况，分别计算，即可求解．
【详解】解：如图：射线OP是∠MON∠MOP=2∠NOP的三等分线，射线OQ是∠MOP∠QOP=2∠MOQ的三等分线，
则∠QOP=2x，∠NOP=12∠MOP=12×x+2x=32x，
∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+2x+32x=92x；
如图：射线OP是∠MON∠MOP=2∠NOP的三等分线，射线OQ是∠MOP∠MOQ=2∠QOP的三等分线，
则∠QOP=12x，∠NOP=12∠MOP=12×x+12x=34x，
∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+12x+34x=94x；
如图：射线OP是∠MON∠NOP=2∠MOP的三等分线，射线OQ是∠MOP∠MOQ=2∠QOP的三等分线，
则∠QOP=12x，∠NOP=2∠MOP=2×x+12x=3x，
∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+12x+3x=92x；
如图：射线OP是∠MON∠NOP=2∠MOP的三等分线，射线OQ是∠MOP∠QOP=2∠MOQ的三等分线，
则∠QOP=2x，∠NOP=2∠MOP=2×x+2x=6x，
∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+2x+6x=9x；
综上，∠MON为94x或92x或9x，
故选：C．
【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
【变式8-3】综合与实践
【问题发现】在数学探究课上，王老师带领同学们结束角平分线的探究后，安排同学打自主探究角的三等分线．小明进行了如下探究，如图①，若射线OC，OD是∠AOB的三等分线，则称更靠近OA边的射线OC是射线OA的“友好线”，靠近OB边的射线OD是射线OB的“友好线”．
(1)如图②，∠AOB=150°，射线OP是射线OA的友好线，求∠AOP的度数．
(2)【问题探究】如图③，∠AOB=120°，射线OQ与射线OA重合并绕点O以每秒4°的速度逆时针方向旋转，与射线OB重合时停止．问旋转几秒后，OQ是OB的“友好线”．
(3)【问题拓展】如图④，∠AOB=180°，射线OM，ON分别与射线OA，OB重合，射线OM绕点O以每秒4°的速度逆时针方向旋转，同时射线ON绕点O以每秒2°的速度顺时针方向旋转，是否存在某一刻OM恰好是ON的“友好线”，若存在，求出时间t秒；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)∠AOP=50°
(2)旋转20秒后，OQ是OB的“友好线”
(3)存在；当t=452或t=1354时，OM恰好是ON的“友好线”
【分析】（1）根据“友好线”定义求出∠AOP的度数即可；
（2）根据“友好线”定义求出∠BOQ的度数，然后再求出∠AOQ的度数，根据旋转速度求出旋转时间，即可得出答案；
（3）分两种情况讨论，当OM在ON右侧时，当OM在ON左侧时，分别画出图形，列出关于t的方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：∵∠AOB=150°，
∴当射线OP是射线OA的“友好线”时，∠AOP=13∠AOB=50°．
（2）解：∵∠AOB=120°，
∴当OQ是OB的“友好线”时，∠BOQ=13∠AOB=40°，
∴∠AOQ=∠AOB−∠BOQ=120°−40°=80°，
∴旋转时间为80÷4=20（秒），
即旋转20秒后，OQ是OB的“友好线”．
（3）解：存在；当t=452或t=1354时，OM恰好是ON的“友好线”．
当OM在ON右侧时，如图所示：
此时∠AOM=4t，∠BON=2t，
∵OM恰好是ON的“友好线”，
∴∠MON=13∠AON，
∴180−4t−2t=13180−2t，
解得：t=452；
当OM在ON右侧时，如图所示：
此时∠AOM=4t，∠BON=2t，
∵OM恰好是ON的“友好线”，
∴∠MON=13∠BON，
∴2t−180°−4t=13×2t，
解得：t=1354；
综上分析可知，当t=452或t=1354时，OM恰好是ON的“友好线”．
【点睛】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是理解题目中“友好线”的定义，数形结合，注意分类讨论．
【题型9 在三角板中的角的运算】
【例9】如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合．若三角尺②的一条直角边与AC边的夹角为40°，则三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角不可能是（ ）
A．20°B．80°C．100°D．150°
【答案】D
【分析】根据题意，画出图形，进行分类讨论即可．
【详解】解：（1）当OD与AC边的夹角为40°时，
①当OD在AC下方时，
∵∠CAD=40°,∠DAE=90°，
∴∠CAE=90°−40°=50°；
∵∠BAC=30°，
∴∠BAE=30°+50°=80°，
②当OD在AC上方时，
∵∠CAD=40°,∠DAE=90°,∠BAC=30°，
∴∠BAE=30°+40°+90°=160°；
（2）当OE与AC边的夹角为40°时，
①当OE在AC下方时，
∵∠CAE=40°,∠BAC=30°，
∴∠BAE=40°−30°=10°，
∴∠BAD=10°+90°=100°，
②当OE在AC上方时，
∵∠CAE=40°,∠BAC=30°，
∴∠BAD=90°−40°−30°=20°，
综上：另一条直角边与AB边的夹角可能是80°,160°,20°,100°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了与三夹板有关的角度计算，解题的关键是熟练掌握三角板的各个角度，以及正确画出图形，具有分类讨论的思想．
【变式9-1】如图所示，以直线AB上的一点O为端点，在直线AB的上方作射线OP，使∠BOP=70°．将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（∠MON=90°）在直线AB的上方．设∠BOM=n° 0
(1)当n=32时，求∠PON的大小；
(2)若0
(2)∠AON−∠POM=20°
【分析】（1）根据角的和差运算求解即可；
（2）首先根据题意表示出POM=70°−n°，∠AON=180°−90°−n°=90°−n°，然后作差求解即可．
【详解】（1）解：当n=32时，∠BOM=32°，
∵∠POB=70°，
∴∠POM=70°−32°=38°．
∵∠MON=90°，
∴∠PON=90°−38°=52°．
（2）解：当0
∴POM=70°−n°．
∵∠MON=90°，
∴∠AON=180°−90°−n°=90°−n°．
∴∠AON−∠POM=90°−n°−70°−n°=20°．
【点睛】本题主要考查角的加减运算，能够熟练根据要求列角的等量关系是解题关键．
【变式9-2】（1）探究：在①15∘，②25∘，③35∘，④45∘，⑤65∘中，乐乐同学只利用一副三角板能画出来的角是；__________（填序号）
（2）在探究过程中他发现：如图1，他先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45∘角（∠AOB的顶点与60∘角（∠COD的顶点互相重合，且边OA､OC都在直线EF上．固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向每秒旋转5∘（如图2），当边OB第一次落在射线OF上时停止．在此过程中，若旋转时间为t秒，请用t表达下列角度．∠AOE=__________°．∠BOC=__________°．
（3）在此过程中，是否存在一个时间t（秒），使∠BOC=3∠AOD？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①④；（2）∠AOE=5t∘，∠BOC=135∘−5t∘；（3）存在，当t=22.5或t=24.75时，∠BOC=3∠AOD，理由见解析
【分析】（1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是15°的倍数的角都可以画出来；
（2）根据旋转角度=旋转速度乘以旋转时间以及角的和差即可得出答案；
（3）当OA在∠DOE内时和OA在∠DOE外部时，列方程即可得到结论．
【详解】解：（1）∵15°=45°−30°，
∴25∘、35∘和65∘不能写成90∘、60∘、45∘、30∘的和或差，故画不出；
故选①④；
（2）∠AOE=5t∘，∠BOC=180∘−∠AOE−45∘=135∘−5t∘
（3）存在时间t，使∠BOC=3∠AOD，理由如下：
由题意得：∠AOB=45∘,∠COD=60∘,∠DOE=180∘−∠COD=120∘，
①当OA在∠DOE内时，如图所示，
∴∠AOD=∠DOE−∠AOE=120∘−5t∘
∵∠BOC=3∠AOD
∴135∘−5t∘=3120∘−5t∘
解得t=22.5，
∵22.5×5∘<120∘，
∴t=22.5符合题意；
②当OA在∠DOE外部时，如图2−2．所示
∴∠AOD=∠DOE−∠AOE=5t∘−120∘
∵∠BOC=3∠AOD,
∴135∘−5t∘=35t∘−120∘,
解得t=24.75，
∵24.75×5∘>120∘，
∴t=24.75符合题意；
∴当t=22.5或t=24.75时，∠BOC=3∠AOD．
【点睛】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确的理解题意列出方程是解题的关键．
【变式9-3】综合与实践
在一次数学综合实践课上，王老师提出了这样一个问题．
将一副三角板按如图1所示方式摆放，分别作出∠AOC,∠BOD的平分线OM,ON，然后提出问题：求∠MON的度数．
明明与同桌丽丽讨论后，进行了如下解答：
【特殊情况，探索思路】
将三角板分别按图2，图3所示的方式摆放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的平分线，其中，按图2方式摆放时，可以看成是ON,OD,OB在同一条直线上，按图3方式摆放时，∠AOC和∠BOD相等．
(1)直接写出计算结果：图2中∠MON的度数为_______，图3中∠MON的度数为_______；
(2)【特例启发，解答题目】
猜想在图1所示的一般情况下∠MON的度数，并说明理由；
(3)【核心素养，方法总结】
你觉得明明和丽丽解决以上问题的方法，用到了_______数学思想
A．由特殊到一般 B．方程思想 C．分类讨论 D．逆向思考
(4)【拓展结论，设计新题】
若将王老师出示的题目中条件“分别作出∠AOC,∠BOD的平分线OM,ON”改为“分别作出射线OM,ON，使∠AOM=45∠AOC,∠DON=15∠BOD”，请你直接写出∠MON的度数．
【答案】(1)135°；135°
(2)∠MON=135°，理由见解析
(3)A
(4)∠MON=108°
【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠AOC+∠BOD=180°−∠COD=90°，根据角平分线的定义得到∠MOC+∠NOD =12∠AOC+12∠BOD=12(∠AOC+∠BOD)=45°，于是得到结论；
（3）根据明明和丽丽解决以上问题的方法，用到的是由特殊到一般的数学思想；
（4）根据已知条件得到∠AOC+∠BOD=180°−∠COD=90°，根据角平分线的定义得到∠MOC+∠NOD =15∠AOC+∠BOD=180°，于是得到结论．
【详解】（1）解：图2中，∠MON=12×90°+90°=135°,
图3中，∠MDN =12∠AOC+12∠BOD+∠COD
=12(∠AOC+∠BOD)+90°
=12×90°+90°
=135°；
（2）图1中，∵∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=180°−∠COD=90°，
∵OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线，
∴∠MOC+∠NOD =12∠AOC+12∠BOD=12(∠AOC+∠BOD)=45°，
∴∠MON=(∠MOC+∠NOD)+∠COD=45°+90°=135°；
（3）明明和丽丽解决以上问题的方法，用到了由特殊到一般的数学思想
故选：A．
（4）∵∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=180°−∠COD=90°，
∵ ∠AOM=45∠AOC,∠DON=15∠BOD
∴∠MOC =15 ∠AOC，
∴∠MOC+∠NOD =15∠AOC+15∠BOD=15(∠AOC+∠BOD)=18°，
∴∠MON=(∠MOC+∠NOD)+∠COD=18°+90°=108°；
∴∠MON=108°．
【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，通过图形直观得出各个角之间的和差关系，是解决问题的关键．
【题型10 余角和补角的计算】
【例10】如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
(1)写出图中∠AOD的补角，∠BOE的补角；
(2)∠COD与∠EOC互余吗？为什么？
【答案】(1)∠AOD的补角为∠BOD,∠COD，∠BOE的补角为∠AOE,∠COE
(2)互余，理由见解析
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠COD=∠BOD=12∠BOC，∠AOE=∠COE=12∠AOC，再根据和为180度的两个角互为补角进行求解即可；
（2）由角平分线的定义可得∠COD=12∠BOC，∠COE=12∠AOC，在根据和为90度的两个角互为余角进行证明即可．
【详解】（1）∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠COD=∠BOD=12∠BOC，∠AOE=∠COE=12∠AOC，
∵∠AOD+∠BOD=180°，∠BOE+∠AOE=180°，
∴∠AOD+∠COD=180°，∠BOE+∠COE=180°，
∴∠AOD的补角为∠BOD,∠COD，∠BOE的补角为∠AOE,∠COE；
（2）互余，理由如下：
∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠COD=12∠BOC，∠COE=12∠AOC，
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠COD+∠COE=12∠BOC+12∠AOC=12∠BOC+∠AOC=90°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和余角、补角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式10-1】一个锐角的补角与它的余角的度数差是 度．
【答案】90
【分析】先设这个锐角为x度，根据余角和补角的定义列出式子计算即可．
【详解】解：设这个锐角为x度，则其补角为180−x度，余角为90−x度，
∴其补角与余角的度数差是180−x−90−x=180−x−90+x=90度，
故答案为：90．
【点睛】本题考查了有关余角和补角的定义，解题关键在于熟记这些定义．
【变式10-2】若∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系是（ ）
A．∠1=∠3B．∠3=90°
C．∠3=180°−∠1D．∠3=90°+∠1
【答案】D
【分析】由∠1与∠2互余，∠2与∠3互补可得∠1+∠2=90°①，∠2+∠3=180°②，由②−①得：∠3−∠1=90°，由此即可得到答案．
【详解】解：∵ ∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，
∴∠1+∠2=90°①，∠2+∠3=180°②，
由②−①得：∠3−∠1=90°，
∴∠3=90°+∠1，
故选：D．
【点睛】本题考查了余角和补角，解决本题的关键是要记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180°．
【变式10-3】如图，O为直线AB上一点，∠COD=90°，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，OF平分∠BOD，下列结论：①∠EOG=90°；②∠DOE与∠BOF互补；③∠AOC−∠BOD=90°；④∠DOG=12∠AOC．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．
【答案】①③④
【分析】设∠BOD=2α，则∠BOC=90°−2α，∠AOC=90°+2α，由角平分线的定义得出∠BOF=∠DOF=12∠BOD=α，∠AOE=∠COE=12∠AOC=45°+α，∠COG=∠BOG=12∠BOC=45°−α，然后再逐项分析即可得到答案．
【详解】解：设∠BOD=2α，
∵ ∠COD=90°，
∴∠BOC=∠COD−∠BOD=90°−2α，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=180°−∠BOC=180°−90°−2α=90°+2α，
∵ OF平分∠BOD，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，
∴∠BOF=∠DOF=12∠BOD=α，∠AOE=∠COE=12∠AOC=45°+α，∠COG=∠BOG=12∠BOC=45°−α，
∴∠EOG=∠EOC+∠COG=45°+α+45°−α=90°，故①正确，符合题意；
∴∠DOE+∠BOF=∠COD+∠COE+∠BOF=90°+45°+α+α=135°+2α，
∵α度数未知，
∴ ∠DOE与∠BOF不一定互补，故②错误，不符合题意；
∴∠AOC−∠BOD=90°+2α−2α=90°，故③正确，符合题意；
∵∠DOG=∠BOD+∠BOG=2α+45°−α=45°+α，∠AOC=90°+2α，
∴ ∠DOG=12∠AOC，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有：①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查的是补角和余角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
【题型11 同（等）角的余角和补角相等的运用】
【例11】如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE=∠COF=90°，图中与∠BOC互补的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据同角的余角相等，得到∠COA=∠EOF，根据平角的定义，得到∠BOC+∠AOC=180°，∠BOC+∠BOD=180°，进而得到∠BOC+∠EOF=180°，即可得出结果．
【详解】解：∵∠AOE=∠COF=90°，
∴∠COA=∠EOF=90°−∠COE，
∵∠BOC+∠AOC=180°，∠BOC+∠BOD=180°，
∴∠BOC+∠EOF=180°，
∴图中与∠BOC互补的角有∠COA,∠EOF,∠BOD，共3个；
故选C．
【点睛】本题考查补角的判断．正确的识图，理清角的和差关系，熟练掌握同角的余角相等，互补的两角之和为180°，是解题的关键．
【变式11-1】如图所示，∠AOC与∠BOD都是直角，且∠AOB∶∠AOD＝2∶11，则∠AOB＝（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
【答案】C
【分析】由∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD知∠AOB=∠COD，设∠AOB=2α，则∠AOD=11α，故∠AOB+∠BOC=9α=90°，解得α，从而可求解．
【详解】解：∵∠AOC与∠BOD都是直角，
∴∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD=90°，
∴∠AOB=∠COD， 设∠AOB=2α，
∵∠AOB：∠AOD=2：11，
∴∠AOD=11α,∠AOC=9α,
∴∠AOB+∠BOC=9α=90°，
解得α=10°，
∴∠AOB=20°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角的计算以及余角和补角，正确表示出各角度数是解题关键．
【变式11-2】如图，∠AOC=∠BOD=90°.
(1)直接写出图中一组相等的锐角；
(2)设∠DOC=α，∠AOB=β，求β与α之间的关系式；
(3)请在备用图中，仅利用三角板画出∠MPN，使∠MPN=∠EPF.（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)∠AOD=∠BOC
(2)β=180°−α
(3)见解析
【分析】（1）根据同角的余角相等，即可得到答案；
（2）结合角的特点进行计算即可；
（3）以PF为直角的一边作∠MPF，再以EP为直角的一边作∠EPN，∠MPN即为所求作．
【详解】（1）解：∵ ∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠DOC+∠AOD=90°，∠DOC+∠BOC=90°，
∴ ∠AOD=∠BOC；
（2）解：设∠DOC=α，∠AOB=β，则β=∠AOD+α+∠COB，
∴β+α=∠AOD+α+∠COB+α，
∴β+α=∠AOC+∠BOD=180°，
∴ β=180°−α；
（3）解：如图所示，∠MPN即为所求．
∵EPN，∠MPF=90°，
∴∠EPN+∠EPM=∠MPF+∠EPM，
∴∠MPN=∠EPF．
【点睛】本题考查了角的和差计算，同角的余角相等，作图-复杂作图，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式11-3】如图，平面内∠AOB=∠COD=90°，∠COE=∠BOE，OF平分∠AOD，则以下结论：①∠AOE=∠DOE；②∠AOD+∠COB=180°；③∠COB−∠AOD=90°；④∠COE+∠BOF=180°．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．0个
【答案】B
【分析】先根据余角的性质证明∠AOC=∠BOD，再根据∠COE=∠BOE，即可判断①正确；根据∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°=90°+90°=180°，即可判断②正确；根据∠COB−∠AOD=∠AOC+90°−∠AOD，且∠AOC≠∠AOD，可判断③错误；
根据平分线的定义得出∠AOF=∠DOF，根据∠AOE=∠DOE得出∠AOF+∠AOE=∠DOF+∠DOE=180°，根据∠COE=∠BOE，即可判断④正确．
【详解】解：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD=90°，
∴∠AOC=∠BOD
∵∠COE=∠BOE，
∴∠AOE=∠DOE，故①正确；
∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°=90°+90°=180°，故②正确；
∠COB−∠AOD=∠AOC+90°−∠AOD，
而∠AOC≠∠AOD，故③不正确；
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF=∠DOF，
∵∠AOE=∠DOE，
∴∠AOF+∠AOE=∠DOF+∠DOE=180°，即点F、O、E共线，
∵∠COE=∠BOE，
∴∠COE+∠BOF=180°，故④正确；
综上分析可知，正确结论的个数有3个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，余角的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握各角度之间的关系．
表示方法
A
图例
记法
适用范围
用三个大写字母表示
B
O
AOB
或BOA
任何情况下都适应.表示端点的字母必须写在中间.
用一个大写字母表示
A
A
以这个点为顶点的角只有一个.
用数字表示
1
1
任何情况下都适用.但必须在靠近顶点处加上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊字母.
用希腊字母表示
∠AOB内射线的条数
1
2
3
4
角的总个数
______
______
______
______
表示方法
A
图例
记法
适用范围
用三个大写字母表示
B
O
AOB
或BOA
任何情况下都适应.表示端点的字母必须写在中间.
用一个大写字母表示
A
A
以这个点为顶点的角只有一个.
用数字表示
1
1
任何情况下都适用.但必须在靠近顶点处加上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊字母.
用希腊字母表示
∠AOB内射线的条数
1
2
3
4
角的总个数
______
______
______
______
∠AOB内射线的条数
1
2
3
4
角的总个数
3
6
10
15
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