+浙江省杭州外国语学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试卷+

这是一份+浙江省杭州外国语学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试卷+，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在中，，，，那么等于( )
A. B. C. D.
2.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了如图，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是( )
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
3.如图，点A、D、G、M在半上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形．设，，，则下列各式中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，在中，，，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是( )
A. B. BD平分
C. D. 点D为线段AC的黄金分割点
5.已知二次函数的y与x的部分对应值如表：
则下列判断中正确的是( )
A. 抛物线开口向上
B. 抛物线与y轴交于负半轴
C. 当时，
D. 方程的正根在3与4之间
6.二次函数和正比例函数的图象如图所示，则方程的两根之和( )
A. 大于0
B. 等于0
C. 小于0
D. 不能确定
7.如图，直径为10的上经过点和点，B是y轴右侧优弧上一点，则的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在半径为1的中，直径AB把分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点与点A、B不重合，过点C作弦，垂足为E，的平分线交于点P，设，，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.分解因式：______.
10.如图，线段，于点A，于点B，，，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为______.
11.如图，在扇形OAB中，，点C是上的一个动点不与A，B重合，，，垂足分别为D，若，则扇形OAB的面积为______.
12.已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：
①，
②，
③，
④，，
⑤正确的序号是______.
三、解答题：本题共4小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题10分
计算：；
解分式方程：
14.本小题10分
如图，四边形ABCD中，AC平分，，E为AB的中点，连接CE，
求证：；
若，，求的值.
15.本小题14分
已知、、、、五个点，抛物线经过其中的三个点.
求证：C、E两点不可能同时在抛物线上；
点A在抛物线上吗？为什么？
求a和k的值.
16.本小题8分
如图，在矩形ABCD中，是大于0的常数，，E为线段BC上的动点不与B、C重合连接DE，作，EF与射线BA交于点F，设，
求y关于x的函数关系式；
若，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
若，要使为等腰三角形，m的值应为多少？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：，
，
是直角三角形，，
，
故选：
根据中，，，可利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，再根据正弦的定义可得答案．
此题主要考查了勾股定理逆定理，解直角三角形，关键是掌握勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
2.【答案】A
【解析】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：
利用段完整的弧结合垂径定理确定圆心即可．
本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
3.【答案】D
【解析】解：连接OM、OD、OA、根据矩形的对角线相等，得，，再根据同圆的半径相等，得
故选
本题主要根据矩形的性质以及垂径定理进行做题．
此题主要能够根据矩形的对角线相等把线段进行转换，根据同圆的半径相等即可证明．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，黄金分割点，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．
求出的度数即可判断A；求出和的度数，求出的度数，即可判断B；根据三角形面积即可判断C；求出∽，得出，求出，即可判断
【解答】
解：A、，，
，
，正确，
B、是AB垂直平分线，
，
，
，
是的角平分线，正确，
C，根据已知不能推出的面积和面积相等，错误，
D、，，
∽，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即点D是AC的黄金分割点，正确，
故选：
5.【答案】D
【解析】解：由图表可得，
该函数的对称轴是直线，有最大值，
抛物线开口向下，故选项A错误，
抛物线与y轴的交点为，故选项B错误，
和时的函数值相等，则时，，故选项C错误，
方程的正根在3与4之间，故选项D正确，
故选：
根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
6.【答案】A
【解析】解：设的两根为，，
由二次函数的图象可知，，
设方程的两根为m，n，则，
，
，
故选
设的两根为，，由二次函数的图象可知，，设方程的两根为m，n再根据根与系数的关系即可得出结论．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图，连接CA并延长交与点D，连接OD，
同弧所对的圆周角相等，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
即的余弦值为
故选：
首先根据圆周角定理，判断出；然后根据CD是的直径，判断出，在中，用OD的长度除以CD的长度，求出的余弦值为多少，进而判断出的余弦值为多少即可．
此题主要考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
此题还考查了锐角三角函数值的求法，要熟练掌握．
8.【答案】A
【解析】解：连接OP，
，
，，
，
故选：
连接OP，根据条件可判断出，即AP是定值，与x的大小无关，所以函数图象是平行于x轴的线段．要注意CE的长度是小于1而大于0的．
解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．
9.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为：
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解-提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
10.【答案】1或3或
【解析】解：设
以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，
①当时，，解得
②当时，，解得或，
当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，AP的长为1或3或8，
故答案为1或3或
分两种情形构建方程求解即可．
本题考查了相似三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：连接AB，
，，
、E分别为BC、AC的中点，
为的中位线，
又在中，，，
，
扇形OAB的面积为：
故答案是：
连接AB，由OD垂直于BC，OE垂直于AC，利用垂径定理得到D、E分别为BC、AC的中点，即ED为三角形ABC的中位线，即可求出AB的长．利用勾股定理、，且，可以求得该扇形的半径．
此题考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积的计算以及三角形的中位线定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
12.【答案】④⑤
【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，②错误．
抛物线与y轴交点在x轴上方，
，
，①错误．
由图象可得时，，
③错误．
由图象可得时，为最大值，
，即，④正确．
时，，抛物线对称轴为直线，
时，，
，
，
，
，⑤正确．
故答案为：④⑤．
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．
13.【答案】解：
；
，
方程可化为，
方程两边同乘，得，
解得，，
检验：当时，，所以不是分式方程的解；
当时，，所以是分式方程的解；
所以原分式方程的解是
【解析】先根据有理数的乘方、算术平方根、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可；
分式方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可．
本题考查了解分式方程，实数的运算，熟练掌握运算法则以及解分式方程的步骤是解题的关键．
14.【答案】证明：平分，
，
，
∽，
：：AB，
；
解：，E为AB中点，
，
，
平分，
，
，
，
∽，
：：CF，
，
，
，

【解析】由AC平分，，可证得∽，然后由相似三角形的对应边成比例，证得；
易证得∽，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．
此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
15.【答案】解：抛物线的对称轴为，
而，两点纵坐标相等，
由抛物线的对称性可知，C、E关于直线对称，
又与对称轴相距2，与对称轴相距3，
、E两点不可能同时在抛物线上；
假设点在抛物线上，
则，解得，
因为抛物线经过5个点中的三个点，
将、、、代入，
得出a的值分别为，，，，
所以抛物线经过的点是B，D，
又因为，与矛盾，
所以假设不成立．
所以A不在抛物线上；
由题意，抛物线可能经过BCD或者BDE，
将、两点坐标代入中，得
，
解得，
，
在抛物线上．
或将E、D两点坐标代入中，得
，
解得，
，
在抛物线上．
综上所述，或
【解析】由抛物线可知，抛物线对称轴为，而，两点纵坐标相等，应该关于直线对称，但与对称轴相距2，与对称轴相距3，故不可能；
假设A点在抛物线上，得出矛盾排除A点在抛物线上；
、D两点关于对称轴对称，一定在抛物线上，另外一点可能是C点或E点，分别将C、D或D、E两点坐标代入求a和k的值．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是明确图象上点的坐标必须满足函数解析式．
16.【答案】解：，
，
又，
∽，
，即，解得；
由得，
将代入，得，
所以当时，y取得最大值为2；
，只有当时，为等腰三角形，
≌，
，
此时，解方程，得，或，
当时，，
当时，
【解析】利用互余关系找角相等，证明∽，根据对应边的比相等求函数关系式；
把m的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；
，只有当时，为等腰三角形，把条件代入即可．
本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来，在解题过程中，充分运用相似三角形对应边的比相等，建立函数关系式．x
…
0
1
3
…
y
…
1
3
1
…