2021-2022学年上海市宝山区九年级下学期数学期末试题及答案

这是一份2021-2022学年上海市宝山区九年级下学期数学期末试题及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化为最简二次根式，根据同类二次根式定义一一判断选择即可．
【详解】解：A． 与不是同类二次根式，故不符合题意；
B． 与不是同类二次根式，故不符合题意；
C．与是同类二次根式，符合题意；
D．与不是同类二次根式，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是同类二次根式的定义与二次根式的化简，最简二次根式，能够化简选项中的二次根式是解题的关键．
2. 关于x的一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有且只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=9＞0，进而即可得出方程x2﹣x﹣2=0有两个不相等的实数根．
【详解】解：∵△=（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）=9＞0，
∴方程x2﹣x﹣2=0有两个不相等的实数根．
故选A．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
3. 已知反比例函数的图像经过点（-3，2），那么这个反比例函数的解析式是（ ）
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】
【分析】已知函数图象上一点的坐标求反比例函数解析式，可先设出解析式y=，再将点的坐标代入求出待定系数k的值，从而得出答案．
【详解】解：设反比例函数解析式为y=，
将（-3，2）代入，得：2=，
解得k=-6，
所以这个反比例函数解析式为y=-，
故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上的点的坐标满足函数图象的解析式是本题的关键．
4. 下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（ ）
A. 方差B. 众数C. 平均数D. 频数
【答案】A
【解析】
【分析】根据方差、众数、平均数、频数的意义即可求解．
【详解】解：方差是表示一组数据波动程度的量，众数、平均数是表示一组数据集中趋势的量，频数是表示数据出现的次数，
故选A．
【点睛】本题考查了方差、众数、平均数、频数的意义，掌握以上知识是解题的关键．
5. 在下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）
A. 等边三角形B. 平行四边形C. 正五边形D. 圆
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念逐一判断即可得．
【详解】解：A．等边三角形一定是轴对称图形，不符合题意；
B．平行四边形不一定是轴对称图形，符合题意；
C．正五边形一定是轴对称图形，不符合题意；
D．圆一定是轴对称图形，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
6. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=4，AD=，，圆O是以AB为直径的圆．如果以点C为圆心作圆C与直线AD相交，与圆O没有公共点，那么圆C的半径长可以是（ ）
A. 9B. C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直角三角形的边角关系求出FC，进而求出BC，再根据勾股定理求出两个圆心之间的距离OC，由⊙C与直线AD相交，⊙C与⊙O没有公共点，确定⊙C半径的取值范围，进而得出答案．
【详解】如图，连接OC交⊙O于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
则DF＝AB＝4，BF＝AD＝2，
在Rt△DCF中，DF＝4，ctC＝，
∴FC＝ctC•DF＝，
∴BC＝BF＋FC＝3，
在Rt△BOC中，，由于⊙C与直线AD相交，
因此⊙C的半径要大于4，
又⊙C与⊙O没有公共点，
因此⊙C与⊙O外离或内含，
当⊙C与⊙O外离时，⊙C的半径要小于CE＝7−2＝5，
此时⊙C的半径4＜r＜5；
当⊙C与⊙O内含时，⊙C的半径要大于7＋2＝9，
此时⊙C的半径r＞9；
所以⊙C的半径为4＜r＜5或r＞9，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理，直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系，掌握勾股定理，圆与圆的位置关系的判定方法是正确解答的前提．
二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 计算：=______．
【答案】
【解析】
【分析】根据积的乘方公式和幂的乘方公式计算即可．
【详解】解：=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了积的乘方公式和幂的乘方，解题的关键是理解积的乘方和幂的乘方的运算法则．
8. 某商品原价为a元，如果按原价的七五折销售，那么售价是______元．（用含字母a的代数式表示）
【答案】0.75a
【解析】
【分析】根据题意，可以用含a的代数式表示出该件商品的售价．
【详解】解：根据题意知售价为0.75a元，
故答案为：0.75a．
【点睛】本题主要考查列代数式，解题的关键是掌握代数式书写规范与数量间的关系．
9. 不等式组的解集是_____．【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：由x-2＜0，得：x＜2，
由2x+3＞1，得：x＞-1，
则不等式组的解集为-1＜x＜2．
故答案为：-1＜x＜2．
【点睛】本题考查是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】运用平方差公式即可作答．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用公式法分解因式的知识，掌握平方差公式是解答本题的关键．
11. 已知函数，那么=______．
【答案】-2
【解析】
【分析】把x=2代入函数即可求解．
详解】解：=-2，
故答案为：-2．
【点睛】此题主要考查函数值求解，解题的关键是把自变量的值代入函数解析式．
12. 如果函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而_____．（填“增大”或“减小”）
【答案】减小
【解析】
【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．【详解】解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】此题考查的是判断正比例函数的增减性，掌握正比例函数的性质是解决此题的关键．
13. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．”意思是：有一群人共同出资买某物品，每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．那么根据条件，该物品值______钱．
【答案】53
【解析】
【分析】根据题意设一共有x人，列出一元一次方程，解出人数，则可求出该物品值多少钱．
【详解】解：设：一共有x人，
解得：，
∴，
∴该物品值53钱，
故答案为：53．
【点睛】本题考查解一元一次方程，根据题目意思列出方程是解答本题的关键．
14. 在2022年北京冬奥会上，中国共获得9枚金牌，在金牌榜上排名第三，创下了我国有史以来最好的冬奥会成绩．下表是北京冬奥会金牌榜排名前十位国家的金牌数：
那么这些国家获得金牌数的中位数是______枚．
【答案】8
【解析】
【分析】根据中位数的定义求解．
【详解】解：排名前十位国家的金牌数的中位数为（8+8）÷2=8．
∴这些国家获得金牌数的中位数是8（枚）．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了中位数的定义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
15. 如果一个等腰直角三角形的面积是1，那么它的周长是_____．【答案】##
【解析】
【分析】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，由等腰直角三角形的面积是1，求得AB＝AC＝，由勾股定理求得BC＝2，即可得到△ABC的周长．
【详解】解：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∵等腰直角三角形的面积是1，
∴，
解得AB＝AC＝，
由勾股定理得，＝＝4，
∴BC＝＝2，
∴△ABC的周长是BC＋AB＋AC＝2＋＋＝，
故答案为：
【点睛】此题考查了等腰直角三角形性质、勾股定理、三角形的周长等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
16. 如图，已知AC、BD是梯形ABCD的对角线，AD//BC，BC=2AD，如果设，，那么向量用向量、表示为______．
【答案】##
【解析】【分析】由四边形ABCD是梯形，ADBC，BC＝2AD，，根据平行向量的性质，即可求得的值，由求得，再由即可求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是梯形，ADBC，BC＝2AD，，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ．
故答案为：
【点睛】此题考查了平面向量的知识与梯形的性质．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意数形结合思想的应用．
17. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，F为边CD上一点，沿AF折叠，点D恰好落在BC边上的点E处，那么线段DF ： FC的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】因为△AFE是由△ADE翻折得到，推出AD=AF=5，EF=DE，设DE=EF=x，在Rt△ABF中，BF==4，推出FC=BC-BF=1，由勾股定理可得DF，从而可得结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=3，AD=BC=5
∵△AFE是由△ADE翻折得到，∴AD=AF=5，EF=DE，
在Rt△ABF中，BF==4，∴FC=BC-BF=1，
连接DF，如图，
在Rt△DFC中，∵
∴
∴DF ： FC
故答案为．
【点睛】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18. 一个封闭平面图形上及其内部任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径的比值称为该图形的“周率”，如果正三角形、正方形和圆的周率依次记为a、b、c，那么将a、b、c从小到大排列为______．
【答案】b＜a＜c
【解析】
【分析】根据“周率”和“直径”的含义求出a、b、c即可作答．
【详解】根据“周率”的含义求出正三角形和正方形的 “周率”，圆的圆周率是c=π，
设正方形的边长为1，则周长为4，正方形的“直径”为，则，
设正三角形的边长为1，则周长为3，正三角形的“直径”为1，则a=3，
则有：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，根据题意求出a、b、c是解答本题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】根据分数指数幂运算法则，二次根式乘除运算，负指数幂运算法则和去绝对值进行计算即可得出答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了分数指数幂运算，负整数指数幂运算，去绝对值，熟练这些运算法则是解题的关键．
20. 解方程：．
【答案】原方程的根是x=3
【解析】
【分析】根据解分式方程的步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，因式分解法解一元二次方程，再检验即可．
【详解】解：方程两边同时乘以，得，
整理，得，
解这个整式方程，得，，
经检验，是增根，舍去，
所以，原方程得根是．
【点睛】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．注意：解分式方程时要检验．
21. 在平面直角坐标系xOy中，已知某个一次函数的图像平行于直线y＝x，经过点A（-2，1），且与x轴交于点B．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点C在y轴上，当△ABC的面积等于2时，求点C的坐标．
【答案】（1）y=x+2
（2）点C的坐标是（0，4），（0，0）
【解析】
【分析】（1）设这个一次函数的解析式是y=kx+b（k≠0），由一次函数图像平行于直线y=x，得k=，由一次函数图像经过点A（-2，1），代入求解即可；
（2）设点C的坐标为（0，m），过点A作AH⊥y轴，可得H（0，1），由y=x+2，得直线AB与y轴交于点D（0，2），表示出CD=|m-2|，根据求解即可．
【小问1详解】
设这个一次函数的解析式是y=kx+b（k≠0），
由一次函数图像平行于直线y=x，得k= ，
由一次函数图像经过点A（-2，1），得b=2 ，
所以一次函数的解析式是y=x+2；
【小问2详解】
如图，
设点C的坐标为（0，m），
过点A作AH⊥y轴，垂足为H，H（0，1），∴AH=2，
由y=x+2，得直线AB与y轴交于点D（0，2），
所以CD=|m-2|，
与x轴交点B（-4，0），
∴BO=4，
，
所以，
所以m=4，m=0，
所以点C的坐标是（0，4），（0，0）．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点及三角形的面积问题，熟练掌握知识点并能够运用数形结合的思想是解题的关键．
22. 某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米.根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）．
（1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度；
（2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且．求扶手AD的长度．
（参考数据：，，，）
【答案】（1）点B与点C离地面的高度差BH的长度为0.75米
（2）扶手AD的长度为米
【解析】
【分析】(1）通过图观察可知BH高度包含3层台阶，因而DH=每级小台阶高度×小台阶层数；
(2）首先连接BC，可得四边形ABCD是平行四边形，在Rt△BCH中，利用cs∠CBH，，即可求出AD=BC的长．
【小问1详解】
∵通过图观察可知BH高度包含3层台阶，
∴BH=0.25×3=0.75（米）；
【小问2详解】
连接BC，
由题意得AB//DC，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠CBH=∠A=66°，
∵∠AHC=90°，
∴Rt△BCH中，cs∠CBH=，
∴（米），
∴，
∴扶手AD的长度为米．
【点睛】此题考查了三角函数的基本概念，主要是利用余弦概念及运算，从而把实际问题转化为数学问题加以解决．
23. 已知：如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，DF∥AC，BD=2AD，AE=2EC．
（1）如果AB=2AC，求证：四边形ADFE是菱形；
（2）如果，且BC=，连结DE，求DE的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）因为BD=2AD，AE=2EC，DF//AC，所以可以得出EF//AB，四边形ADFE是平行四边形，由于AB=2AC，可以推出EF=DF，故四边形ADFE是菱形；
（2）利用两边对应成比例且夹角相等证明△ADE∽△ACB，再用比例式求出DE的长．
【小问1详解】
证：∵BD=2AD，AE=2EC，
∴，
∵DF//AC，
∴，
∴，
∴EF//AB，
∴四边形ADFE是平行四边形．
∴EF=AD=，DF=AE=．
∵AB=2AC，
∴EF=，
∴EF=DF，
∴四边形ADFE是菱形．【小问2详解】
如图：
∵BD=2AD，AE=2EC，
∴AD=，AE=，
∴，
∵，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴DE=．
【点睛】本题考查菱形的判定，相似三角形的判定与性质，利用平行线分线段成比例的性质证明平行是解答本题的关键．
24. 已知抛物线经过点A（1，0）、B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将抛物线向左平移m个单位（），平移后点A、B、C的对应点分别记作、、，过点作⊥x轴，垂足为点D，点E在y轴负半轴上，使得以O、E、为顶点的三角形与△相似，
①求点E的坐标；（用含m的代数式表示）
②如果平移后的抛物线上存在点F，使得四边形为平行四边形，求m的值．
【答案】（1）y=-x²+3x-2
（2）①点E的坐标是（0，4-2m）；（0，1-m）；②m的值是5，
【解析】
【分析】（1）因为抛物线经过点A（1，0）、B（2，0），所以用待定系数法求出a、b的值即可；
（2）根据题意A1（1-m，0），B1（2-m，0），C1（-m，-2），D（-m，0），证明△B1OE∽△C1DA1，求出OE的长度，可得E点坐标；由y=-x²+3x-2，得平移后得抛物线表达式是，由平行四边形A1FEB1，得EF//AB，且EF=AB=1，当E点的坐标是（0，4－2m）时，得F（-1，4-2m），当E点的坐标是（0，1-m）时，得F（-1，1-m），求出m的即可．
【小问1详解】
解：由抛物线过点A（1，0）、B（2，0），得
，
解这个方程组得，
所以，抛物线的表达式为y=-x²+3x-2．
【小问2详解】
解：①由题意得，A1（1-m，0），B1（2-m，0），C1（-m，-2），D（-m，0），
∴DC1=2，DA1=1，OB1=m-2．
∵∠C1DA1=∠B1OE=90°，
∴（i）当时，△B1OE∽△A1DC1，
∴OE=2m-4，
∴E点的坐标是（0，4-2m）； （ii）当时，△B1OE∽△C1DA1，
∴OE=m-1，
∴E点的坐标是（0，1-m）．
②由y=-x²+3x-2，
得平移后得抛物线表达式是，
由平行四边形A1FEB1，得EF//AB，且EF=AB=1，
（i）当E点的坐标是（0，4－2m）时，得F（-1，4-2m），
所以，解方程得m=2(舍去)，m=5；
（ii）当E点的坐标是（0，1-m）时，得F（-1，1-m），
所以，解方程得m=2(舍去)，m=；
所以m的值是5，．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，相似三角形的性质，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
25. 如图，已知AB为圆O的直径，C是弧AB上一点，联结BC，过点O作OD⊥BC，垂足为点E，联结AD交BC于点F．
（1）求证：；（2）如果，求∠ABC的正弦值；
（3）联结OF，如果△AOF为直角三角形，求值．
【答案】（1）见解析 （2）∠ABC的正弦值为
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理可证明E为BC的中点，再利用中位线定理可得AC=2OE，OE//AC，证明△ACF∽△DEF，可得结论；
（2）连结OF，过点F作FH⊥AB，垂足为H，证明△AOF∽△ADO可证得AH=AO，再证明△ACF≌△AHF，可得AC=AH，从而可求得sinB的值．
（3）先得出，分当∠AOF=90°和∠AFO=90°两种情况讨论求得即可得出结论．
【小问1详解】
解：连结AC，
∵OD⊥BC，
∴点E是BC的中点，
∵点O是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AC=2OE，OE//AC，
∴△ACF∽△DEF，
∴，∴．
【小问2详解】
连结OF，过点F作FH⊥AB，垂足为H，
∵AF·AD=AO²，
∴，
∵∠OAF=∠DAO，
∴△AOF∽△ADO，
∴∠AOF=∠D，
∵OA=OD，
∴∠FAO=∠D，
∴∠FAO=∠FOA，
∴FA=FO，
∴AH=AO.
∵OD//AC，
∴∠CAF=∠D，∠ACB=∠OEB=90°，
∴∠CAF=∠OAF，
∴△ACF≌△AHF，
∴AC=AH=AO.
Rt△ABC中，sinB=．
【小问3详解】
∵AC//OD，∴，
∵，，
∴，
由题意可知∠FAO≠90°，
（i）当∠AOF=90°时，
可得∠B=∠FAO，由∠OAD=∠D，可得∠B=∠D，
由OE⊥FB，得∠FOE=∠B，
∴∠D=∠FOE，
∴OF=FD，
∴DE=OE，
∴，
∴，
∴，
∴；
（ii）∠AFO=90°时，
可得DF=FA，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，垂径定理、三角形中位线的判定，圆周角定理等．（1）中能得出AC为△ABC的中位线是解题关键；（2）中能正确构造辅助线是解题关键；（3）需注意分类讨论．国家
挪威
德国
中国
美国
瑞典
荷兰
奥地利
瑞士
俄罗斯代表队
法国
金牌数（枚）
16
12
9
8
8
8
7
7
6
5