广东省东莞市岭南师范学院附属中学2024届九年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)

这是一份广东省东莞市岭南师范学院附属中学2024届九年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共 10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列式子中，是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：．A. 不是二次根式，不符合题意；
B. 是二次根式，符合题意；
C. 不是二次根式，不符合题意；
D. 所以不是二次根式，不符合题意；
故选B．
2. 下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ）
A. 4、5、6B. 5、12、13C. 3、4、5D. 1、、
【答案】A
解析：解：A、因为52+42≠62，所以不能组成直角三角形；
B、因为122+52＝132，所以能组成直角三角形；
C、因为32+42＝52，所以能组成直角三角形；
D、因为12+（）2＝（）2，所以能组成直角三角形．
故选：A．
3. 体育课上，九（1）班两个组各10人参加跳绳测试，要判断哪一组成绩比较整齐，通常需要知道这两个组跳绳测试成绩的（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】D
解析：根据方差越小，数据波动越小，越稳定，
故选D．
4. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
解析：分析：依据函数的定义进行判断即可．
详解：A．取一个x有两个y值与之相对应，故A错误，与要求相符；
B．取一个x有一个y值与之相对应，故B正确，与要求不相符；
C．取一个x有一个y值与之相对应，故C正确，与要求不相符；
D．取一个x有一个y值与之相对应，故D正确，与要求不相符．
故选A．
5. 小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地．设小刚离家路程为（千米），速度为（千米/分），时间为（分）下列函数图象能表达这一过程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：解：∵400×5＝2000（米）＝2（千米），
∴小刚以400米/分的速度匀速骑车5分行驶的路程为2千米，
而选项A与B中纵轴表示速度，且速度为变量，这与事实不符，
故排除选项A与B；
又∵回到原出发地”表示终点的纵坐标为0，
∴排除选项D，
故选：C．
6. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴平移后，新图象的顶点坐标是．
∴所得抛物线的表达式为．
故选B．
7. 矩形不具有的性质是（ ）
A. 对边平行且相等B. 对角线相等
C. 四角相等D. 对角线互相垂直
【答案】D
解析：解：对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故D选项符合题意，
故选：D．
8. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 有两边相等的平行四边形是菱形
B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 四个角相等的菱形是正方形
D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】C
解析：解：A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，则原命题是假命题，故此选项不符合题意；
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形，则原命题是假命题，故此选项不符合题意；
C．四个角相等的菱形是正方形，则原命题是真命题，故此选项符合题意；
D．两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，则原命题是假命题，故此选项不符合题意．
故选：C．
9. 一次函数和二次函数的图象，在同一直角坐标系中的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的顶点在y轴的负半轴，
∴，
根据一次函数图象分布，得，，
故A不符合题意；
∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的顶点在y轴的负半轴，
∴，
根据一次函数图象分布，得，，
故B不符合题意；
∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的顶点在y轴的正半轴，
∴，
根据一次函数图象分布，得，，
故C符合题意；
∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的顶点在y轴的正半轴，
∴，
根据一次函数图象分布，得，，
故D不符合题意；
故选C．
10. 在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点、、，则第四个顶点的坐标不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：平行四边形的顶点、、，
设第四个顶点坐标为，根据题意，得：
当、是对角线的两个顶点时，对角线交点的坐标为，
故，
解得，
故第四个顶点为，
故C不符合题意；
当、是对角线的两个顶点时，对角线交点的坐标为，
故，
解得，
故第四个顶点为，
故A不符合题意；
当、是对角线的两个顶点时，对角线交点的坐标为，
故，
解得，
故第四个顶点为，
故D不符合题意；
一共就有3种可能，
故B错误，符合题意，
故选B．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 计算的结果是______.
【答案】
解析：.
12. 二次函数与x轴的交点个数是______．
【答案】1个
解析：解：令，
因为，
所以二次函数与x轴的交点个数是1，
故答案为：1个．
13. 二次函数的最小值是________．
【答案】1
解析：根据题意，，
故抛物线有最小值1，
故答案为：1．
14. 如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F，若BE=2，则CF长为_________．
【答案】2
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝∠DCB＝45°，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，
∴BE＝EF，
∵EF⊥AC，
∴∠EFC＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠FEC＝45°＝∠FCE，
∴EF＝FC＝BE＝2．
故答案为2．
15. 小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图像上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 _____．（填序号，多选、少选、错选都不得分）

【答案】①②③
解析：∵抛物线对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，①正确；
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，②正确．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴另一个交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；
∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，
∴y2＞y1＞y3，④错误．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵＝﹣1，
∴b＝2a，
∴3a+c＝0，⑤错误．
故答案为：①②③．
三、解答题（一）：本小题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．
16. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
解析：（1）解：原式

．
（2）解：，
，
，
．
17. 某公司为了了解员工每人所创年利润情况，公司从各部抽取部分员工对每年所创年利润情况进行统计，并绘制如图1、图2的统计图．

（1）求抽取员工总人数，并将图补充完整；
（2）每人所创年利润的众数是______，每人所创年利润的中位数是______；
（3）若每人创造年利润万元及以上为优秀员工，在公司名员工中有多少人可以评为优秀员工？
【答案】（1）抽取员工总数为：（人），补全图形见解析
（2）万元，万元
（3）在公司员工中有人可以评为优秀员工
（1）
抽取员工总数：（人）；
万元的员工的百分比：，
万元员工人数：（人），
万元的员工人数：（人），
统计图如下：

（2）
由图可知，众数为：万元；
总人数共人，按所创年利润从低到高排列后，第，个数据都是万元，
∴中位数为：万元．
（3）
每人创造年利润万元的员工人数：（人），
∴（人），
答：在公司员工中有人可以评为优秀员工．
18. 有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有64人患病．
（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人?
（2）若不及时控制，按这样的传染速度，三轮传染后患病的共有多少人？
【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染了7个人
（2）三轮传染后患病的共有512人
（1）
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得，
解方程，得（舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．
（2）
根据题意，得 (人)
答：三轮传染后患病的共有512人．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 如图，在中，点D，E分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点F，连接，．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（1）
证明：点、分别是边、的中点，
∴，即，
∵，
四边形是平行四边形；
（2）
点是边的中点，，
，
四边形是平行四边形，
，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
又∵，
平行四边形是菱形．
20. 有一根长的木棒，要放入长、宽、高分别是，，的木箱中（如图），能放进去吗?

【答案】能放进去，理由见解析
解析：如图，连接，
根据题意，得，
，
能放进去，
答：能放进去．
21. 如图，一次函数的图象经过点和点．

（1）求该一次函数的解析式；
（2）该一次函数的图象与正比例函数的图象交于点C，求的面积．
【答案】（1）
（2）
（1）
∵直线经过点，，
∴，
解得，
故直线的解析式为．
（2）
根据题意，得，
解得
∴，
∵,
∴三角形面积表示为．
五、解答题（三）：本小题共2小题，每小题12分，共24分．
22. 已知四边形和均为正方形．
（1）如图①，当点A，B，G三点在一条直线上时，连接，，请判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图②，当点A，B，G三点不在一条直线上时，则（1）的结论是否成立？请说明理由．
【答案】（1），，理由见解析
（2）当点A，B，G三点不在一条直线上时，（1）的结论仍然成立．理由见解析
（1）
，．理由如下：
延长，交于点N
∵四边形，四边形是正方形，
∴，，，
在和中，
，
∴．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故且．
（2）
解：当点A，B，G三点不在一条直线上时，（1）的结论仍然成立．理由：如图，记交于点O，交于点N．
∵四边形，四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故且．
23 如图，抛物线与轴交于两点，

（1）求该抛物线的解析式：
（2）设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大，若存在，求出点的坐标及的面积最大值．若没有，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在使得的周长最小
（3）存在使得面积最大，最大为
（1）
解：将，代入中得，
，
，
抛物线解析式为：；
（2）
解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接，
由对称性可知，
∴的周长，
∵A、C为定点，
∴为定值，
∴当最小时，的周长最小，
∴当B、C、Q三点共线时，最小，即的周长最小，
在中，当时，，
的坐标为，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为：，
在中，当时，，
，
∴存在使得的周长最小；
（3）
解：设，过点P作轴于E，
，
∴当有最大值时，有最大值，
，
，
∵，
当时，最大值，
最大，
当时，，
点坐标为，
∴存在使得面积最大，最大为．