吉林省长春市第二实验中学2024届九年级上学期第三月考数学试卷(含答案)

这是一份吉林省长春市第二实验中学2024届九年级上学期第三月考数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 下列实数中，属于无理数的是（ ）
A. ﹣2B. 0C. D. 5
答案：C
2. 预计在2023—2024年雪季，吉林省“北大湖”滑雪场接待游客人次，将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
3. 下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是( )
A. B.
C. D.
答案：D
4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
5. 如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点O到桥面的距离（单位：米）是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
6. 如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（ ）

A. 138°B. 121°C. 118°D. 112°
答案：C
7. 如图，是的外接圆，在弧上找一点M，使点M平分弧．以下是甲乙丙三种不同的作法：
作法正确的个数是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
答案：D
8. 如图，在四边形中，点在轴正半轴上，轴，为边中点，双曲线经过两点，若的面积是2，则的值为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
答案：B
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 买单价3元的圆珠笔m支，应付______元．
答案：3m
10. 分解因式：______．
答案：
11. 关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是 __．
答案：
12. 如图，l1∥l2，将一个三角板直角顶点O放在直线l1上，三角板的两条直角边与l2交于A、B两点，若∠1=35°，则∠2的度数为________°．
答案：55
13. 如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若半圆的半径OA的长为3，阴影部分的面积是________．
答案：
14. 掷实心球是滨州市中考体育测试中的一个项目，如图所示，一名男生掷实心球，实心球行进的路线是一段抛物线，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时达到最高点，此时离地面米，这名男生此次抛掷实心球的成绩是______米．
答案：
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简再求值：，其中．
答案：；-2
解：，
，
，
，
∴原式；
16. 为迎接五•一国际劳动节，某商店准备采购一批服装，经调查，用1000元采购A种服装的件数与用800元采购B种服装的件数相等，A种服装每件的进价比B种服装多10元，求B种服装每件的进价．
答案：B种服装每件的进价为40元．
解：设B种服装每件的进价为x元，由题意可得：
=
解得：x=40
经检验得：x=40为原方程的解，且符合题意
答：B种服装每件的进价为40元．
17. 已知二次函数的图象经过点．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）若该函数图象上的两点，当时，直接写出的取值范围______．
答案：（1）
（2）或
【小问1详解】
解：将代入二次函数得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
【小问2详解】
，
∴抛物线的对称轴为，
∵，
∴抛物线开口向下，
点关于对称的点为，
∵，
∴或，
故答案为：或．
18. 如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，则______．
答案：（1）证明过程见详解
（2）
【小问1详解】
证明：∵，
∴是等腰三角形，
∵平分，
∴，且，即是的垂直平分线，
∵，
∴四边形是平行四边形，且，，
∴平行四边形是菱形．
【小问2详解】
解：由（1）得，，，，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，即，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，则，
在中，
∴．
故答案为：．
19. 如图，⊙是的外接圆，圆心O在AC上．过点B作直线交AC的延长线于点D，使得．过点A作于点E，交⊙于点F．
（1）求证：BD是⊙的切线；
（2）若，，则AE的长为________．
答案：（1）见解析；
（2）
【小问1详解】
证明：如图，连接OB，
∵是的外接圆，圆心O在AC上
∴AC是的直径
∴
∵＝AC＝2
∴
∵，
∴
∴
∵OB是的半径
∴BD是的切线，
【小问2详解】
解：AE的长为，理由如下：
如图，连接CF交OB于点H，
∵AC是直径，
∴∠AFC＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠AFC＝∠AED，
∴CFDE，
∴∠D＝∠ACF，
在Rt△ACF中，
∴sin∠ACF＝，
∵AC＝4，
∴AF＝，
由勾股定理可得：
CF＝，
∵∠AEB＝∠EFC＝∠OBE＝90°，
∴四边形EFHB是矩形，
∴BH＝FE，∠OHC＝90°，
∴ CH＝
在Rt△OCH中，
\
∴
∴ BH＝OB－OH＝2－＝
∴FE＝BH＝
∴AE＝AF＋FE＝＋＝
故答案为：
20. 如图，在边长为1的8×8正方形网格中，点A、B、C均在格点上，（用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹）．
（1）在图①中，作的中线．
（2）在图②中，作的高线．
（3）在图③中，作以为直径的圆O的切线．
答案：（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【小问1详解】
解：如图中，线段即所求；
【小问2详解】
解：如图中，线段即为所求；
【小问3详解】
解：如图中，线段即为所求；
21. 在一条笔直的公路上有三地，地位于两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向地，甲车出发1小时后，乙车从地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达地的过程中，甲、乙两车与地的距离与甲车行驶时间之间的函数关系如图．请根据所给图像解答下列问题：
（1）甲车的行驶速度为______，乙车的行驶速度为______．
（2）当时，求乙车与地的距离与甲车行驶时间之间的函数关系式．
（3）请直接写出当乙车出发多少小时时，两车相遇．
答案：（1）60，80；
（2）
（3）小时
【小问1详解】
解：甲车行驶速度是，
乙车行驶速度是，
∴甲车行驶速度是，乙车行驶速度是；
故答案为：60，80；
【小问2详解】
解：当时，
∵，
∴图象过点，
设，
∵图象过点，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：设乙车出发m小时，两车相遇，由题意得：
，
解得： ．
∴当乙车出发小时，两车相遇．
22. 【推理】如图①，在边长为8的正方形中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连结，延长交于点，求证：．
【运用】如图②，在【推理】条件下，延长交于点，若点是的中点，则线段______．
【拓展】如图③，在【推理】条件下，交于点，连结，则的最小值是______．
答案：推理：见详解
运用：2
拓展：
解析：推理：
证明：∵四边形是正方形，
，，
，
根据折叠可知垂直平分，
，
．
在和中
，
．
运用：如图，连接
由题意得，
.
∵点是中点，
，
．
在和中
，
，
．
由题意得，
．
，
．
，
，
．
，
，
．
故答案为：2
拓展：如图，
取的中点O，连接，
，O为的中点，
，
∴点M在以O为圆心，长为半径的圆上运动．
当点E运动到点D时，点G运动到A点，
此时M点是、的交点，此时最小，
∵在正方形中，于点 M，且平分，
，
故答案为：．
23. 如图，在中，是中点，是中点．点从A出发以每秒2个单位速度沿向终点运动，连接，作点A关于直线的对称点，连接，设点的运动时间为．
（1）用含的代数式表示线段的长．
（2）求点到的距离．
（3）当是钝角三角形时，求的取值范围．
（4）当与的一边平行，直接写出的值．
答案：（1）
（2）
（3）或
（4）或或
【小问1详解】
解：∵，是中点，
∴，
∴当点P在上运动时，即时，，
当点P在上运动时，即时，；
综上可得：；
【小问2详解】
连接，过点C作，如图所示：
∵，，是中点，
∴,
∴，
∴即，
解得，
∴到的距离为；
【小问3详解】
∵点A关于直线的对称点，
∴是钝角三角形时，是钝角三角形，
当时，过点C作，如图所示：
∴，
∴，
∵O是中点，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
∴，
∴当时，是钝角三角形；
当时，如图所示：
∵，
∴，
∵O是中点，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴当时，是钝角三角形；
综上可得：当或时，是钝角三角形；
【小问4详解】
当时，如图所示：
此时点与点D重合，
∴，
∴；
如图所示：当时，连接，过点P作，，过点B作，
同理得：，，
∴，
∵AP=2t，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
如图所示：当时，
连接交于点M，连接，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
综上可得：t的值为或或．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点，点A在抛物线上，其横坐标为，将此抛物线上两点间的部分（包括两点）记为图象．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当垂直于轴时，求的值．
（3）当图像与直线有且只有一个交点时，求的取值范围．
（4）已知点，顺次连结得到矩形，当图象与该矩形的边有且只有两个公共点时，直接写出的取值范围．
答案：（1）
（2）
（3）的取值范围为或或
（4）或
【小问1详解】
解：∵抛物线（为常数）经过点，
∴，
解得，，
∴抛物线解析式为．
【小问2详解】
，
∴对称轴为，
∵抛物线上两点间的部分，且垂直于轴，
∴点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴，
解得：或（不符合题意舍去），
∴；
【小问3详解】
解：当点A在抛物线上，其横坐标为时，对应函数值为，即点，
图像与直线有一个交点，
当时，即，如图所示，
，则，
∴当图像与直线有一个交点时，；
令，则，
解得，，，
∴当时，即，如图所示，
∴，则，
解得，
∴当图像与直线有一个交点时，；
当，即时，如图所示，
∴，整理得，，
解得，或，
∴当图像与直线有一个交点时，；
综上所述，当图像与直线有一个交点时，的取值范围为或或．
【小问4详解】
解：当图形与该矩形的边有两个公共点时，
如图所示，，
，，，
当在抛物线顶点上方时，即，则点的坐标，
∴，解得，；
当在抛物线顶点下方时，即，如图所示，
∴点的纵坐标的范围是，
点的纵坐标的范围是，
∴，解得，，
∴；
综上所述，当图形与该矩形的边有两个公共点时，的取值范围为或．