深圳大学附属中学2024届九年级上学期期中期过关性评价数学试卷(含解析)

这是一份深圳大学附属中学2024届九年级上学期期中期过关性评价数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了 下列命题中，假命题是， 定义等内容，欢迎下载使用。
1. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：由原方程移项，
得：，
方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方，
得：，
．
故选：C．
2. 如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF=3：2，BC=6，CE的长为（ ）
A. 2B. 7C. 4D. 5
【答案】C
解析：∵AB∥CD∥EF
∴
∴
故选C
3. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：解：设该药品平均每次降价的百分率为，
根据题意得：，
故选：C．
4. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A. 20B. 24C. 28D. 30
【答案】D
解析：根据题意得=30%，解得：n=30，
经检验：n=30符合题意，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：D．
5. 一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔的选手的实际身高情况，那么她应穿（ ）cm高的鞋子才能好看．（精确到1cm，参考数据：黄金分割比为≈2.236）
A. 7cmB. 8cmC. 9cmD. 10cm
【答案】D
解析：解：设应穿xcm高的鞋子，
根据题意，得：
，
解得x10cm．
故选择：D
6. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了2，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为，则可列方程为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：设原正方形的空地的边长为，则剩余空地的长和宽分别为和，由题意，得：；
故选A．
7. 如图，在菱形中，按以下步骤作图，下列结论中错误的是（ ）
（1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，；
（2）作直线，且直线恰好经过点，且与边交于点；
（3）连接．

A. B.
C. D.
【答案】B
解析：解：如图，连接，，

由题意可知，垂直平分，
，
四边形是菱形，
，
，，选项C正确；
是等边三角形，
，
（等腰三角形的三线合一），选项A正确；
又四边形是菱形，
，，
的边上的高等于的边上的高，，选项B错误；
，
，选项D正确；
故选：B．
8. 下列命题中，假命题是（）
A. 对角线互相垂直的矩形是正方形
B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
【答案】C
解析：解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题；
B、对角线相等的菱形是正方形，是真命题；
C、对角线互相相等且垂直平分的四边形是正方形，原命题是假命题；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是真命题；
故选：C．
9. 如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=BC，③BF=2OD，④∠CHF=45°．正确结论的个数为( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
解析：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=∠DCF=90°，∠DBC=45°，
∵EC=CF，∠BCE=∠DCF，BC=DC，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠CBE=∠CDF，
∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH，
∴∠DEH+∠CDF=90°，
∴∠BHD=∠BHF=90°，
∵BE是∠DBC的平分线，
∴∠HBD=∠HBF，又∵BH=BH，
∴△BHD≌△BHF（ASA），
∴DH=HF，又∵OD=OB
∴OH是△DBF的中位线
∴OH∥BF；故①正确；
∴OH=BF，∠DOH=∠CBD=45°，
∵OH是△BFD的中位线，
∴DG=CG=BC，GH=CF，
∵CE=CF，
∴GH=CF=CE
∵CE＜CG= CD=BC，
∴GH＜BC，故②错误．
∵BE是∠DBC的平分线，
∴∠EBC= ∠DBC=22.5°，
∵Rt△BCE≌Rt△DCF（SAS），
∴∠EBC=∠CDF=22.5°，
∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，
∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，
∴OH是CD的垂直平分线，
∴DH=CH，
∴∠CDF=∠DCH=22.5°，
∴∠HCF=90°-∠DCH=90°-22.5°=67.5°，
∴∠CHF=180°-∠HCF-∠BFH=180°-67.5°-67.5°=45°，故④正确；
∴∠ODH=∠BDC+∠CDF=67.5°，
∴∠OHD=180°-∠ODH-∠DOH=67.5°，
∴∠ODH=∠OHD，
∴OD=OH=BF，即BF=2OD，故③正确．
综上，正确的有3个，
故选：B．
10. 定义：我们知道，凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这个凸四边形叫做“自相似四边形”． 如图，点A、B、C是正方网格中的格点，在网格中确定格点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是“自相似四边形”，符合条件的格点D的个数是（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】D
解析：解：如图1，由，得，故为所求点；
如图2，由，得，故为所求点；
如图3，由，得，故为所求点；
如图4，由，得，故为所求点；
如图5，由，得，故为所求点；
符合条件的格点D的个数有5个．
故选：D．
二．填空题（每题3分，共15分）
11. 已知，那么________．
【答案】5
解析：解：∵，
∴，
∴．
故答案为：5
12. 如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为，，．让转盘自由转动，则指针停止后落在黄色区域的概率是______．

【答案】
解析：解：∵黄色扇形区域的圆心角为，
所以黄色区域所占的面积比例为，
故指针停止后落在黄色区域的概率是．
故答案为：．
13. 关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为_________．
【答案】0
解析：解：设方程两根为,, 根据根与系数的关系得+=2a-a,又由题意可知+=0,所以2a-a=0,解得a=0或a=2.当a=2时, 方程化为x+1=0,显然不成立.故a=2舍去.故a=0.
故答案：0.
14. 如图，四边形是菱形，，对角线，相交于点O，于H，连接，则＝______度．
【答案】25
解析：解：∵四边形是菱形，
∴，.
∵，
∴，
∴.
又∵，
∴.
在中，，
在中，，
∴.
故答案为：25．
15. 数学活动课上，将底边12的等腰三角形按图1所示剪成三个直角三角形，这三个直角三角形按图2方式进行拼搭，其中点B，C，M，H四点处在同一直线上，且点C与点H重合，点A与点F重合，点D恰好在与交点处，则的长是________．
【答案】
解析：由图1及等腰三角形的性质可知，
，
如图2，，
，
，
，
，
设，则，
在中，
，
，
，
故答案为：．
三．解答题（共55分）
16. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
（1）
∵，
或
（2）
则或
17. 为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）九（1）班共有________名学生；
（2）补全折线统计图；
（3）D所对应扇形圆心角的大小为________；
（4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
【答案】（1）50；（2）见解析；（3）108°；（4）
解析：（1）20÷40%=50（人），
故答案为：50；
（2）50-10-20-5=15（人），
补全折线统计图如图：
；
（3），
故答案为：；
（4）列表如下：
由列表可知，一共有16种等可能的结果，他们选择相同主题的结果有4种，
所以P（相同主题）．
18. 如图，在4×7的正方形方格纸中（每个小方格的边长均为1）有线段AC和EF，点A，C，E，F均在方格的格点上．
（1）在方格纸中画出一个以AC为对角线菱形ABCD，点D在直线AC的下方，且点B，D都在方格的格点上；
（2）在方格纸中画出以EF为边的正方形EFGH，且点G，H在方格的格点上；
（3）连接BD交AC于点O，连出△OCE和△CHD，并证明△CHD∽△OCE．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
（1）
如图答案图1所示，画对菱形并标对字母．
（2）
如图答案图1所示，画对正方形并标对字母．
（3）
证明：在正方形方格中，可知，，
由勾股定理，得，，，．
∵，，，
∴．
∴．
19. 如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连结AE，交BC于点F，∠AFC＝2∠D，连结AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．
【答案】见解析
解析：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵CE=DC，
∴AB=EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴FA=FE，FB=FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D，
又∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC，
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形．
20. 某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．
（1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是______________吨；
（2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？
【答案】（1）60 （2）200元
（1）
当每吨售价是240元时，此时的月销售量是吨；
故答案为：60；
（2）
设售价定为每吨元，
由题意，可列方程．
化简得．
解得，．
当售价定为每吨200元时，销量更大，
所以售价应定为每吨200元．
21. 阅读下面材料：
小元遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，设，，，则把关于的一元二次方程叫做正方形的关联方程，正方形叫做方程的关联四边形．
探究方程是否存在常数根．
小元是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法把这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是把绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是．
请回答： ．

参考小元得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图1，若，，则正方形的关联方程为 ；
（2）正方形的关联方程是，则正方形的面积= ．
【答案】阅读下面材料：1（1）（2）36
解析：解：阅读下面材料：
如图：

∵四边形是正方形，
∴，
∵把绕点顺时针旋转得到，
∴，，，，
∴，，
∴共线，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，即，
∴关于的一元二次方程有一个根是，
∴．
故答案为：1；
（1）如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
由阅读材料知，，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
而，
∴正方形的关联方程为，
化简整理，可得．
故答案为：；
（2）如图：

由阅读材料知，正方形的关联方程存在常数根，
∴，
解得，
∴正方形的关联方程是，
∴，，，
设正方形的边长为，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
∴正方形的边长为6，
∴正方形的面积为36．
故答案为：36．
22. 教材再现：
（1）如图1，在矩形中，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为________．
知识应用：
（2）如图2，在矩形中，点M，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处，点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线的垂线，垂足分别为E和F，以为邻边作平行四边形，若，的周长是否为定值？若是，请求出的周长；若不是，请说明理由．
（3）如图3，当点P是等边外一点时，过点P分别作直线垂线、垂足分别为点E、D、F．若，请直接写出的面积．
【答案】（1）
（2）的周长是定值，定值为24
（3）
（1）
解：如图1，记与的交点为O，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）
解：的周长是定值，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
如图2，连接，过点M作于H，则四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的周长为，
∴的周长是定值，值为24；
（3）
解：∵等边，
∴，，
如图3，连接，作于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为．
小明
小丽
A
B
C
D
A
B
C
D