黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷

这是一份黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷，共5页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

班级：___________姓名：___________
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知α的终边与单位圆交于点13,-223,则cs 2α= ( )
A.-79 B.79 C.-49 D.-1
2. cs 125°cs 5°+cs 35°sin 5°= ( )
A.12B.-12 C.32 D.-32
3.已知函数f(x)=sin x+ax在x=π3处取得极值,则a= ( )
A.-32 B.-12 C.12 D.32
4.若csπ3-α=35,则sinπ6+α= ( )
A.-45 B.-35 C.35 D.45
5.将函数f(x)=sin x图象上各点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变,再将所得图象向左平移π12个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为( )
A.g(x)=sin12x+π12 B.g(x)=sin12x+π24 C.g(x)=sin2x+π12 D.g(x)=sin2x+π6.
6. 函数g(x)=x-sin x的零点个数为( )
A.1 B.3 C.2 D.4
7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=a,csA2,n=b,csB2,
p=c,csC2共线,则△ABC的形状为( )
A.等边三角形 B.钝角三角形 C.有一个内角是π6的直角三角形 D.等腰直角三角形
8．已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域都为R,且f(x+1)为偶函数,f(x+2)为奇函数,则( )
A.f(1)=0 B.f'(2)=0 C.f'(2022)+f(2021)=0 D.f(2022)+f'(2021)=0
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 .
9.已知函数f(x)=tan2x+π4,则下列说法正确的是( )
A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的定义域为xx≠π8+kπ2,k∈Z
C.f(x)的图象关于点-π8,0对称 D.f(x)在0,π8上单调递增
10.如图所示是y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下列结论中正确的是( )
A.f(x)在区间(-1,2),(4,+∞)上单调递增 B.x=-1是f(x)的极小值点
C.f(x)在区间(2,4)上单调递减 D.x=2是f(x)的极小值点
11.下列结论正确的有 ( )
A.ln22>1e B.3ln 4<4ln 3 C.πe>ln π D.3三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 .
12. 函数y=x+3x+2ln x的单调递减区间是 .
13.在△ABC中,已知AC=1,C=π4,△ABC的面积为2,则边AB的长为 .
14.已知实数a,b,c,d成等比数列,且当x=b时函数f(x)=ln(x+2)-x取得极大值c,则ad= .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
15.（13分）蜚英塔俗称宝塔,地处江西省南昌市,建于明朝天启元年(1621年),为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南,砖石结构,平面呈六边形,是江西省省级重点保护文物,已被列为革命传统教育基地.如图,某学生为测量蜚英塔的高度CD,选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A,B两点,测得AB=357米,∠CAD=45°,∠CBD=30°,∠ADB=150°,求蜚英塔的高度CD。
16.（15分）已知函数f(x)=3sin 2x+cs 2x
(1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)的最小值.
17．（15分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=5π6,a=27,c=3b, 求△ABC的面积。
18.（17分）已知函数f(x)=ln x+ax -1,a∈R.
(1)当a=4时,求函数f(x)在区间[e,e3]上的取值范围;
(2)若关于x的不等式f(x)>1-x在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
19．（17分）已知函数f(x)=aex-1-ln x-1.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)证明:当a≥1时,f(x)≥0.
参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 .
1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.A 7.A 8.D
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 .
9．BCD 10．ABC 11．BC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 .
12.答案：(0,1)
13.答案：5
14.答案：-1
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
15.（13 分）解： 设CD=x米,在△ACD中,∠CDA=90°,∠CAD=45°,则AD=x米.在△BCD中,∠CDB=90°,∠CBD=30°,则BD=3x米.因为∠ADB=150°,所以由余弦定理得x2+3x2-2x·3xcs 150°=(357)2,整理得7x2=(357)2,得x=35.蜚英塔的高度为35米.
16.（15 分）解：因为f(x)=3sin 2x+cs 2x=232sin2x+12cs2x=2sin2x+π6,所以f(x)的最小正周期T=2π2=π,最小值为-2.
17．（15 分）[解析] 由余弦定理得cs A=b2+c2-a22bc,即cs5π6=b2+c2-282bc=-32,又c=3b,所以b=2,c=23,所以S△ABC=12bcsin A=12×2×23×12=3
18.（17 分）解:(1)当a=4时,f(x)=ln x+4x -1,
f'(x)=1x-4x2=x-4x2,
当e≤x<4时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,
当40,函数f(x)单调递增,
∴函数f(x)在区间[e,e3]上的最小值为f(4)=ln 4.
又f(e)=ln e+4e-1=4e,f(e3)=ln e3+4e3-1=2+4e3,2+4e3>4e,
∴函数f(x)在区间[e,e3]上的最大值为f(e3)=2+4e3,
因此函数f(x)在区间[e,e3]上的取值范围为ln4,2+4e3.
(2)由f(x)>-x+1,得ln x+ax -1>-x+1,
∴a>-xln x-x2+2x对任意x∈[1,+∞)恒成立.
设m(x)=-xln x-x2+2x,x≥1,则m'(x)=-ln x-2x+1,
∵x∈[1,+∞),∴-ln x≤0,-2x+1<0,
∴m'(x)=-ln x-2x+1<0,
∴函数m(x)在[1,+∞)上单调递减,
∴m(x)≤m(1)=1,
因此a>1,即a的取值范围是(1,+∞).
19．（17 分）解:(1)当a=1时,f(x)=ex-1-ln x-1(x>0),则f'(x)=ex-1-1x,得f'(1)=0,
又f(1)=0,
所以所求的切线方程为y=0.
(2)证明:因为a≥1,所以aex-1≥ex-1,所以f(x)≥ex-1-ln x-1.
令φ(x)=ex-1-ln x-1(x>0),所以φ'(x)=ex-1-1x,
令h(x)=ex-1-1x(x>0),所以h'(x)=ex-1+1x2>0,
所以φ'(x)在(0,+∞)上单调递增,又φ'(1)=0,
所以当x∈(0,1)时,φ'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,φ'(x)>0,
所以φ(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以φ(x)min=φ(1)=0,
所以φ(x)≥0,所以f(x)≥φ(x)≥0,
所以f(x)≥0.