广东省韶关市乐昌市第一中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题

这是一份广东省韶关市乐昌市第一中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题，共16页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 4B. 13C. 8D. 0.3
2.下列计算正确的是( )
A. 5 3-2 3=3B. 2× 3= 5
C. 3+ 3= 6D. 3 6÷ 3=3 2
3.下列各组数中，是勾股数的一组是( )
A. 0.3，0.4，0.5B. 3， 4， 7C. 32，42，52D. 9，40，41
4.下列说法正确的是( )
A. 菱形的对角线相等B. 矩形的对角线相等且互相平分
C. 平行四边形是轴对称图形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
5.已知平行四边形ABCD中，∠B=5∠A，则∠C=( )
A. 25°B. 30°C. 120°D. 150°
6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为( )
A. 78 B. 3 C. 254 D. 258
7.在四边形ABCD中AB、CD相交于点O，下列说法错误的是( )
A. AB/​/CD，AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形
B. AO=CO，BO=DO且AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形
C. AO=OB=OC=OD，则四边形ABCD是矩形
D. ∠A=∠B=∠C=∠D且AB=BC，则四边形ABCD是正方形
8.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(如图1)拼成的一个大正方形(如图2).设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab=8，大正方形的面积为25，则图2中EF的长为( )
A. 3 B. 4 C. 2 2 D. 3 2
9.如图，在菱形ABCD中，AC=8，菱形ABCD的面积为24，则其周长为( )
A. 20 B. 24 C. 28 D. 40
10.如图，四边形ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使边BC，AD与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则AEEB等于( )
A. 3B. 2C. 1.5 D. 2
二、填空题：（每小题3分，共18分）
11.化简 6 10的结果是______．
12.如图，已知长方形的一边在数轴上，宽为1，BA=BC，写出数轴上点A所表示的数是______．
第13题图
13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若BF=5，则DE= ．
14.如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C的面积分别为3，9，6，则正方形D的面积为 ．
15.如图，菱形ABCD的周长为8，∠BAD=120°，点E是AB的中点，点P是对角线BD上的一个动点，则ΔAPE周长的最小值是______．
第14题图
16.如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交ED于点P，若AE=AP=1，PB= 5.下列结论：
①△APD≌△AEB；
②点B到直线AE的距离为 3；
③EB⊥ED；
④S正方形ABCD=4+ 6．
其中正确的是 ．
第16题图
第15题图
三、解答题：（本题共7小题，共72分）
17.(10分)计算下列各小题：
(1)3 48-9 13+3 12；
（2）18-(12)-1-(-3)2+(5-1)0
18.( 8分)如图，在矩形ABCD中，O为BD的中点，过点O作EF⊥BD分别交BC，AD于点E，F.求证：四边形BEDF是菱形．
19.( 9分)如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E为BD上一点，且BE=BC，AB=EF，∠ABD=∠BFE，求证：四边形ABCD为平行四边形．
20.( 9分)如图，学习了勾股定理后，数学活动兴趣小组的小娟和小燕对离教室不远的一个直角三角形花台斜边上的高进行了探究：两人在直角边AB上距直角顶点B的10米远的点D处同时开始测量，点C为终点．小娟沿D→B→C的路径测得所经过的路程是15米，小燕沿D→A→C的路径测得所经过的路程也是15米，这时小娟说我能求出这个直角三角形的花台斜边上的高了，小燕说我也知道怎么求出这个直角三角形的花台斜边上的高了．亲爱的同学们你能求出这个直角三角形的花台斜边上的高吗？若能，请你求出来：若不能，请说明理由？
21.( 10分)老师在数学课上提出这样一个问题：已知x2+ 3x+x=-1(x≠0)，求x2+1x2的值．文文通过观察、分析、思考，形成了如下思路：先将等式两边都除以x，得到x+1x的值，再利用完全平方公式求出x2+1x2．
【类比探究】参考上文的思路，解决下列问题：
(1)已知x2- 5x-x-1=0(x≠0)，求x2+1x2的值．
(2)已知x2+1=3x(x≠0)，求 x+1 x的值．
22.(本小题12分)
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG/​/EF．
(1)求证：四边形OEFG是矩形；
(2)若AD=10，EF=4，求BG的长．
23.(本小题14分)
已知正方形ABCD的边长为8，点E在边AD上，点F在边DC的延长线上，且AE=CF．
(1)如图1，分别连接BE、BF、EF，则△BEF的形状是______；
(2)如图2，连接EF交对角线AC于点M，若AE=2，求DM的长；
(3)如图3，若点G、H分别在AB、CD上，且GH=4 5，连接EF交GH于点O，当EF与GH的夹角为45°时，求AE的长．
【答案】
1. B 2. D 3. D 4. B 5. B 6. D 7. A
8. D 9. A 10. B
11. 155
12. 10-1
13. 5
14. 18
15. 3+1
16. ①③④
17. 解：(1)15 3
222-2
18. 证明：如图，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD/​/BC，
∴∠1=∠2，
∵O为BD的中点，
∴BO=DO，
∵∠BOE=∠DOF，
∴△OBE≌△ODF(ASA)，
∴BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
19. 证明：∵AD/​/BC，
∴∠ADB=∠EBF，
∵∠ABD=∠BFE，
∴∠A=∠BEF，
在△ABD和△EBF中，
∠A=∠BEFAB=EF∠ABF=∠BFE，
∴△ABD≌△EBF(ASA)，
∴AD=BE，
又∵BE=BC，
∴AD=BE，
∵AD/​/BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
20. 解：Rt△ABC中，∠B=90°，
设BC=a(米)，AC=b(米)，AD=x (米)，
则10+a=x+b=15，
∴a=5，b=15-x
又在Rt△ABC中，由勾股定理得：(10+x)2+a2=b2，
∴(10+x)2+52=(15-x)2，
解得：x=2，即AD=2(米)
∴AB=AD+DB=2+10=12(米)，BC=5(米)，AC=13(米)，
设这个直角三角形的花台斜边上的高为h米，
∴12×5×12=12×13h，
解得h=6013，
答：这个直角三角形的花台斜边上的高为6013米．
21. 解：(1)等式两边都除以x，得x- 5-1-1x=0，
即x-1x= 5+1，
两边平方，得(x-1x)2=( 5+1)2=5+2 5+1=6+2 5，
∴x2-2+1x2=6+2 5，
x2+1x2=8+2 5；
(2)等式两边都除以x，得x+1x=3，
所以( x+1 x)2=x+2+1x=3+2=5，
∴ x+1 x= 5．
22. (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，OB=OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE/​/AB，
∴OE/​/FG，
∵OG/​/EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG=90°，
∴四边形OEFG是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=10，
由(1)得：OE=12AB=5，四边形OEFG是矩形，
∴FG=OE=5，OG=EF=4，∠OGF=90°，
∵E是AD的中点，
∴AE=12AD=5，
在Rt△AFE中，由勾股定理得：AF= AE2-EF2= 52-42=3，
∴BG=10-5-3=2．
23. 解：(1)等腰直角三角形；
(2)如图2，过点E作EN⊥AD，交AC于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=45°，AD⊥CD，
∵EN⊥AD，
∴∠EAN=∠ANE=45°，EN/​/CD，
∴AE=EN=CF=2，∠F=∠NEM，∠FCM=∠ENM，
∴△ENM≌△FCM(ASA)，
∴EM=FM，
∵DE=AD-AE=8-2=6，DF=DC+CF=8+2=10，
∴EF= DE2+DF2= 100+36=2 34，
∵∠ADF=90°，EM=MF，
∴DM=12EF= 34；
(3)如图3，连接BE，BF，
由(1)可知：△BEF是等腰直角三角形，
∴∠BFE=∠BEF=45°，
∵∠EOG=45°，
∴∠EOG=∠EFB，
∴GH/​/BF，
又∵AB/​/CD，
∴四边形GBFH是平行四边形，
∴GH=BF=4 5，
∴CF= BF2-BC2= 80-64=4，
∴AE=4．
【解析】
1. 解：A、 4=2不是最简二次根式，故本选项错误；
B、 13是最简二次根式，故本选项正确；
C、 8=2 2，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、 0.3= 3010，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：B．
化简得到结果，即可作出判断．
此题考查了最简二次根式，能熟记最简二次根式的定义是解本题的关键．
2. 略
3. 解：A、0.3，0.4，0.5都不是正整数，本选项中一组数据不是勾股数，不符合题意；
B、 3， 4， 7不都是正整数，本选项中一组数据不是勾股数，不符合题意；
C、∵(32)2+(42)2=81+256=337，(52)2=625，
∴(32)2+(42)2≠(52)2，
∴本选项中一组数据不是勾股数，不符合题意；
D、∵92+402=81+1600=1681，412=1681，
∴92+402=412，
∴正整数9，40，41是勾股数，符合题意；
故选：D．
根据勾股数的概念判断即可．
本题考查的是勾股数，满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
4. 解：A、菱形的对角线互相垂直，故选项A不符合题意；
B、矩形的对角线相等且互相平分，故选项B符合题意；
C、平行四边形不一定是轴对称图形，故选项C不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故选项D不符合题意；
故选：B．
利用平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质，正方形的判定依次判断可求解．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质，正方形的判定等知识，灵活运用这些判定和性质解决问题是解题的关键．
5. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠A+∠B=180°，
∵∠B=5∠A，
∴∠A+5∠A=180°，
解得：∠A=30°，
∴∠C=30°，
故选：B．
先根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，∠A+∠B=180°，再由已知条件计算出∠A的度数，即可得出∠C的度数．
此题考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别平行，两组对角分别相等．
6. 解：由折叠可得AE=BE，
设AE=BE=x，则CE=4-x，
在Rt△BCE中，BE2=CE2+BC2，
即x2=(4-x)2+32，
解得x=258，
故选：D．
在Rt△BCE中，由BE2=CE2+BC2，得到x2=(4-x)2+32，即可求解．
本题考查的是翻折变换(折叠问题)和勾股定理，明确AE=BE是本题解题的关键．
7. 【分析】
本题考查特殊四边形的判定，记住特殊图形如筝形，等腰梯形等的形状，可以帮助解决问题．
根据菱形，平行四边形、矩形及正方形的判断方法判断．
【解答】
解：A、AB/​/CD，AD=BC，则四边形ABCD有可能是等腰梯形，此选项错误，符合题意；
B、AO=CO，BO=DO且AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形，此选项正确，不符合题意；
C、AO=OB=OC=OD，则四边形ABCD是矩形，此选项正确，不符合题意；
D、∠A=∠B=∠C=∠D且AB=BC，则四边形ABCD是正方形，此选项正确，不符合题意；
故选：A．
8. 解：由图形2可知，中间四边形的边长为(a-b)的小正方形，
∵大正方形的面积为25，
∴AB2=25，
又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积，
∴ab2×4+(a-b)2=25，
∴(a-b)2+2ab=25，
∴(a-b)2+2×8=25，
∴(a-b)=3(负值已舍)，
即图2中小正方形的边长为3，
∴EF= 32+32=3 2，
故选：D．
由图形2可知，中间四边形的边长为(a-b)的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出ab2×4+(a-b)2=25，再结合ab=8即可得出(a-b)的值，再根据勾股定理即可求出EF的长．
本题考查了勾股定理的证明，勾股定理，正确得出大正方形的面积表示方法是解题的关键．
9. 【分析】
本题考查了菱形面积的计算公式，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据AO、BO的值求AB的值是解题的关键．根据菱形ABCD的面积和AC可以计算BD的长，在Rt△ABO中，已知AO、BO根据勾股定理即可求得AB的值，即可解题．
【解答】
解：∵菱形ABCD的面积S=12AC⋅BD，S=24，AC=8，
∴BD=6，
∴AO=CO=4，BO=DO=3，
在Rt△ABO中，
AB= AO2+BO2
=5，
∴菱形的周长=4×5=20，
故选A．
10. 由折叠可知AO=AD，CO=CB，∠AOF=∠COE=90°.由矩形的性质可知AO=CO，AC=AO+CO=AD+CB=2CB，所以∠CAB=30°，∠ACB=60°，所以∠BCE=30°，所以EB=12CE.因为AO=CO，∠COE=90°，所以OE垂直平分AC，所以AE=CE，所以EB=12AE，所以AEEB=2．
11. 解： 6 10= 6× 10 10× 10= 6010= 155．
故答案为： 155．
利用二次根式乘除运算法则求出即可．
此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．
12. 解：∵BC= 32+12= 10，
则AB=BC= 10，
∵A在原点右侧．
则点A所表示的数是 10-1．
故答案为： 10-1．
首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段BC的长度，然后根据AB=CB即可求出BC的长度，接着可以求出数轴上点A所表示的数．
此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，首先正确根据数在数轴上的位置判断数的符号，再根据运算法则进行判断．
13. 【分析】
本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上中线的性质，此题中，AC是联系线段DE和BF间数量关系的一条关键性线段．
首先由直角三角形的性质求得AC=2BF，然后根据三角形中位线定理得到DE=12AC，此题得解．
【解答】
解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，F为CA的中点，BF=5，
∴AC=2BF=10．
又∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE是Rt△ABC的中位线，
∴DE=12AC=5．
故答案是：5．
14. 略
15. 解：如图，∵菱形ABCD的周长为8，
∴AB=2，
连接EC，与BD交于点P，连接AC，此时PA+PE=CP+EP=CE，值最小．
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠CAB=12∠BAD=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=2，
∵E是AB中点，
∴∠ACE=30°，CE⊥AB，AE=1
∴CE= AC2-AE2= 22-12= 3，
∴AP+EP=CE= 3．
∴ΔAPE周长的最小值是CE+AE= 3+1
16. 【分析】
①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；④在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积．
本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟知相关知识是解题的关键．
【解答】
解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
在△AEB和△APD中，
AE=AP∠EAB=∠PADAB=AD，
∴△APD≌△AEB(SAS)故①正确；
③△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED，故③正确；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
∵PE= AE2+AP2= 2，
∴BE= BP2-PE2= 5-2= 3，
∴BF=EF= 62，故②不正确；
④∵BF=EF= 62，AE=1，
在Rt△ABF中，AB2=(AE+EF)2+BF2=4+ 6，
∴S正方形ABCD=AB2=4+ 6，故④正确，
故答案为：①③④．
17. (1)先算乘法与除法，算出的结果化为最简二次根式后，合并同类二次根式即可．
(2)先展开完全平方式，再进行加减运算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练运用运算法则是解题关键．
18. 根据矩形的性质证明△OBE≌△ODF，得BE=DF，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可解决问题．
此题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△OBE≌△ODF．
19. 证明△ABD≌△EBF(ASA)，得出AD=BE，由平行四边形的判定可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，证明△ABD≌△EBF是解题的关键．
20. 本题考查了勾股定理的应用，面积法的应用，熟练正确勾股定理是解题的关键．
设BC=a(米)，AC=b(米)，AD=x (米)，得到a=5，b=15-x，根据勾股定理列方程解得x，根据三角形的面积即可得到结论．
21. (1)把已知等式两边除以x可得到x-1x= 5+1，再把等式两边平方，然后利用完全平方公式展开即可得到x2+1x2的值；
(2)把已知等式两边除以x可得到x+1x=3，再利用完全平方公式得到( x+1 x)2=5，然后利用算术平方根的定义求解．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．灵活运用完全平方公式是解决问题的关键．
22. 【分析】
(1)根据菱形的性质得BD⊥AC，OB=OD，再由三角形中位线定理得OE/​/FG，得四边形OEFG是平行四边形，然后证∠EFG=90°，即可得出结论；
(2)由三角形的中位线定理得OE=12AB=5，再由矩形的性质得FG=OE=5，OG=EF=4，∠OGF=90°，然后由勾股定理求出AF的长，即可得出BG的长．
本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理，证明四边形OEFG为矩形是解题的关键．
23. 解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCF=90°，
又∵AE=CF，
∴△ABE≌△CBF(SAS)，
∴BE=BF，∠ABE=∠CBF，
∴∠ABE+∠EBC=∠CBF+∠EBC=90°，
∴∠EBF=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)由“SAS”可证△ABE≌△CBF，可得BE=BF，∠ABE=∠CBF，可证∠EBF=90°，即可求解；
(2)过点E作EN⊥AD，交AC于N，由“ASA”可证△ENM≌△FCM，可得EM=FM，由勾股定理和直角三角形的性质可求解；
(3)连接BE，BF，由(1)可知：△BEF是等腰直角三角形，可得∠BFE=∠BEF=45°，可证四边形GBFH是平行四边形，可得GH=BF=4 5，由勾股定理可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．