2024-2025学年河北省衡水数学九年级第一学期开学检测试题【含答案】

这是一份2024-2025学年河北省衡水数学九年级第一学期开学检测试题【含答案】，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（ ）
A．7队B．6队C．5队D．4队
2、（4分）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D．对角线相等的四边形是矩形
3、（4分）一元二次方程的求根公式是（ ）
A．B．
C．D．
4、（4分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）等于（ ）
A．±4B．4C．﹣4D．±2
6、（4分）已知函数y=，则自变量x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜1B．x≥﹣1且x≠1C．x≥﹣1D．x≠1
7、（4分）在平面直角坐标系中，把△ABC 先沿 x 轴翻折，再向右平移 3 个单位得到△ABC 现把这两步 操作规定为一种变换．如图，已知等边三角形 ABC 的顶点 B、C 的坐标分别是（1，1）、（3，1）， 把三角形经过连续 5 次这种变换得到三角形△ABC，则点 A 的对应点 A 的坐标是（ ）
A．（5，﹣）B．（14，1+）C．（17，﹣1﹣）D．（20，1+）
8、（4分）若函数的解析式为y=，则当x=2时对应的函数值是（ ）
A．4B．3C．2D．0
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）某市某一周的PM2.5（大气中直径小于等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物指数如表，则该周PM2.5指数的众数和中位数分别是________
10、（4分）不等式－-＞－1的正整数解是_____．
11、（4分）如果一组数据2，4，，3，5的众数是4，那么该组数据的中位数是___．
12、（4分）试写出经过点，的一个一次函数表达式：________.
13、（4分）如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，平行四边形ABCD中，AE=CE，请仅用无刻度的直尺完成下列作图：
（1）在图1中，作出∠DAE的角平分线；
（2）在图2中，作出∠AEC的角平分线．
15、（8分）边长为，的矩形发生形变后成为边长为，的平行四边形，如图1，平行四边形中，，边上的高为，我们把与的比值叫做这个平行四边形的“形变比”．

（1）若形变后是菱形（如图2），则形变前是什么图形？
（2）若图2中菱形的“形变比”为，求菱形形变前后的面积之比；
（3）当边长为3，4的矩形变后成为一个内角是30°的平行四边形时，求这个平行四边形的“形变比”．
16、（8分）如图，在等腰直角三角形ABC中，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC．上的点(点E不与端点A，C重合)，且连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使，连接DE，DF，GE，GF
(1)求证:四边形EDFG是正方形;
(2)直接写出当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小?最小值是多少?
17、（10分）已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=1．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．
18、（10分）已知是不等式的一个负整数解，请求出代数式的值．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）关于x的方程ax﹣2x﹣5＝0(a≠2)的解是_____．
20、（4分）若二次根式有意义，则实数m的取值范围是_________．
21、（4分）因式分解：a2﹣6a+9=_____．
22、（4分）a、b、c是△ABC三边的长，化简+|c-a-b|=_______．
23、（4分）已知函数y=-3x的图象经过点A（1，y1），点B（﹣2，y2），则y1_____y2（填“＞”“＜”或“=”）
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）解不等式组:，并把它的解集在数轴上表示出来。
25、（10分）分解因式：
26、（12分）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数交于点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、．若，，．
（1）求点的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的表达式．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
解：设邀请x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x-1=10，
即，
∴x2-x-20=0，
∴x=5或x=-4（不合题意，舍去）．
故选C
2、B
【解析】
根据菱形的判定方法、正方形的判定方法以及矩形的判定方法对各选项加以判断即可.
【详解】
A：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项错误，为假命题；
B：对角线相等的菱形是正方形，故选项正确，为真命题；
C：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项错误，为假命题；
D：对角线相等的平行四边形是矩形，故选项错误，为假命题；
故选：B.
本题主要考查了菱形、正方形以及矩形的判定方法，熟练掌握相关概念是解题关键.
3、A
【解析】
根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断.
【详解】
解：一元二次方程的求根公式是，故选A.
本题主要考查了一元二次方程的求根公式，准确的识记求根公式是解答本题的关键.
4、B
【解析】
化简得到结果，即可做出判断．
【详解】
解：A、=，不是最简二次根式；
B、是最简二次根式；
C、＝7，不是最简二次根式；
D、=，不是最简二次根式；
故选：B．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
5、B
【解析】
根据＝|a|可以得出的答案.
【详解】
＝|﹣4|＝4，故选：B．
本题考查平方根的性质，熟记平方根的性质是解题的关键.
6、B
【解析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．
【详解】
解：根据题意得：，
解得：x≥-1且x≠1．
故选B．
点睛：考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
7、C
【解析】
首先把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位得到△ABC得到点A 的坐标为（2+3，-1- ），同样得出A 的坐标为（2+3+3，1+），…由此得出A 的坐标为（2+3×5，-1-），进一步选择答案即可．
【详解】
∵把△ABC先沿x轴翻折,再向右平移3个单位得到△ABC得到点A1的坐标为(2+3,−1−)，
同样得出A的坐标为(2+3+3,1+)，
…
A的坐标为(2+3×5,−1−),即(17,−1−).
故选：C.
此题考查坐标与图形变化-对称，坐标与图形变化-平移，规律型：点的坐标，解题关键在于根据题意找出规律.
8、A
【解析】
把x=2代入函数解析式y=，即可求出答案.
【详解】
把x=2代入函数解析式y=得，

故选A.
本题考查的是函数值的求法.将自变量的值x=2代入函数解析式并正确计算是解题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、150，1
【解析】
根据众数和中位数的概念求解．
【详解】
这组数据按照从小到大的顺序排列为：150，150，150，1，1，160，165，
则众数为：150，
中位数为：1．
故答案为：150，1
此题考查中位数，众数，解题关键在于掌握其概念
10、1，1
【解析】
首先确定不等式的解集，然后再找出不等式的特殊解．
【详解】
解：解不等式得：x＜3，
故不等式的正整数解为：1，1．
故答案为1，1．
本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质．
11、1
【解析】
根据众数为1，可得x等于1，然后根据中位数的概念，求解即可．
【详解】
解：因为这组数据的众数是1，
∴x=1，
则数据为2、3、1、1、5，
所至这组数据的中位数为1，
故答案为：1．
本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
12、y=x+1
【解析】
根据一次函数解析式，可设y=kx+1，把点代入可求出k的值；
【详解】
因为函数的图象过点（1，2），
所以可设这个一次函数的解析式y=kx+1，把（1，2）代入得：2=k+1，
解得k=1，
故解析式为y=x+1
此题考查一次函数解析式，解题的关键是设出解析式；
13、．
【解析】
首先，需要证明线段B1B2就是点B运动的路径（或轨迹），如图1所示．利用相似三角形可以证明；其次，证明△APN∽△AB1B2，列比例式可得B1B2的长．
【详解】
解：如图1所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，BBi，
∵AO⊥AB1，AP⊥ABi，
∴∠OAP＝∠B1ABi，
又∵AB1＝AO•tan30°，ABi＝AP•tan30°，
∴AB1：AO＝ABi：AP，
∴△AB1Bi∽△AOP，
∴∠B1Bi＝∠AOP．
同理得△AB1B2∽△AON，
∴∠AB1B2＝∠AOP，
∴∠AB1Bi＝∠AB1B2，
∴点Bi在线段B1B2上，即线段B1B2就是点B运动的路径（或轨迹）．
由图形2可知：Rt△APB1中，∠APB1＝30°，
∴
Rt△AB2N中，∠ANB2＝30°，
∴
∴
∵∠PAB1＝∠NAB2＝90°，
∴∠PAN＝∠B1AB2，
∴△APN∽△AB1B2，
∴，
∵ON：y＝﹣x，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴OM＝MN＝，
∴PN＝，
∴B1B2＝，
综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B1B2，其长度为．
故答案为：．
本题考查动点问题，用到了三角形的相似、和等腰三角形的性质，解题关键是找出图形中的相似三角形，利用对应边之比相等进行边长转换．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）作图见解析；（2）作图见解析．
【解析】
试题分析：（1）连接AC，由AE=CE得到∠EAC=∠ECA，由AD∥BC得∠DAC=∠ECA，则∠CAE=∠CAD，即AC平分∠DAE；
（2）连接AC、BD交于点O，连接EO，由平行四边形的性质及等腰三角形的性质可知EO为∠AEC的角平分线．
试题解析：
（1）连接AC，AC即为∠DAE的平分线；
如图1所示：
（2）①连接AC、BD交于点O，
②连接EO，EO为∠AEC的角平分线；
如图2所示．
15、（1）正方形；（2）；（3）或．
【解析】
（１）根据形变后的图形为菱形，即可推断．
（2）由题意得形变比，再分别用代数式表示形变前和形变后的面积，计算比值即可．
（3）分以AB为底边和以AD为底边两种情况讨论，可求这个平行四边形的“形变比”．
【详解】
（1）∵形变后是菱形
∴AB=BC=CD=DA
则形变前的四条边也相等
∵四条边相等的矩形是正方形
∴形变前的图形是正方形
（2）根据题意知道：
S形变前=a×b=a2
S形变后=a×h=a××a=a2
∴
（3）当形变后四边形一个内角为30°时
此时应分两种情况讨论：
第一种：以AB为底边4×=2
∴这个四边形的形变比为：
第二种：以AD为底边
则
∴这个四边形的形变比为：．
本题考查了正方形、菱形的性质，正方形的面积和菱形的面积的求法，还利用了同底等高的三角形的面积相等，同时还训练了学生的理解能力，以及对新定义的理解和运用．
16、（1）详见解析；（2）当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4
【解析】
（1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，结合AE=CF可证出△ADE≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF=90°，再根据O为EF的中点、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可证出四边形EDFG是正方形；
（2）过点D作DE′⊥AC于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE＜2，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值．
【详解】
(1)证明:连接CD，如图1所示.
∵为等腰直角三角形，，
D是AB的中点，
∴
在和中，
∴ ，
∴,
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形.
∵O为EF的中点，，
∴，且，
∴四边形EDFG是正方形;
(2)解:过点D作于E′，如图2所示.
∵为等腰直角三角形，，
∴，点E′为AC的中点，
∴ (点E与点E′重合时取等号).
∴
∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4
本题考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）找出GD⊥EF且GD=EF；（2）根据正方形的面积公式找出4≤S四边形EDFG＜1．
17、（1）见详解；（2）4＋或4＋.
【解析】
（1）根据关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=1的根的判别式的符号来证明结论.
（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算.
【详解】
解：（1）证明：∵△=（m＋2）2－4（2m－1）=（m－2）2＋4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m－2）2+4≥4＞1，即△＞1.
∴关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=1恒有两个不相等的实数根.
（2）∵此方程的一个根是1，
∴12－1×（m＋2）＋（2m－1）=1，解得，m=2，
则方程的另一根为：m＋2－1=2+1=3.
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为，该直角三角形的周长为1＋3＋=4＋.
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为1＋3＋=4＋.
18、，原式
【解析】
先根据分式的运算法则进行化简，再求出不等式的负整数解，最后代入求出即可．
【详解】
∵
求解不等式，解得
又当，时分式无意义 ∴
∴原式
本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式，不等式的整数解等知识点，能求出符合题意的m值是解此题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
利用解一元一次方程的一般步骤解出方程．
【详解】
ax﹣2x﹣5＝0
(a﹣2)x＝5
x＝，
故答案为：．
本题考查了一元一次方程的解法，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
20、m≤3
【解析】
由二次根式的定义可得被开方数是非负数，即可得答案.
【详解】
解：由题意得：解得： ，故答案为：.
本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
21、
【解析】
试题分析：直接运用完全平方公式分解即可.a2-6a+9=（a-3）2.
考点：因式分解.
22、2a.
【解析】
可根据三角形的性质：两边之和大于第三边．依此对原式进行去根号和去绝对值．
【详解】
∵a、b、c是△ABC三边的长
∴a+c-b＞0，a+b-c＞0
∴原式=|a-b+c|+|c-a-b|
=a+c-b+a+b-c
=2a．
故答案为：2a.
考查了二次根式的化简和三角形的三边关系定理．
23、＜.
【解析】
分别把点A（-1，y1），点B（-2，y2）代入函数y=-3x，求出y1，y2的值，并比较出其大小即可．
【详解】
∵点A（-1，y1），点B（-2，y2）是函数y=-3x上的点，
∴y1=3，y2=6，
∵6＞3，
∴y2＞y1．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、-2【解析】
分别求出每一个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即不等式组的解集，再将它的解集在数轴上表示。
【详解】
解：不等式2x-3≥3(x-2)的解集是:x≤3
不等式<的解集是:x>-2
所以原不等式组的解集是:-2它的解集在数轴上表示如图:
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
25、.
【解析】
先提公因式2，再用完全平方公式进行分解即可。
【详解】
解：
．
本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，因式分解时要先提公因式再用公式分解。
26、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用，可以就可以求出A点的坐标
（2）利用A，B的坐标求出一次函数的解析式，然后利用C点坐标求出反比例函数的表达式。
【详解】
解：（1），
而，
，
点坐标为；
（2）点坐标为，
把、代入得，即得，
一次函数解析式为；
把代入得，
点坐标为，
，
反比例函数解析式为
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，数形结合思想是数学中重要的思想方法，做题时注意灵活运用．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
PM2.5指数
150
155
160
165
天 数
3
2
1
1