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2024-2025学年浙江省浙南名校联盟高二（上）月考数学试卷（含解析）
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这是一份2024-2025学年浙江省浙南名校联盟高二（上）月考数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|012}，则A∪B=( )
A. (12,1)B. (12,+∞)C. (0,+∞)D. (0,12)
2.“2x>1”是“x>1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是( )
A. α内的所有直线与a异面B. α内存在唯一的直线与a平行
C. α内的所有直线与a相交D. α内不存在与a平行的直线
4.已知关于x的函数y=ln(x−a)在[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. a<1B. a<2C. a>1D. a>2
5.已知点P(3,1)是角α终边上的一点，则cs2α的值为( )
A. 35B. 45C. −35D. −45
6.已知|a|=|b|=1,|2a+b|= 2，则a在b上的投影向量为( )
A. 32bB. − 32bC. 34bD. −34b
7.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是( )
A. 平均数为3，中位数为2B. 中位数为3，众数为2
C. 平均数为2，方差为2.4D. 中位数为3，方差为2.8
8.设函数f(x)= 2sin(ωx+φ)−1(ω>0)，若对于任意实数φ，f(x)在区间[π4,3π4]上至少有2个零点，至多3个零点，则ω的取值范围是( )
A. [83,5)B. [4,5)C. [4,203)D. [83,203)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中说法正确的是( )
A. 必然事件和不可能事件相互独立
B. 若数据x1，x2，…，xn的方差s2=0，则所有的xi(i=1,2,…,n)都相同
C. 若P(A)>0，P(B)>0，则事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立
D. 数据x1，x2，…，xn的方差是sx2，数据y1，y2，…，yn的方差是sy2，若yn=2xn+1，则sy2=2sx2+1
10.已知a，b，c∈R，且a2+b2+c2=3，以下说法正确的是( )
A. a，b，c中至少有一个不大于1B. ab+bc+ca≤3
C. (ac+bc)max=2D. 若a+b+c=0，则c≤ 2
11.已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1的棱长均为1，∠DAB=∠A1AB=∠A1AD=60°，E，F分别是棱B1C1和C1D1的中点，P是AC1上的动点，则下列说法正确的是( )
A. A1C= 2
B. 若AP=12PC1，则A1P//面EFC
C. 若AP=3PC1，则A1C⊥面EFP
D. 若M是线段A1D的中点，N是线段EF上的动点，则MP+PN的最小值是3 34
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知z=(1+i)2−1，则复数z在复平面内对应的点位于第______象限．
13.甲乙丙三位同学之间相互踢毽子.假设他们相互间传递毽子是等可能的，并且由甲开始传，则经过3次传递后，毽子仍回到甲处的概率为______．
14.已知函数f(x)=x− x2−3x+3，若对于∀yi∈{y|y=f(x),x≥2}(i=1，2，⋯，n)，不等式i=1n−1yi≥2024yn恒成立，则正整数n的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 3asinB=c−bcsA．
(1)求角B的大小；
(2)若c= 3,b=1，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x2(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称．
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的最小值．
17.(本小题15分)
今年6月我校进行了一次数学竞赛选拔考试.从参加考试的同学中，选取50名同学将其成绩分成六组：第1组[40,50)，第2组[50,60)，第3组[60,70)，第4组[70,80)，第5组[80,90)，第6组[90,100]，得到频率分布直方图(如下图)，观察图形中的信息，回答下列问题：
(1)从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；
(2)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级.若从成绩在[80,100]的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率．
18.(本小题15分)
如图，三棱锥P−ABC，∠C=90°，AC=BC，E，F分别是AB，BC的中点，且VP−ABC=4，S△PEF=3．
(1)求点B到平面PEF的距离；
(2)若面PEF⊥面ABC，求平面PAC与平面PEF夹角的余弦值．
19.(本小题17分)
已知正实数集A={a1,a2,⋯,an}，定义：A2={aiaj|ai,aj∈A}称为A的平方集.记n(A)为集合A中的元素个数．
(1)若A={1,2,3,4}，求集合A2和n(A2)；
(2)若n(A2)=2016，求n(A)min；
(3)求证：n(A2)≥2n(A)−1，并指出取等条件．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为A={x|012}，
所以A∪B=(0,+∞)．
故选：C．
由并集的概念即可直接得答案．
本题主要考查了集合并集运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由2x>1可得x>0，{x|x>1}≠⊂{x|x>0}，
则2x>1是x>1的必要不充分条件．
故选：B．
根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案．
本题主要考查指数不等式的解法，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则线面相交
A选项不正确，α内存在直线与a相交；
B选项不正确，α内的直线与直线a的位置关系是相交或者异面，不可能平行；
C选项不正确，α内只有过直线a与面的交点的直线与a相交；
D选项正确，因为α内的直线与直线a的位置关系是相交或者异面，不可能平行．
综上知，D选项正确
故选：D．
直线a不平行于平面α，且a⊄α，则线面相交，四个选项都是研究α内的直线与a的位置关系，故由线面位置关系结合线线位置关系进行判断找出正确选项
本题考查空间中直线与直线之间的位置关系，解题的关键是熟练掌握空间中直线平行与垂直的判断条件以及具有较强的空间想像能力．
4.【答案】A
【解析】解：由于y=ln(x−a)在[1,2]上单调递增，
所以x−a>0在[1,2]上恒成立，即a<1．
故选：A．
由对数函数的单调性与定义域列不等式即可求得答案．
本题考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵P(3,1)是α终边上一点，
∴csα=3 32+12=3 1010，
则cs2α=2cs2α−1=2×910−1=45．
故选：B．
由三角函数的定义结合二倍角的余弦公式即可求解答案．
本题考查任意角的三角函数的定义及倍角公式的应用，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由|a|=|b|=1,|2a+b|= 2，可得(2a+b)2=|2a+b|2=2，
即4|a|2+4a⋅b+|b|2=2，可得4+4a⋅b+1=2，解得a⋅b=−34，
所以a在b上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=−34b．
故选：D．
根据题意，利用平面向量数量积的定义与运算性质，结合投影向量的公式算出答案．
本题主要考查平面向量数量积的定义与运算性质、投影向量的概念等知识，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；
对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；
对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差S2>15(6−2)2=3.2>2.4，
∴平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C正确；
对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
平均数为：x−=15(1+2+3+3+6)=3
方差为S2=15[(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(3−3)2+(6−3)2]=2.8，可以出现点数6，故D错误．
故选：C．
根据题意举出反例，即可得出正确选项．
本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、众数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．
8.【答案】B
【解析】解：令f(x)=0，
则sin(ωx+φ)= 22，
令t=ωx+φ，
则sint= 22，
则原问题转化为y=sint在区间[π4ω+φ,3π4ω+φ]上至少2个，至多有3个t，使得y=sint= 22，求ω的取值范围，
作出y=sint与y= 22的图象，如图所示：
由图知，满足条件的最短区间长度为9π4−π4=2π，
最长区间长度为11π4−π4=5π2，
所以2π≤(3π4ω+φ)−(π4ω+φ)<5π2，解得4≤ω<5．
故选：B．
原问题转化为y=sint在区间[π4ω+φ,3π4ω+φ]上至少2个，至多有3个t，使y=sint= 22，求ω取值范围，数形结合判断满足条件区间长度，由此建立关于ω的不等式，解出即可．
本题考查了转化思想、数形结合思想，考查了正弦函数的性质，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：必然事件是一定会发生的事件且概率为1，不可能事件是一定不会发生的事件且概率为0，又它们的交事件的概率为0，故相互独立，所以A正确；
若s2=(x1−x−)2+(x1−x−)2+⋯+(xn−x−)2n=0，
则x1=x2=⋯=xn=x−，故B正确；
若事件A，B互斥成立，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，
又P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)，所以有P(A∩B)=0，
若事件A，B相互独立，则有P(A∩B)=P(A)P(B)>0，矛盾，
故事件A，B相互独立与事件A，B互斥不能同时成立，C正确；
若数据x1，x2，⋯，xn的方差是sx2，yn=2xn+1，则数据y1，y2，⋯，yn的方差是sy2=4sx2，故D错误．
故选：ABC．
由必然事件与不可能事件的概念即可判断A；由方差公式即可判断B；根据互斥事件概率加法公式和独立事件的概率乘法公式，结合P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)推导可判断C；由方差的性质即可判断D．
本题考查必然事件、方差、相互独立事件相关知识，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，若a，b，c均大于1，那么a2+b2+c2>3，矛盾，
所以a，b，c中至少有一个不大于1，A正确．
对于B，ab+bc+ca≤a2+b22+b2+c22+c2+a22=3，
当且仅当“a=b=c=1“时，等号成立，B正确．
对于C，3=a2+b2+c2≥2 a2⋅12c2+2 b2⋅12c2= 2(ac+bc)．
所以ac+bc≤3 22，当且仅当a2=b2=12c2=34，即a=b= 32,c= 62时，等号成立，C错误．
对于D，∵c2=(−b−a)2=b2+a2+2ab≤2(b2+a2)，
∴c2≤2(3−c2)，∴3c2≤6，即− 2≤c≤ 2，则c≤ 2，D正确．
故选：ABD．
利用假设法可以判断A，利用基本不等式的性质可判断B，由3=a2+b2+c2≥2 a2⋅12c2+2 b2⋅12c2= 2(ac+bc)可以判断C，c2=(−b−a)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2)可以判断D．
本题考查了基本不等式和a2+b2≥2ab的运用，是中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：由题设可知，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的六个面均为一个角是60°的菱形，连接AC，BD交于点O，
在菱形ABB1A1，ADD1A1中易得A1B=A1D=1，又O为BD中点，则A1O⊥BD，
在直角三角形A1OB中有A1O= A1B2−OB2= 32，
在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cs∠ABC，
解得AC= 3，则OA= 32，
在△A1OA中，由余弦定理得cs∠A1OA=A1O2+AO2−AA122⋅AO⋅A1O=13，
则cs∠A1OC=−cs∠A1OA=−13，
在△A1OC中，余弦定理可得A1C2=A1O2+OC2−2A1O⋅OC⋅cs∠A1OC，
解得A1C= 2，A正确；
连接EF交A1C1于G，连接CG交AC1于H，由于E，F分别是棱B1C1和C1D1的中点，
可得EF//B1D1，且EF//12B1D1，
连接A1C1，B1D1交于点O1，
则有C1G=14A1C1，故A 1G=3C1G，
若A1P//平面EFC，A1P⊂平面A1B1C1D1，平面EFC∩平面A1B1C1D1=CG，则A1P//CG，故C1H=13PC1，
易得△A1PA≌△CHC1，故AP=C1H=13PC1，与题设不符，B错误；
设AC1与A1C交于点O2，连接O2B1，因为P，E分别是O2C1，B1C1的中点，则O2B1//EP，
在菱形B1C1CB中易得B1C=1，则B1C=A1B1，
又O2是A1C中点，则A1C⊥O2B1，则A1C⊥EP，
过点C作CI//BD，使CI=BD，连接A1I，易得BD//EF，
在平面ABB1A1内由余弦定理得A1I2=AI2+A1A2−2AI⋅A1A⋅cs∠A1AB，
解得A1I= 3，又A1C= 2，CI=1，则A1I2=A1C2+CI2，
则A1C⊥CI，又CI//BD//EF，则A1C⊥EF，
因为EP∩EF=E，EF⊂平面EFP，EP⊂平面EFP，
所以A1C⊥面EFP，C正确；
由平行六面体的对称性可得△MPA≌△OPA，则MP=OP，
当MP+PN最小时，可知OP+PN最小，故此时O，P，N三点共线，
此时易得N为EF的中点，
由A1C1//AC可得cs∠C1A1O=cs∠A1OA=13，
由B选项可知A1N=3C1N，又A1C1= 3，则A1N=3 34，
在△A1ON中，由余弦定理易得ON=3 34，
故MP+PN的最小值是3 34，D正确．
故选：ACD．
A选项，在△ABC，△A1OA，△A1OC中依次使用余弦定理，即可解得A1C，判断出A的真假；
B选项，假设A1P//平面EFC成立，由线面平行的性质可知A1P//CG，由平行线分线段成比例可知C1H=13PC1，找出全等三角形△A1PA≌△CHC1，可得AP=C1H=13PC1；判断出B的真假；
C选项，分别证明A1C⊥EP，A1C⊥EF，由线面垂直的判定，可得A1C⊥平面EFP，判断出C的真假；
D选项，找出全等三角形△MPA≌△OPA，可知当MP+PN最小时，OP+PN最小，此时O，P，N三点共线，利用余弦定理求ON的长度，即MP+PN的最小值．
本题考查余弦定理的应用，线面平行的性质的应用，属于中档题．
12.【答案】二
【解析】解：由题意得z=(1+i)2−1=−1+2i，故复数z对应的点为(−1,2)，
故对应点位于第二象限．
故答案为：二．
先由复数的乘法运算化简，再结合复数在复平面内的点的坐标表示可直接得答案．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
13.【答案】14
【解析】解：
根据题意可得树状图：121233123123213，
设甲乙丙分别为1，2，3，列树状图得3次传递基本事件是8种，满足条件的基本事件是2种，
所以P=28=14．
故答案为：14．
列举法求古典概型的概率即可．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
14.【答案】3037
【解析】解：设2≤x1=(x2−x1)−( x22−3x2+3− x12−3x1+3)=(x2−x1)−x22−3x2+3−x12+3x1−3 x22−3x2+3+ x12−3x1+3
=(x2−x1) x22−3x2+3+ x12−3x1+3−(x2+x1−3) x22−3x2+3+ x12−3x1+3，
又∵ x22−3x2+3= (x2−32)2+34> (x2−32)2=x2−32，
同理 x12−3x1+3>x1−32，
∴ x22−3x2+3+ x12−3x1+3−(x2+x1−3)>0，
∴(x2−x1) x22−3x2+3+ x12−3x1+3−(x2+x1−3) x22−3x2+3+ x12−3x1+3>0，即f(x2)−f(x1)>0，
∴f(x)在[1,+∞)上单调递增，
又∵f(2)=0，∴当x≥2时，f(x)≥0；
又∵x≥2时，f(x)=x− x2−3x+3=x2−(x2−3x+3)x+ x2−3x+3=3x−3x+ x2−3x+3
=31+1x−1+ 1−1x−1+3(x−1)2<31+1x−1+ 1−2x−2+1(x−1)2=31+1x−1+(1−1x−1)=32，∴x≥2时，f(x)<32，
且当x趋近于+∞时，f(x)无限趋近于32，
∵yi∈{y|y=f(x),x≥1}(i=1，2，⋯，n)，∴yi的取值范围是[0,32),
为使不等式y1+y2+⋯+yn−1≥2024yn恒成立，必须且只需(n−1)×1≥2024×32=3036，
∴n≥3037，∴正整数n的最小值为3037，
故答案为：3037．
先利用定义判定函数f(x)在[2,+∞)上的单调递增，得到当x≥2时，f(x)≥0；并利用分子实数化变形和不等式放缩得到x≥2时，f(x)<32，进而得到yi的取值范围是[0,32)，然后利用不等式恒成立的意义得到(n−1)×1≥2024×32，从而求得n的取值范围，得到n的最小值．
本题主要考查不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于难题．
15.【答案】解：(1)方法一：由 3asinB=c−bcsA及正弦定理，
可得 3sinAsinB=sinC−sinBcsA，
即 3sinAsinB=sin(A+B)−sinBcsA，
即 3sinAsinB=sinBcsA+csBsinA−sinBcsA，
整理得tanB= 33，又B∈(0,π)，可得B=π6；
方法二：由 3asinB=c−b⋅b2+c2−a22bc，
整理得2 3acsinB=c2+a2−b2，
即 3sinB=csB，即tanB= 33，
又B∈(0,π)，可得B=π6；
(2)方法一：由余弦定理得：1=a2+3−2a⋅ 3⋅ 32，
即a2−3a+2=0，解得a=1或a=2，
所以S=12×1× 3= 32或S=12× 3× 12−( 32)2= 34；
方法二：由正弦定理：1sin30∘= 3sinC，可得sinC= 32，
又C∈(0,π)，所以C=π3或C=2π3，
所以S=12×1× 3= 32或S=12×1×1×sin2π3= 34．
【解析】(1)方法一：利用正弦定理结合和差公式化简即可求得B值；方法二：利用余弦定理结合三角函数的基本关系式能得B值；
(2)方法一：由余弦定理化简可得结果；方法二：由正弦定理化简结合三角形的面积公式可得答案．
本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，属中档题．
16.【答案】解：(1)方法一：f(x)=f(2−x)，
代入展开得x4+ax3+bx2=x4−(a+8)x3+(6a+b+24)x2−(12a+4b+32)x+8a+4b+16，
由等式恒成立，则a=−a−8b=6a+b+240=−12a−4b−320=8a+4b+16，
解得a=−4b=4；
方法二：f(x+1)=(x+1)2[(x+1)2+a(x+1)+b]
=x4+(a+4)x3+(3a+b+5)x2+(3a+2b+4)x+a+b+1
因为f(x+1)为偶函数，则4+a=04+3a+2b=0，
解得a=−4b=4．
(2)f(x)=x2(x2−4x+4)=[x(x−2)]2，
设t=x(x−2)，则t=(x−1)2−1≥−1，
因为y=t2≥0，
所以函数f(x)取得最小值为0，当且仅当x=0或x=2时取到．
【解析】(1)方法一：由函数的对称性可得f(x)=f(2−x)，展开可得参数a，b的值；
方法二：将原问题转化为f(x+1)为偶函数，再化简可得参数值；
(2)将原式化为f(x)=[x(x−2)]2，再结合换元法与二次函数的性质即可得最小值．
本题考查二次函数的性质的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)∵成绩在[40,70)的频率为(0.01+0.026+0.02)×10=0.56，
成绩在[40,80)的频率为0.56+0.03×10=0.86，
∴第65百分位数位于[70,80)，设其为x，
则0.56+(x−70)×0.03=0.65，解得：x=73，∴第65百分位数为73．
(2)第5组的人数为：50×0.008×10=4人，可记为A，B，C，D；
第6组的人数为：50×0.006×10=3人，可记为a，b，c；
则从中任取2人，有(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,a)，(A,b)，(A,c)，
(B,C)，(B,D)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，(C,D)，(C,a)，
(C,b)，(C,c)，(D,a)，(D,b)，(D,c)，(a,b)，(a,c)，(b,c)，共21种情况；
其中至少1人成绩优秀的情况有：(A,a)，(A,b)，(A,c)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，
(C,a)，(C,b)，(C,c)，(D,a)，(D,b)，(D,c)，(a,b)，(a,c)，(b,c)，共15种情况；
∴至少1人成绩优秀的概率P=1521=57．
【解析】(1)首先确定第65百分位数位于[70,80)，设其为x，由0.56+(x−70)×0.03=0.65可求得结果；
(2)根据频率分布直方图计算出第五组和第六组的人数，利用列举法列举出所有可能的基本事件，并确定满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果．
本题考查根据频率分布直方图求百分位数，古典概型概率公式，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由题可得VP−ABC=4VP−EFB=4，
解得VP−EFB=1，
由VP−EFB=VB−EFP=13S△EFP⋅hB，
解得hB=1，
所以，点B到平面PEF的距离为1．
(2)如图，以F为原点，FB为x轴正方向，FE为y轴正方向，过F点，垂直于底面ABC向上为z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，
设P(0,a,6)，A(−1,2,0)，C(−1,0,0)，
则AC=(0,−2,0),PC=(−1,−a,−6)，
设面PAC的法向量为n=(x,y,z)．
由n⋅AC=0n⋅PC=0，可得−2y=0−x−ay−6z=0，
令z=1可得n=(−6,0,1)，
易得，平面PEF的法向量m=(1,0,0)，
所以|cs〈n,m〉|=637 37，
即平面PAC与平面PEF夹角的余弦值是637 37．
【解析】(1)利用等体积法，由VP−ABC=4VP−EFB=4，解得：VP−EFB=1，进而能得点B到平面PEF的距离；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行求解．
本题考查等体积法的应用，考查空间向量求空间角，属于中档题．
19.【答案】解：(1)A2={1,2,3,4,6,8,9,12,16}，
n(A2)=9；
(2)∵n(A2)=2016，要使得n(A)最小，就得使ai和aj全都互质，
∴当A中所有元素互质的时候，n(A2)=n(A)⋅(n(A)−1)2+n(A)=n2(A)+n(A)2，
即n2(A)+n(A)2=2016，
解得：n(A)=63就是所求的最小值；
(3)证明：当n=1时，n(A2)≥2n(A)−1取等号，
当n=2时，n(A2)≥2n(A)−1取等号，
当n≥3时不妨令a1有a12其中a12,a1a2,a22,a2a3,a32,⋯,an−12,an−1an,an2∈A2，∴A2中元素的个数为2n(A)−1个，
即n(A2)≥2n(A)−1，
当且仅当a1a3=a22,a2a4=a1a5=a32,⋯,an−2an=an−12，
此时n(A2)中只有2n(A)−1个元素．(或指出{an}为等比数列)．
【解析】(1)根据集合的新定义直接求解即可；
(2)由题意得ai和aj全都互质，所以n(A2)=n(A)⋅(n(A)−1)2+n(A)=n2(A)+n(A)2，则答案可求；
(3)分n=1，n=2和n≥3三种情况讨论即可．
本题考查集合的综合应用，属于难题．
1.已知集合A={x|0
A. (12,1)B. (12,+∞)C. (0,+∞)D. (0,12)
2.“2x>1”是“x>1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是( )
A. α内的所有直线与a异面B. α内存在唯一的直线与a平行
C. α内的所有直线与a相交D. α内不存在与a平行的直线
4.已知关于x的函数y=ln(x−a)在[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. a<1B. a<2C. a>1D. a>2
5.已知点P(3,1)是角α终边上的一点，则cs2α的值为( )
A. 35B. 45C. −35D. −45
6.已知|a|=|b|=1,|2a+b|= 2，则a在b上的投影向量为( )
A. 32bB. − 32bC. 34bD. −34b
7.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是( )
A. 平均数为3，中位数为2B. 中位数为3，众数为2
C. 平均数为2，方差为2.4D. 中位数为3，方差为2.8
8.设函数f(x)= 2sin(ωx+φ)−1(ω>0)，若对于任意实数φ，f(x)在区间[π4,3π4]上至少有2个零点，至多3个零点，则ω的取值范围是( )
A. [83,5)B. [4,5)C. [4,203)D. [83,203)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中说法正确的是( )
A. 必然事件和不可能事件相互独立
B. 若数据x1，x2，…，xn的方差s2=0，则所有的xi(i=1,2,…,n)都相同
C. 若P(A)>0，P(B)>0，则事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立
D. 数据x1，x2，…，xn的方差是sx2，数据y1，y2，…，yn的方差是sy2，若yn=2xn+1，则sy2=2sx2+1
10.已知a，b，c∈R，且a2+b2+c2=3，以下说法正确的是( )
A. a，b，c中至少有一个不大于1B. ab+bc+ca≤3
C. (ac+bc)max=2D. 若a+b+c=0，则c≤ 2
11.已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1的棱长均为1，∠DAB=∠A1AB=∠A1AD=60°，E，F分别是棱B1C1和C1D1的中点，P是AC1上的动点，则下列说法正确的是( )
A. A1C= 2
B. 若AP=12PC1，则A1P//面EFC
C. 若AP=3PC1，则A1C⊥面EFP
D. 若M是线段A1D的中点，N是线段EF上的动点，则MP+PN的最小值是3 34
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知z=(1+i)2−1，则复数z在复平面内对应的点位于第______象限．
13.甲乙丙三位同学之间相互踢毽子.假设他们相互间传递毽子是等可能的，并且由甲开始传，则经过3次传递后，毽子仍回到甲处的概率为______．
14.已知函数f(x)=x− x2−3x+3，若对于∀yi∈{y|y=f(x),x≥2}(i=1，2，⋯，n)，不等式i=1n−1yi≥2024yn恒成立，则正整数n的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 3asinB=c−bcsA．
(1)求角B的大小；
(2)若c= 3,b=1，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x2(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称．
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的最小值．
17.(本小题15分)
今年6月我校进行了一次数学竞赛选拔考试.从参加考试的同学中，选取50名同学将其成绩分成六组：第1组[40,50)，第2组[50,60)，第3组[60,70)，第4组[70,80)，第5组[80,90)，第6组[90,100]，得到频率分布直方图(如下图)，观察图形中的信息，回答下列问题：
(1)从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；
(2)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级.若从成绩在[80,100]的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率．
18.(本小题15分)
如图，三棱锥P−ABC，∠C=90°，AC=BC，E，F分别是AB，BC的中点，且VP−ABC=4，S△PEF=3．
(1)求点B到平面PEF的距离；
(2)若面PEF⊥面ABC，求平面PAC与平面PEF夹角的余弦值．
19.(本小题17分)
已知正实数集A={a1,a2,⋯,an}，定义：A2={aiaj|ai,aj∈A}称为A的平方集.记n(A)为集合A中的元素个数．
(1)若A={1,2,3,4}，求集合A2和n(A2)；
(2)若n(A2)=2016，求n(A)min；
(3)求证：n(A2)≥2n(A)−1，并指出取等条件．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为A={x|0
所以A∪B=(0,+∞)．
故选：C．
由并集的概念即可直接得答案．
本题主要考查了集合并集运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由2x>1可得x>0，{x|x>1}≠⊂{x|x>0}，
则2x>1是x>1的必要不充分条件．
故选：B．
根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案．
本题主要考查指数不等式的解法，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则线面相交
A选项不正确，α内存在直线与a相交；
B选项不正确，α内的直线与直线a的位置关系是相交或者异面，不可能平行；
C选项不正确，α内只有过直线a与面的交点的直线与a相交；
D选项正确，因为α内的直线与直线a的位置关系是相交或者异面，不可能平行．
综上知，D选项正确
故选：D．
直线a不平行于平面α，且a⊄α，则线面相交，四个选项都是研究α内的直线与a的位置关系，故由线面位置关系结合线线位置关系进行判断找出正确选项
本题考查空间中直线与直线之间的位置关系，解题的关键是熟练掌握空间中直线平行与垂直的判断条件以及具有较强的空间想像能力．
4.【答案】A
【解析】解：由于y=ln(x−a)在[1,2]上单调递增，
所以x−a>0在[1,2]上恒成立，即a<1．
故选：A．
由对数函数的单调性与定义域列不等式即可求得答案．
本题考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵P(3,1)是α终边上一点，
∴csα=3 32+12=3 1010，
则cs2α=2cs2α−1=2×910−1=45．
故选：B．
由三角函数的定义结合二倍角的余弦公式即可求解答案．
本题考查任意角的三角函数的定义及倍角公式的应用，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由|a|=|b|=1,|2a+b|= 2，可得(2a+b)2=|2a+b|2=2，
即4|a|2+4a⋅b+|b|2=2，可得4+4a⋅b+1=2，解得a⋅b=−34，
所以a在b上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=−34b．
故选：D．
根据题意，利用平面向量数量积的定义与运算性质，结合投影向量的公式算出答案．
本题主要考查平面向量数量积的定义与运算性质、投影向量的概念等知识，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；
对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；
对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差S2>15(6−2)2=3.2>2.4，
∴平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C正确；
对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
平均数为：x−=15(1+2+3+3+6)=3
方差为S2=15[(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(3−3)2+(6−3)2]=2.8，可以出现点数6，故D错误．
故选：C．
根据题意举出反例，即可得出正确选项．
本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、众数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．
8.【答案】B
【解析】解：令f(x)=0，
则sin(ωx+φ)= 22，
令t=ωx+φ，
则sint= 22，
则原问题转化为y=sint在区间[π4ω+φ,3π4ω+φ]上至少2个，至多有3个t，使得y=sint= 22，求ω的取值范围，
作出y=sint与y= 22的图象，如图所示：
由图知，满足条件的最短区间长度为9π4−π4=2π，
最长区间长度为11π4−π4=5π2，
所以2π≤(3π4ω+φ)−(π4ω+φ)<5π2，解得4≤ω<5．
故选：B．
原问题转化为y=sint在区间[π4ω+φ,3π4ω+φ]上至少2个，至多有3个t，使y=sint= 22，求ω取值范围，数形结合判断满足条件区间长度，由此建立关于ω的不等式，解出即可．
本题考查了转化思想、数形结合思想，考查了正弦函数的性质，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：必然事件是一定会发生的事件且概率为1，不可能事件是一定不会发生的事件且概率为0，又它们的交事件的概率为0，故相互独立，所以A正确；
若s2=(x1−x−)2+(x1−x−)2+⋯+(xn−x−)2n=0，
则x1=x2=⋯=xn=x−，故B正确；
若事件A，B互斥成立，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，
又P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)，所以有P(A∩B)=0，
若事件A，B相互独立，则有P(A∩B)=P(A)P(B)>0，矛盾，
故事件A，B相互独立与事件A，B互斥不能同时成立，C正确；
若数据x1，x2，⋯，xn的方差是sx2，yn=2xn+1，则数据y1，y2，⋯，yn的方差是sy2=4sx2，故D错误．
故选：ABC．
由必然事件与不可能事件的概念即可判断A；由方差公式即可判断B；根据互斥事件概率加法公式和独立事件的概率乘法公式，结合P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)推导可判断C；由方差的性质即可判断D．
本题考查必然事件、方差、相互独立事件相关知识，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，若a，b，c均大于1，那么a2+b2+c2>3，矛盾，
所以a，b，c中至少有一个不大于1，A正确．
对于B，ab+bc+ca≤a2+b22+b2+c22+c2+a22=3，
当且仅当“a=b=c=1“时，等号成立，B正确．
对于C，3=a2+b2+c2≥2 a2⋅12c2+2 b2⋅12c2= 2(ac+bc)．
所以ac+bc≤3 22，当且仅当a2=b2=12c2=34，即a=b= 32,c= 62时，等号成立，C错误．
对于D，∵c2=(−b−a)2=b2+a2+2ab≤2(b2+a2)，
∴c2≤2(3−c2)，∴3c2≤6，即− 2≤c≤ 2，则c≤ 2，D正确．
故选：ABD．
利用假设法可以判断A，利用基本不等式的性质可判断B，由3=a2+b2+c2≥2 a2⋅12c2+2 b2⋅12c2= 2(ac+bc)可以判断C，c2=(−b−a)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2)可以判断D．
本题考查了基本不等式和a2+b2≥2ab的运用，是中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：由题设可知，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的六个面均为一个角是60°的菱形，连接AC，BD交于点O，
在菱形ABB1A1，ADD1A1中易得A1B=A1D=1，又O为BD中点，则A1O⊥BD，
在直角三角形A1OB中有A1O= A1B2−OB2= 32，
在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cs∠ABC，
解得AC= 3，则OA= 32，
在△A1OA中，由余弦定理得cs∠A1OA=A1O2+AO2−AA122⋅AO⋅A1O=13，
则cs∠A1OC=−cs∠A1OA=−13，
在△A1OC中，余弦定理可得A1C2=A1O2+OC2−2A1O⋅OC⋅cs∠A1OC，
解得A1C= 2，A正确；
连接EF交A1C1于G，连接CG交AC1于H，由于E，F分别是棱B1C1和C1D1的中点，
可得EF//B1D1，且EF//12B1D1，
连接A1C1，B1D1交于点O1，
则有C1G=14A1C1，故A 1G=3C1G，
若A1P//平面EFC，A1P⊂平面A1B1C1D1，平面EFC∩平面A1B1C1D1=CG，则A1P//CG，故C1H=13PC1，
易得△A1PA≌△CHC1，故AP=C1H=13PC1，与题设不符，B错误；
设AC1与A1C交于点O2，连接O2B1，因为P，E分别是O2C1，B1C1的中点，则O2B1//EP，
在菱形B1C1CB中易得B1C=1，则B1C=A1B1，
又O2是A1C中点，则A1C⊥O2B1，则A1C⊥EP，
过点C作CI//BD，使CI=BD，连接A1I，易得BD//EF，
在平面ABB1A1内由余弦定理得A1I2=AI2+A1A2−2AI⋅A1A⋅cs∠A1AB，
解得A1I= 3，又A1C= 2，CI=1，则A1I2=A1C2+CI2，
则A1C⊥CI，又CI//BD//EF，则A1C⊥EF，
因为EP∩EF=E，EF⊂平面EFP，EP⊂平面EFP，
所以A1C⊥面EFP，C正确；
由平行六面体的对称性可得△MPA≌△OPA，则MP=OP，
当MP+PN最小时，可知OP+PN最小，故此时O，P，N三点共线，
此时易得N为EF的中点，
由A1C1//AC可得cs∠C1A1O=cs∠A1OA=13，
由B选项可知A1N=3C1N，又A1C1= 3，则A1N=3 34，
在△A1ON中，由余弦定理易得ON=3 34，
故MP+PN的最小值是3 34，D正确．
故选：ACD．
A选项，在△ABC，△A1OA，△A1OC中依次使用余弦定理，即可解得A1C，判断出A的真假；
B选项，假设A1P//平面EFC成立，由线面平行的性质可知A1P//CG，由平行线分线段成比例可知C1H=13PC1，找出全等三角形△A1PA≌△CHC1，可得AP=C1H=13PC1；判断出B的真假；
C选项，分别证明A1C⊥EP，A1C⊥EF，由线面垂直的判定，可得A1C⊥平面EFP，判断出C的真假；
D选项，找出全等三角形△MPA≌△OPA，可知当MP+PN最小时，OP+PN最小，此时O，P，N三点共线，利用余弦定理求ON的长度，即MP+PN的最小值．
本题考查余弦定理的应用，线面平行的性质的应用，属于中档题．
12.【答案】二
【解析】解：由题意得z=(1+i)2−1=−1+2i，故复数z对应的点为(−1,2)，
故对应点位于第二象限．
故答案为：二．
先由复数的乘法运算化简，再结合复数在复平面内的点的坐标表示可直接得答案．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
13.【答案】14
【解析】解：
根据题意可得树状图：121233123123213，
设甲乙丙分别为1，2，3，列树状图得3次传递基本事件是8种，满足条件的基本事件是2种，
所以P=28=14．
故答案为：14．
列举法求古典概型的概率即可．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
14.【答案】3037
【解析】解：设2≤x1
=(x2−x1) x22−3x2+3+ x12−3x1+3−(x2+x1−3) x22−3x2+3+ x12−3x1+3，
又∵ x22−3x2+3= (x2−32)2+34> (x2−32)2=x2−32，
同理 x12−3x1+3>x1−32，
∴ x22−3x2+3+ x12−3x1+3−(x2+x1−3)>0，
∴(x2−x1) x22−3x2+3+ x12−3x1+3−(x2+x1−3) x22−3x2+3+ x12−3x1+3>0，即f(x2)−f(x1)>0，
∴f(x)在[1,+∞)上单调递增，
又∵f(2)=0，∴当x≥2时，f(x)≥0；
又∵x≥2时，f(x)=x− x2−3x+3=x2−(x2−3x+3)x+ x2−3x+3=3x−3x+ x2−3x+3
=31+1x−1+ 1−1x−1+3(x−1)2<31+1x−1+ 1−2x−2+1(x−1)2=31+1x−1+(1−1x−1)=32，∴x≥2时，f(x)<32，
且当x趋近于+∞时，f(x)无限趋近于32，
∵yi∈{y|y=f(x),x≥1}(i=1，2，⋯，n)，∴yi的取值范围是[0,32),
为使不等式y1+y2+⋯+yn−1≥2024yn恒成立，必须且只需(n−1)×1≥2024×32=3036，
∴n≥3037，∴正整数n的最小值为3037，
故答案为：3037．
先利用定义判定函数f(x)在[2,+∞)上的单调递增，得到当x≥2时，f(x)≥0；并利用分子实数化变形和不等式放缩得到x≥2时，f(x)<32，进而得到yi的取值范围是[0,32)，然后利用不等式恒成立的意义得到(n−1)×1≥2024×32，从而求得n的取值范围，得到n的最小值．
本题主要考查不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于难题．
15.【答案】解：(1)方法一：由 3asinB=c−bcsA及正弦定理，
可得 3sinAsinB=sinC−sinBcsA，
即 3sinAsinB=sin(A+B)−sinBcsA，
即 3sinAsinB=sinBcsA+csBsinA−sinBcsA，
整理得tanB= 33，又B∈(0,π)，可得B=π6；
方法二：由 3asinB=c−b⋅b2+c2−a22bc，
整理得2 3acsinB=c2+a2−b2，
即 3sinB=csB，即tanB= 33，
又B∈(0,π)，可得B=π6；
(2)方法一：由余弦定理得：1=a2+3−2a⋅ 3⋅ 32，
即a2−3a+2=0，解得a=1或a=2，
所以S=12×1× 3= 32或S=12× 3× 12−( 32)2= 34；
方法二：由正弦定理：1sin30∘= 3sinC，可得sinC= 32，
又C∈(0,π)，所以C=π3或C=2π3，
所以S=12×1× 3= 32或S=12×1×1×sin2π3= 34．
【解析】(1)方法一：利用正弦定理结合和差公式化简即可求得B值；方法二：利用余弦定理结合三角函数的基本关系式能得B值；
(2)方法一：由余弦定理化简可得结果；方法二：由正弦定理化简结合三角形的面积公式可得答案．
本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，属中档题．
16.【答案】解：(1)方法一：f(x)=f(2−x)，
代入展开得x4+ax3+bx2=x4−(a+8)x3+(6a+b+24)x2−(12a+4b+32)x+8a+4b+16，
由等式恒成立，则a=−a−8b=6a+b+240=−12a−4b−320=8a+4b+16，
解得a=−4b=4；
方法二：f(x+1)=(x+1)2[(x+1)2+a(x+1)+b]
=x4+(a+4)x3+(3a+b+5)x2+(3a+2b+4)x+a+b+1
因为f(x+1)为偶函数，则4+a=04+3a+2b=0，
解得a=−4b=4．
(2)f(x)=x2(x2−4x+4)=[x(x−2)]2，
设t=x(x−2)，则t=(x−1)2−1≥−1，
因为y=t2≥0，
所以函数f(x)取得最小值为0，当且仅当x=0或x=2时取到．
【解析】(1)方法一：由函数的对称性可得f(x)=f(2−x)，展开可得参数a，b的值；
方法二：将原问题转化为f(x+1)为偶函数，再化简可得参数值；
(2)将原式化为f(x)=[x(x−2)]2，再结合换元法与二次函数的性质即可得最小值．
本题考查二次函数的性质的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)∵成绩在[40,70)的频率为(0.01+0.026+0.02)×10=0.56，
成绩在[40,80)的频率为0.56+0.03×10=0.86，
∴第65百分位数位于[70,80)，设其为x，
则0.56+(x−70)×0.03=0.65，解得：x=73，∴第65百分位数为73．
(2)第5组的人数为：50×0.008×10=4人，可记为A，B，C，D；
第6组的人数为：50×0.006×10=3人，可记为a，b，c；
则从中任取2人，有(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,a)，(A,b)，(A,c)，
(B,C)，(B,D)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，(C,D)，(C,a)，
(C,b)，(C,c)，(D,a)，(D,b)，(D,c)，(a,b)，(a,c)，(b,c)，共21种情况；
其中至少1人成绩优秀的情况有：(A,a)，(A,b)，(A,c)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，
(C,a)，(C,b)，(C,c)，(D,a)，(D,b)，(D,c)，(a,b)，(a,c)，(b,c)，共15种情况；
∴至少1人成绩优秀的概率P=1521=57．
【解析】(1)首先确定第65百分位数位于[70,80)，设其为x，由0.56+(x−70)×0.03=0.65可求得结果；
(2)根据频率分布直方图计算出第五组和第六组的人数，利用列举法列举出所有可能的基本事件，并确定满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果．
本题考查根据频率分布直方图求百分位数，古典概型概率公式，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由题可得VP−ABC=4VP−EFB=4，
解得VP−EFB=1，
由VP−EFB=VB−EFP=13S△EFP⋅hB，
解得hB=1，
所以，点B到平面PEF的距离为1．
(2)如图，以F为原点，FB为x轴正方向，FE为y轴正方向，过F点，垂直于底面ABC向上为z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，
设P(0,a,6)，A(−1,2,0)，C(−1,0,0)，
则AC=(0,−2,0),PC=(−1,−a,−6)，
设面PAC的法向量为n=(x,y,z)．
由n⋅AC=0n⋅PC=0，可得−2y=0−x−ay−6z=0，
令z=1可得n=(−6,0,1)，
易得，平面PEF的法向量m=(1,0,0)，
所以|cs〈n,m〉|=637 37，
即平面PAC与平面PEF夹角的余弦值是637 37．
【解析】(1)利用等体积法，由VP−ABC=4VP−EFB=4，解得：VP−EFB=1，进而能得点B到平面PEF的距离；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行求解．
本题考查等体积法的应用，考查空间向量求空间角，属于中档题．
19.【答案】解：(1)A2={1,2,3,4,6,8,9,12,16}，
n(A2)=9；
(2)∵n(A2)=2016，要使得n(A)最小，就得使ai和aj全都互质，
∴当A中所有元素互质的时候，n(A2)=n(A)⋅(n(A)−1)2+n(A)=n2(A)+n(A)2，
即n2(A)+n(A)2=2016，
解得：n(A)=63就是所求的最小值；
(3)证明：当n=1时，n(A2)≥2n(A)−1取等号，
当n=2时，n(A2)≥2n(A)−1取等号，
当n≥3时不妨令a1
即n(A2)≥2n(A)−1，
当且仅当a1a3=a22,a2a4=a1a5=a32,⋯,an−2an=an−12，
此时n(A2)中只有2n(A)−1个元素．(或指出{an}为等比数列)．
【解析】(1)根据集合的新定义直接求解即可；
(2)由题意得ai和aj全都互质，所以n(A2)=n(A)⋅(n(A)−1)2+n(A)=n2(A)+n(A)2，则答案可求；
(3)分n=1，n=2和n≥3三种情况讨论即可．
本题考查集合的综合应用，属于难题．
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