2024-2025学年山东省青岛五十八中高一（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年山东省青岛五十八中高一（上）第一次月考数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.命题“∀x∈R都有x2+x+1>0”的否定是( )
A. 不存在x∈R，x2+x+1>0B. 存在x0∈R，x02+x0+1≤0
C. 存在x0∈R，x02+x0+1>0D. 对任意的x∈R，x2+x+1≤0
2.“x>12”是“1x0，bc−ad>0，则ca−db>0；
(2)若ab>0，ca−db>0，则bc−ad>0；
(3)若bc−ad>0，ca−db>0，则ab>0，
其中正确命题的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
6.若“∃x∈R，ax2−3ax+9≤0”是假命题，则a的取值范围为( )
A. [0,4]B. [0,4)C. (0,4)D. [4,+∞)
7.已知关于x的不等式组x2−2x−8>02x2+(2k+7)x+7k0，y>0，S=2xy4x2+y2+xyx2+y2，则( )
A. S的最大值是910B. S的最大值是2 23
C. S的最大值是32D. S的最大值是9 24
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知命题p：∀x∈R，x2+ax+4>0.则命题p成立的一个充分条件可以是( )
A. a∈[−1,1]B. a∈(−4,4)C. a∈[−4,4]D. a∈{0}
10.若a>0，b>0，a+b=2，则下列不等式恒成立的是( )
A. ab≥1B. a2+b2≥2C. a+ b≤ 2D. 1a+1b≥2
11.通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.若以集合X的子集为元素的族Γ，满足下列三个条件：(1)⌀和X在Γ中；(2)Γ中的有限个元素取交后得到的集合在Γ中；(3)Γ中的任意多个元素取并后得到的集合在Γ中，则称族Γ为集合X上的一个拓扑.已知全集U={1,2,3,4}，A，B为U的非空真子集，且A≠B，则( )
A. 族P={⌀,U}为集合U上的一个拓扑
B. 族P={⌀,A,U}为集合U上的一个拓扑
C. 族P={⌀,A,B,U}为集合U上的一个拓扑
D. 若族P为集合U上的一个拓扑，将P的每个元素的补集放在一起构成族Q，则Q也是集合U上的一个拓扑
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a∈R，b∈R，若集合A={a,ba,1}，B={a2,a+b,0}，A⊆B且B⊆A，则a2023+b2023的值为______．
13.一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于(v20)2千米，那么这批物资全部运到B市，最快需要 小时(不计货车的身长)
14.已知实数x，y满足x>y>0，若z=x2+16(x−y)y，则z的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知全集为R，M=[−2,2]，N={x|0≤x≤2}．
(1)求M∩(∁RN)；
(2)若C={x|1−2a≤x≤a}，且C∪M=C，求a的取值范围．
16.(本小题15分)
不等关系是数学中一种最基本的数量关系．请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题：
(1)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；
(2)甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同．哪种采购方案更经济，请说明理由．
17.(本小题15分)
党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？
18.(本小题15分)
设f(x)=(k+1)x2−(2k+1)x+1，x∈R．
(1)若f(x)>0恒成立，求实数k的取值范围；
(2)当k0．
19.(本小题17分)
已知有限集A={a1,a2,…,an}(n≥2，n∈N)，如果A中的元素ai(i=1,2,…,n)满足a1+a2+…+an=a1×a2×…×an，就称A为“完美集”．
(1)判断：集合{−1− 3,−1+ 3}是否是“完美集”并说明理由；
(2)a1、a2是两个不同的正数，且{a1,a2}是“完美集”，求证：a1、a2至少有一个大于2；
(3)若ai为正整数，求：“完美集”A．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x0∈R，x02+x0+1≤0．
故选：B．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：当x>12时1x0，bc−ad>0，
将不等式两边同时除以ab，
∴ca−db>0，所以(1)正确;
对于(2)∵ab>0，ca−db>0，
将不等式两边同时乘以ab，
∴bc−ad>0 所以(2)正确;
对于(3)∵ca−db>0，
∴bc−adab> 0，
又∵bc−ad>0，
∴ab>0，所以(3)正确．
故选D．
6.【答案】B
【解析】解：“∃x∈R，ax2−3ax+9≤0”是假命题，
则∀x∈R，ax2−3ax+9>0是真命题，
当a=0时，9>0，符合题意，
当a≠0时，则a>0Δ=9a2−36a>0，解得00得x4，
解方程2x2+(2k+7)x+7k=0得x1=−72，x2=−k．
(1)若−k72时，不等式2x2+(2k+7)x+7ka>0，且m>0；
证明如下：因为m>0，b>a>0，所以b(b+m)>0，b−a>0，
所以a+mb+m−ab=(a+m)b−a(b+m)b(b+m)=m(b−a)b(b+m)>0，
所以a+mb+m>ab；
(2)设第一种方案每次购买商品数量为m，则两次花费金额为mp1+mp2，平均价格为mp1+mp22m=p1+p22；
设第二种方案每次采购用的钱数为n，则两次购买的商品数为np1+np2，平均价格为2nnp1+np2=2p1p2p1+p2，
因为p1+p2≥2 p1p2，当且仅当p1=p2时取“=”，
所以2p1p2p1+p2≤2p1p22 p1p2= p1p2≤p1+p22，当且仅当p1=p2时取“=”；
所以第二种采购方案更经济．
【解析】(1)用不等式表示为a+mb+m>ab，用作差法证明即可；
(2)分别求出两种方案购买商品的平均价格，比较大小即可．
本题考查了利用数学知识解决实际应用问题，也考查了作差法和转化思想，是中档题．
17.【答案】解：设沼气池的底面长为x米，沼气池的总造价为y元，
因为沼气池的深为2米，容积为32立方米，所以底面积为16平方米，
因为底面长为x米，所以底面的宽为16x，
依题意有y=3000+150×16+120×2(2x+2×16x)
=5400+480(x+16x)，
因为x>0，由基本不等式和不等式的性质可得
5400+480(x+16x)≥5400+480×2 x⋅16x，
即y≥5400+480×2 16，
所以y≥9240，
当且仅当x=16x，即x=4时，等号成立，
所以当沼气池的底面是边长为4米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元．
【解析】本题主要考查了利用基本不等式求解最值在实际问题中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出具体函数解析式，属于基础题．
设沼气池的底面长为x米，沼气池的总造价为y元，依题意有y=3000+150×16+120×2(2x+2×16x)=5400+480(x+16x)，利用基本不等式即可求解．
18.【答案】解：(1)因为f(x)>0恒成立，
所以k+1>0Δ=(2k+1)2−4(k+1)