第四章《图形的相似》单元检测试卷（解析版）

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第四章《图形的相似》单元检测试卷（解析版） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．1．若，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质变形即可求解，熟知比例的性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴设，，∴，故选：C．2．下列各组线段中是成比例线段的是（   ）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，2cm，4cm C．3cm，5cm，9cm，13cm D．1cm，2cm，2cm，3cm【考点】比例线段．版权所有【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论．【解答】解：∵1×4≠2×3，∴选项A不成比例；∵1×4＝2×2，∴选项B成比例；∵3×13≠5×9，∴选项C不成比例；∵3×1≠2×2，∴选项D不成比例故选：B．3．如图，已知，，，的长为（   ） A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】∵，∴，∵，∴，即，解得，，故选：B．4．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中相似的是（   ） A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．此题考查三角形相似判定定理的应用以及勾股定理与网格．【详解】解：依题意，按小到大排序：A、按小到大排序：，∵∴三角形（阴影部分）不与图中相似；故该选项是错误的；B、按小到大排序：，∵∴三角形（阴影部分）与图中相似；故该选项是正确的；C、按小到大排序：，∵∴三角形（阴影部分）不与图中相似；故该选项是错误的；D、按小到大排序：，∵∴三角形（阴影部分）不与图中相似；故该选项是错误的；故选：B．如图，嘉嘉在A时测得一棵4米高的树的影长为，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长为（   ） A． B． C． D．【答案】A【分析】根据勾股定理，求出FC=，令DE=x，在Rt中，EC2=，在Rt中，EC2==，代入求解即可．【详解】解：由题意，得∠ECF=∠CDF=∠CDE=90°，CD=4m，=，由勾股定理，得FC=，EC2=，EC2=，∴=，令DE=x，则EF=x+8，∴，整理，得16x=32，解得x=2．故选：A．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D四个点都在格点上．若正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为（   ）  A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】本题考查了中心位似图形，根据正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，即可得出答案，掌握中心位似图形的定义是解题的关键．【详解】解：如图：  由图可知，点B2,1，∵正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴点或，故选：C．7 .大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是（   ）①；②；③；④．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【分析】此题考查了黄金分割：点把线段AB分成两条线段和，且使是AB和的比例中项（即），叫做把线段AB黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．由黄金分割的定义分别进行判断．【详解】解：∵为AB的黄金分割点， ∴， ，①、②、③错误，④正确，不符合题意， 故选：A．8 .现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为12cm，另一直角边AB长为24cm．现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（   ）A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张【答案】C【分析】截取正方形以后所剩下的三角形与原三角形相似，根据相似三角形对应边上的比等于相似比即可求解．【详解】设这张正方形纸条是第n张.∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴=，解得：n=6.故答案选：C.9．如图，在中，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中．当t为何值时，与相似（   ）A．3 B． C．或 D．3或【答案】C【分析】本题考查相似三角形的判定，由勾股定理求出长，分两种情况，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，分别列出关于的方程，求出，即可解决问题，关键是要分两种情况讨论．【详解】解：由勾股定理得：，由题意得：,，当时，∵，∴,此时,，当时,∵,∴,此时,∴当为或时,与相似，故选：．如图，在矩形纸片中，，，点在CD上，将沿折叠，点恰落在边AD上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，；∽；；则下列结论正确的有（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据矩形的性质得出，根据折叠得出，，根据勾股定理求出，再逐个判断即可．【详解】解：根据矩形的性质得出由折叠的性质得，，，∴，故①正确；由折叠的性质得，，，∴在中，，设，则，在中，，解得，∴，∴，同理在中，，，由得，∴，∴，∴与不相似，故②不正确；∵，，∴，即，故③正确；∵，，，∴，故④正确．正确的有①③④故选：B二、填空题：本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．11．如图，，，，则的长是________【答案】4【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例的性质可计算出的长．【详解】解：∵，∴，即，∴．故答案为：4．12.如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在点的同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为，则点的坐标为 ．【答案】【分析】此题主要考查了图形的位似变换，相似三角形的判定以及性质，由正方性的性质和位似图形的性质可得出，，进而得出， 由相似三角形的性质可得出，进而可求出，进一步即可得出答案．【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，，∴，，∴，，即，解得：，∴，故答案为：．如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是______【答案】【分析】设原来矩形的长为x，宽为y，则对折后的矩形的长为y，宽为，根据得到的两个矩形都和原矩形相似，有，计算求解即可．【详解】解：设原来矩形的长为x，宽为y，如图，∴对折后的矩形的长为y，宽为，∵得到的两个矩形都和原矩形相似，∴，∴，解得．故答案为：14.如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的，若AB＝6，则△DEF移动的距离AD＝ ．【答案】2【分析】如图，根据平移的性质得到，则可判断，利用相似三角形的性质可计算出，则AE，然后计算DE﹣AE即可．【详解】解：如图所示，AC与EF的交于点G，∵△DEF沿DE平移到△ABC的位置，∴，，∴△AEG∽△DEF，，，，．故答案为：2．15．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过 秒钟，与相似．【答案】2或5【分析】分和两种情况解答即可．【详解】解：设P、Q运动时间为秒，根据题意，，，则，当时，则，即，解得：；当时，则，即，解得：，综上，当经过2或5秒钟，与相似．故答案为：2或5．如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于M，现在有如下5个结论：①定是直角三角形； ②；③当M与C重合时，有；④平分正方形的面积；⑤，在以上5个结论中，正确的有 ．  【答案】①②③⑤【分析】由折叠的性质可得°，由“”可证，可得，由平角的性质可求，故①和②正确；通过证明，可得，可得，故⑤正确；如图1，设．则，通过证明，可得，可求，可得，故③正确；当点F与点D重合时，直线不平分正方形的面积，故④错误，即可求解．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵E为的中点，∴，由翻折可知：，∴，∵，∴，∴，∵，∴∴是直角三角形，故①②正确，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵∴，故⑤正确，如图1中，当M与C重合时，  设．则，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴∴∴，故③正确，如图2中，  当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，故④错误，综上所述，正确的有：①②③⑤，故答案为：①②③⑤三、解答题：（本大题共10个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知，且，求值．【答案】12【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案．【详解】解：设，，，，，，，，的值为．18．如图，已知，．求证：．【答案】见解析【分析】根据相似三角形的判定与性质可得结论．【详解】解：证明：∵，∴，即，∵，∴，∴．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知米，米，测点D到地面的距离米，到旗杆的水平距离米，求旗杆的高度．【答案】旗杆的高度为14米．【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，主要利用了相似三角形对应边成比例．求出，根据相似三角形对应边成比例列式求出，再求出，然后根据旗杆的高度代入数据计算即可得解．【详解】解：，，，，即，解得，，，，，四边形是矩形，，（米）．答：旗杆的高度为14米．20．如图，的顶点坐标分别为，，．(1)作出先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的；(2)在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为．(3)在（2）的条件下，若M为边上的中点，则的边上与点M对应的点的坐标为______．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】本题主要考查平移，位图图形的性质，熟练掌握位似图形是解题的关键．（1）根据题意得到对应点的坐标，画出平移图形即可；（2）根据相似比分别求出对应点的坐标，进行画图即可．（3）根据中点坐标公式求出M的坐标，即可得到答案．【详解】（1）解：如图，为所求图形；（2）解：根据相似比可得，，如图，为所求；（3）解：根据题意，若M为边上的中点，．故答案为：．21.如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键．（1）由正方形的性质得出，，，得出，再由，即可得出结论；（2）由勾股定理求出，可求出，由得出比例式，即可求出的长．【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，，∴，又∵，∴，∴，∴；（2）解：∵四边形是正方形，，∴，，∴，∵是的中点，∴，∵，∴，即，∴．22.如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边AB、上，交AD于点． (1)当点恰好为AB中点时，______．(2)若矩形的周长为，求出的长度．【答案】(1)60(2)【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高之比等于相似比；（1）由，得到，代入即可求解，（2）根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，从而得到的长，【详解】（1）解：∵为中点，∴，∵在矩形中，，∴，，∴，∴，∴．故答案为：．（2）解：∵四边形为矩形，∴，∵，∴，∴∴．∴四边形为矩形，∴，，∵矩形的周长为∴，∵，∴，∴，∴，∴．23.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm. P、Q分别为AB、BC上的动点，点P从点A出发沿AB方向作匀速移动的同时，点Q从点B出发沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P、Q移动的时间为t（0＜t≤4）.当t为何值时，△BPQ与△ABC相似； （2）当t为何值时，△BPQ是等腰三角形. 解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm.∴AB=（cm）.∵△BPQ和△ABC有公共角∠B，∴①当时，△BPQ∽△BCA，由此可得： ，解得： ；②当时，△BPQ∽△BAC，由此可得： ，解得： ；∴当或时，△BPQ与△ABC相似；①如图1，当BP=BQ时，△BPQ是等腰三角形，由题意可得： ，解得： ；②如图2，当BQ=PQ时，过点Q作QE⊥AB于点E，则BE=PE=BP=，∠BEQ=∠C=90°，又∵∠B=∠B，∴△BEQ∽△BCA，∴，即 ，解得： ；③如图3，当PB=PQ时，过点P作PE⊥BC于点E，则BE=EQ= ，∠BEP=∠C=90°，又∵∠B=∠B，∴△BEP∽△BCA，∴，即，解得： ；综上所述，当， ， 时，△BPQ是等腰三角形.24．【问题呈现】和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．  (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；(2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．【答案】(1)(2)成立；理由见解析(3)或【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论；（2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论；（3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可．【详解】（1）解：∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；故答案为：．  （2）解：成立；理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴；  （3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示：  设，则，根据解析（2）可知，，∴，∴，根据解析（2）可知，，∴，根据勾股定理得：，即，解得：x=2或（舍去），∴此时；当点D在线段上时，连接，如图所示：  设，则，根据解析（2）可知，，∴，∴，根据解析（2）可知，，∴，根据勾股定理得：，即，解得：或（舍去），∴此时；综上分析可知，或．