上海市南洋模范中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷（解析版）

这是一份上海市南洋模范中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了09， 已知，则_________．等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1. 已知a，b均为实数，，则___________.
【答案】21
【解析】
【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可.
【详解】根据可得到，
故，，求得a=3,b=7，
所以.
故答案为：21
2. 的展开式中，常数项为______．
【答案】3
【解析】
【分析】先求出展开式中的通项公式，然后令的指数为0求解.
【详解】由展开式中的通项公式为：，
令，则，
故展开式中的常数项为：，
故答案为：3.
3. 已知平面向量的夹角为，则___________
【答案】
【解析】
【分析】由向量的数量积运算及运算律可求得答案.
【详解】，
所以．
故答案为：.
4. 不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】由于恒成立，所以将解分式不等式问题转化为解一元二次不等式，则答案可得.
【详解】因为，所以恒成立，
所以，
所以，，
所以．
故答案为：.
5. 设，若，则实数的取值集合为__________.
【答案】
【解析】
【分析】化简集合，即可根据分别求解.
【详解】由可得,
由于,故,
因此，
，
，
故实数的取值集合为，
故答案为：
6. 圆的半径的最大值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】化为圆的标准方程求出半径，根据a的范围利用抛物线的单调性可得答案.
【详解】由可得，
当表示圆，即解得a的取值范围是，
半径为，
是开口向下对称轴为的抛物线，在单调递增，
在单调递减，所以时最大值为.
故答案为：．
7. 已知，则_________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用辅助角公式求出，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可．
【详解】，
∴，则，故，
，
故答案为：
8. 已知点为双曲线右支上的一点，点，分别为双曲线的左、右焦点，若M为的内心，且，则双曲线的离心率为________．
【答案】
【解析】
【分析】设出内切圆半径，由三角形面积等式，结合双曲线定义可得关系，进而求出离心率.
【详解】设内切圆半径为，由题意知，
所以，
即，由点为双曲线右支上的一点，
则，
故双曲线的离心率.
故答案为：.
9. 在一座尖塔的正南方向地面某点，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔北偏东地面某点，测得塔顶的仰角为，且，两点距离为，在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大，则点到塔底的距离为______m.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可确定，，设尖塔高为，则，，
在中解三角形即可.
【详解】
如图，尖塔为，设，
则由题意可知，，，
在中，由余弦定理可知，
即，解得，即，，
由线段上的点处测得塔顶的仰角为最大可知，
故，即，
得，
故答案为：
10. 已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数是奇函数结合得出函数的周期，再应用数形结合转化为零点是函数的交点横坐标，最后应用对称性即可求出零点和.
【详解】奇函数y=fx，对于都有，
，则，即f4+x=fx，
则函数是周期为4的周期函数．且关于直线对称，
作出函数y=fx与的图象知共有5个交点，其横坐标从小到大依次为，
所以，，，，
则，故在内所有的零点之，
故答案为:．
11. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出每一段函数的值域，然后由题意得到，根据，可将化简为，构造函数，利用导数求最值即可.
【详解】结合解析式可知当时，；当时，.
因为，所以.
令，得，则，
故.
令，则，
令得；令得，
所以函数上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，，
因为，所以.
所以的取值范围为.
故答案为：
12. 定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“函数性质”.已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“函数性质”，且首项为1的数列满足，记的前项和为，则数列的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用二次函数的性质求解析式，再利用数列的递推思想构造等比数列，即可求和，从而用数列的单调性来求出最小值.
【详解】由二次函数最低点为可知：，
又，所以，
则.由题意得，
又由，得，
因为，所以，
即，又，
所以，则，即，
故是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.
令.，则，
故当时，，当时，，
故.
故答案为：.
【点睛】方法点睛，根据二次递推，则需要通过构造两边对数，来得到等比数列递推关系.
二、单选题（本大题共4题，满分20分）
13. 某校高一年级个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得个班的比赛得分如下：，则这组数据的分位数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将比赛得分从小到大重新排列，结合百分位数定义求其分位数.
【详解】将比赛得分从小到大重新排列：，
因为，
所以这组数据分位数是第个数93.
故选：A.
14. 已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面，，则（ ）
A. 若∥，，，则∥
B. 若，，，则
C. 若，，则∥
D 若，，∥，则∥
【答案】D
【解析】
【分析】对于A，由题意可得m，n可能平行，也可能异面，即可判断；对于B，由题意可得能有，也可能有∥，也可能平面，相交，即可判断；对于C，由题意可得有可能是∥，也可能，即可判断；对于D，根据线面平行的性质定理即可判断.
【详解】解：对于A，若∥，，，则m，n可能平行，也可能异面，故A错误；
对于B，若，，，则可能有，也可能有∥，也可能平面，相交，故B错误；
对于C，若，，则有可能是∥，也可能，故C错误，
对于D，根据线面平行的性质定理可知若，，∥，则∥，故D正确，
故选：D.
15. 已知函数．若存在，，使得，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知，或者，，即可求解.
【详解】由，
因，必有，或者，，
由，，分别得到，．
于是，，或者，，得的最大值为．
故选：D．
16. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题：
①已知点，直线，则；
②定点、，动点满足则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（ ）
A. 命题①成立，命题②不成立B. 命题①不成立，命题②成立
C. 命题①②都成立D. 命题①②都不成立
【答案】C
【解析】
【分析】对于①，设点是直线上一点，且，可得，
讨论与的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；
对于②，根据定义得，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．
【详解】对于①，设点Q是直线上一点，且，可得，
由，解得，即有，
当时，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范围是，无最值，
综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为.故①正确；
对于②，定点、，动点，
满足dP,F1-dP,F2=2a(2c>2a>0)，
则：，
显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设，.
当时，有，得：；
当时，有，此时无解；
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