黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷(解析版)
展开一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知的终边与单位圆交于点,则( )
A. B. C. D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦值的定义可得,再根据二倍角的余弦公式求解即可
【详解】由题得,所以.
故选:A
2. ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式、两角差的正弦公式求得正确选项.
【详解】
.
故选:B
3. 已知函数在处取得极值,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据极值点处导函数为零可求解.
【详解】因为,则,
由题意可知.经检验满足题意
故选:B
4. 若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由诱导公式即可求出.
【详解】,
.
故选:C.
5. 将函数的图象上各点横坐标变为原来的,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位长度,得到函数gx的图象,则函数gx的解析式为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据周期变换求解出第一步变换后的函数解析式,然后根据平移变换得到gx的解析式
【详解】解:将图象上各点横坐标变为原来的,得,再向左平移个单位长度后得,
故选:D.
6. 函数的零点的个数为( )
A. 1B. 3C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】首先判断函数的单调性,再判断函数的零点个数.
【详解】在上是增函数,且
的零点个数为.
故选:A.
【点睛】本题考查判零点个数,重点考查导数判断函数单调性,属于基础题型.函数的零点的判断方法有三种:一、直接求零点:令 ,如果能求出解,有几个解就有几个零点;二、零点存在性定理:函数在连续的区间上有定义且,则函数在上存在零点;三、先把所求的函数分解成两个简单的函数,再由两函数图象看交点个数,交点横坐标即为函数的零点.
7. 在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量,,共线,则的形状为( )
A. 等边三角形B. 钝角三角形
C. 有一个内角是的直角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】由向量,共线可得,利用正弦定理结合倍角公式分析可得,同理可得,即可判断结果.
【详解】因为向量,共线,
则,由正弦定理可得,
则,
因为,则,可知均不为0,
可得,则,即;
同理由向量,共线可得;
综上所述:.
所以的形状为等边三角形.
故选:A.
8. 已知函数及其导函数的定义域都为R,且为偶函数,为奇函数,则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知结合函数的奇偶性及周期性求值,根据复合函数导数法则求导,然后根据导函数的对称行和周期性即可求解.
【详解】为偶函数,
,
,
为奇函数,
,
,即,
,
,即函数的周期为4,
,
,
,
,
,即,
由得,
,
.
故选:.
二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分 . 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求 . 全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分 .
9. 已知函数,则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为B. 的定义域为
C. 的图象关于点对称D. 在上单调递增
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据正切函数的图象与性质,逐项判定,即可求解.
【详解】由题意,函数,可得的最小正周期为,所以A不正确;
令,解得,
即函数的定义域为,所以B正确;
令,解得,
当时,可得,所以函数的图象关于点对称,所以C正确;
由,可得,根据正切函数的性质,可得函数在上单调递增,所以D正确.
故选:BCD.
10. 如图所示是导函数的图象,则下列结论中正确的是( )
A. 在区间上单调递增
B. 是的极小值点
C. 在区间上单调递减
D. 是的极小值点
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据导数的几何意义可判断AC;根据极小值点的定义可判断BD.
【详解】由图象知,当时,
所以函数在上单调递增,故A正确;
当时,
所以函数在区间上单调递减,故C正确;
当时,当时,
所以函数在和上单调递减,在上单调递增,
所以是极小值点,
是的极大值点,故B正确,D错误.
故选:ABC
11. 下面比较大小正确的有( )
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意可构造函数,利用导数判断该函数的单调性,运用函数的单调性即可求解.
【详解】根据题意可构造函数,则,
由于函数在0,+∞上单调递增,且,
从而,当时,,则函数在上单调递增,
当时,,则函数在上单调递减,
又,,
所以,,,
即,,,,
故,选项A错;
,选项B正确;
,选项C正确;
,选项D错.
故选:BC.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分 .
12. 函数的单调递减区间是_______.
【答案】
【解析】
【分析】求得函数的导数,令导数小于0,即可求得答案.
【详解】由题意得:,
令 ,解得 ,
由于 ,故,
所以函数的单调递减区间是,
故答案为:
13. 已知中,已知,的面积,则边长的值为_____.
【答案】5
【解析】
分析】利用三角形面积公式可得,然后利用余弦定理即得.
【详解】设中三角所对边为,则,
∵,
∴,
由余弦定理可得,,
解得,即.
故答案为:5.
14. 已知实数成等比数列,且当时函数取得极大值,则___.
【答案】
【解析】
【分析】通过求导判断函数的单调性,求出函数的极大值和极大值点,再利用等比数列求出即得.
【详解】由可知其定义域为,求导得,,
由可得,当时,,即函数在上单调递增;
当时,,即函数在上单调递减.
故当时,取得极大值.
又实数成等比数列,即,代入解得,,又由解得,
故
故答案为:.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
15. 蜚英塔俗称宝塔,地处江西省南昌市,建于明朝天启元年(1621年),为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南,砖石结构,平面呈六边形,是江西省省级重点保护文物,已被列为革命传统教育基地.如图,某学生为测量蜚英塔的高度,选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A,B两点,测得米,,求蜚英塔的高度.
【答案】35米
【解析】
【分析】设由图中角的关系得到,,再由余弦定理求解即可;
【详解】设米,
在中,,则米.
在中,,则米.
因为,
所以由余弦定理得,
整理得,得.
所以蜚英塔的高度为35米.
16. 已知函数.
(1)求的最小正周期;
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用辅助角公式整理可得,进而可得最小正周期;
(2)根据(1)中函数解析式,结合正弦函数最值分析求解.
【小问1详解】
由题意可得:,
所以的最小正周期.
【小问2详解】
由(1)可知:,
令,解得,
所以当,取到最小值为.
17. 的内角的对边分别为,若, ,, 求的面积.
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理和得到关于的方程,与条件等式联立求得,代入三角形面积公式计算即得.
【详解】由余弦定理得,即,
又,联立解得,,
故面积为:.
18. 已知函数,.
(1)当时,求函数在区间上的值域;
(2)若关于的不等式在上恒成立,求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用导数可判断函数在区间上的单调性,可求出值域;
(2)将代入不等式,分离参数,得在上恒成立,令,利用导数求出在上的最大值即可得解.
【小问1详解】
当时,,
,定义域,
当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,
所以函数在时,取到最小值,,
而,,,
,
因此函数值域为.
【小问2详解】
由,得,
即在上恒成立,
设,,则,
∵,∴,,
∴当时,,
即函数在上单调递减,
∴当时,,
因此,即的取值范围是.
19. 已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)证明:当时,.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)将代入函数解析式,对函数求导,求确定斜率,求确定切点坐标,利用点斜式即可求切线方程.
(2)根据,确定函数,令,利用二次求导的方法确定的单调性,再根据,确定函数的单调区间,从而求出函数的最小值,即,由此结论得证.
【小问1详解】
当时,,则,
得,又,所以切点为,所以切线方程为,
即.
【小问2详解】
因为,所以,所以,
令,所以,
令,所以,
因为,时,,所以,
所以在上单调递增,又,
所以当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,所以,所以,
即.
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2023-2024学年黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学高二(下)期末数学试卷(含解析): 这是一份2023-2024学年黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学高二(下)期末数学试卷(含解析),共10页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。