高考数学2025 圆锥曲线 专项练习7（天津专用）

这是一份高考数学2025 圆锥曲线 专项练习7（天津专用），共15页。试卷主要包含了已知O为坐标原点，双曲线C，已知双曲线E，【答案】B等内容，欢迎下载使用。
A. B. C. D.
2.(2024河西一模）已知双曲线C：的焦距为，左、右焦点分别为、，过的直线分别交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线C的方程为( )
A. B. C. D.
3.（2024南开一模）已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别是，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为( )
A. B. C. 2D. 4
4.（2024九校联考一模）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标，则双曲线的焦距为( )
A. B. C. D.
5.（2024滨海新区三模）已知双曲线E：的左焦点为，过点的直线与两条渐近线的交点分别为M、N两点点位于点M与点N之间，且，又过点作于点O为坐标原点，且，则双曲线E的离心率( )
A. B. C. D.
6.（2024部分区二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且与抛物线的焦点重合，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.（2024耀华一模）已知第一象限内的点P在双曲线上，点P关于原点的对称点为Q，，，是C的左、右焦点，点M是的内心内切圆圆心，M在x轴上的射影为，记直线，的斜率分别为，，且，则C的离心率为( )
A. 2B. 8C. D.
8（2024河东二模）双曲线E：的左、右焦点分别为，，Q为线段上一点，P为双曲线上第一象限内一点，，与的周长之和为10a，且它们的内切圆半径相等，则双曲线的离心率为( )
A. 3B. 2C. D.
9.（2024河西三模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.（2024红桥一模）已知双曲线与抛物线的一个交点为A，F为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程为__________.
11.（2024北辰三模）过抛物线的焦点作圆：的两条切线，切点分别为，若为等边三角形，则的值为___________.
12.（2024耀华二模）设双曲线：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线C交于A，B两点，，，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
13.（2024河北二模）函数被称为“对勾函数”，它可以由双曲线旋转得到，已知直线和直线是函数的渐近线，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
14. （2024南开二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（ ）
A. B.
C. D.
15.（2024河西二模）已知双曲线C：的左、右焦点为、，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A.B.C.D.3
16.（2024红桥二模）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线与x轴交于点C，则的面积为( )
A. B. C. D.
2024天津各区高考数学模拟卷分类汇编—专题七圆锥曲线（小题）答案
1.【答案】C
【解析】【分析】根据双曲线的定义及对称性求出，，由余弦定理解三角形可得2c，即可得解.
【详解】如图，

由及双曲线、直线的对称性可知，，
则由双曲线定义可知，
所以，，
所以，
解得，
因为，所以，
所以，
由余弦定理可知，
所以，，
所以双曲线方程为：
故选：C
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查双曲线的标准方程，属于中档题.
根据可知，再根据角平分线定理及双曲线定义得是等边三角形，根据边的关系利用余弦定理即可得结果.
【解答】
解：因为，所以，
所以，
所以，
又，
所以
，
又平分，由角平分线定理可知，
，
所以，
所以，
由双曲线定义知，
，
所以，，
所以，，，
故是等边三角形，
所以，在中，
，
化简得，所以，
双曲线C的方程为
故选：

3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查双曲线的渐近线，点到直线的距离，属于中档题.
延长，交于点N，由已知PM是的平分线，且，所以得到等腰三角形，所以，且点M是中点，结合原点O是中点，由中位线结合双曲线定义得到，进而求出；最后距离之积利用点到直线距离公式计算即可.
【解答】
解：如图，延长，交于点N，
由已知PM是的平分线，且，
所以，且点M是中点，
由原点O是中点，可得
，
又，，
所以，又离心率，，
设点，所以，
即，
所以点P到两条渐近线距离之积为：
故选：
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查双曲线与抛物线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
抛物的准线为，不妨设过双曲线右顶点与渐近线平行的直线方程为，把点代入解得，且，由双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，解得a，b，c，进而可得答案．
【解答】
解：抛物的准线为，
不妨设过双曲线右顶点与渐近线平行的直线方程为，
因为过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标，
所以，且，
解得，且，
因为双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，
所以双曲线的左顶点为，
所以，代入，
解得，
所以，
所以双曲线的焦距为，
故选：
5.【答案】C
【解析】解：双曲线E：的渐近线方程为，
如图所示，设，，，
，，
由，得，解得
又点到直线的距离，，
，则，
又，
所以，即，
所以
故答案为：
设，，，由，解得，从而求出、、，由，表示出，得到，求出离心率．
本题考查了求双曲线的离心率，难点在于找出a，c的关系，关键点在于作出图象，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意可知抛物线的准线方程为，
由对称性，不妨设点在三象限，
联立，解得，
又，
，
，
双曲线的离心率．
故选：．
根据题意可知抛物线的准线方程为，由对称性，不妨设点在三象限，再联立，求出点坐标，再根据题意建立方程，即可求解．
本题考查双曲线的离心率的求解，抛物线与双曲线的几何性质，方程思想，属基础题．
7.【答案】A
【解析】解：不妨设圆M与，分别切于点A，B，
此时，，，
则
，
所以，
可得，
不妨设，，
因为P，Q两点均在双曲线上，
所以，
整理得，
则，
又，
所以，
解得
故选：
由题意，根据切线性质和双曲线定义求得，由斜率公式和点P在双曲线上整理化简，结合已知求解可得．
本题考查双曲线的性质，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：记与的周长分别为与，
设与的内切圆半径为r，
则，
根据，得，
又与的周长之和为10a，
所以
因为，
又，所以可得又，
所以
由可得，
即，化简得，
所以离心率
故选：
根据“与的周长之和”、“与的内切圆半径相等”、“”等知识列方程，化简求得双曲线的离心率．
本题考查双曲线的简单性质的应用，求解双曲线焦点三角形有关问题，可以考虑利用双曲线的定义来建立等量关系式，即求解三角形面积有关问题，如果两个三角形的高相等，则面积与三角形的底边长有关．是中档题．
9.【答案】D
【解析】解：设P在第一象限，，的坐标分别为，，
，，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，
由双曲线的定义，可得，
由椭圆的定义，可得，
解得，，
在中，由余弦定理可得，
即为，化为，
即有，即为，
则
由于，取不到等号，
则的取值范围是
故选：
由椭圆和双曲线的定义、三角形的余弦定理、离心率公式，推得，再由乘“1”法和基本不等式，计算可得所求取值范围．
本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，以及三角形的余弦定理和基本不等式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的定义，考查渐近线方程的求解，属于基础题.
由抛物线的焦半径公式求得A点坐标后，代入双曲线方程得参数m的值，然后可得渐近线方程．
【解答】
解：抛物线的准线方程为，
设，
因为，所以，
得到，所以，
又A在双曲线上，
所以，可得，
故双曲线方程为，则，
所以渐近线方程为
故答案为：
11.【答案】4
【解析】
【分析】由抛物线的性质，结合直线与圆的位置关系求解．
【详解】如图，
过抛物线的焦点F作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，又△FMN为等边三角形，
则在直角三角形MCF中，，，
又C(2,0)，，又，
则，即，则p＝4．
故答案为：4．
12.【答案】B
【解析】
【分析】由双曲线的对称性可得，且四边形为平行四边形，由数量积的定义，结合余弦定理代入计算，即可得离心率.
【详解】
由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形，
令，则，
由双曲线定义可知，故有，即，
即，，
则
，
即，，所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
一：求出，代入公式计算；
二：只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）.
13.【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得双曲线夹角为，再结合二倍角的正切公式求出，即可得解.
【详解】因为直线和直线的夹角为，
由题意可得双曲线夹角为，
而双曲线的渐近线方程为，
所以，
则，解得（负值舍去），
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：B.
14.【答案】C
【解析】
【分析】，由双曲线的定义可得，再由三角形的余弦定理，可得，，即可判断出所求双曲线的可能方程．
【详解】因为，
由双曲线的定义可知，
可得，
由于过的直线斜率为，
所以在等腰三角形中，，则，
由余弦定理得：，
化简得，可得，即，，
可得，，
所以此双曲线的标准方程可能为：.
故选：C
15.【答案】B
16.【答案】B
【解析】【分析】利用抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离作出图形，结合图形得到解出m从而确定的长度，再利用三角形面积和之间的关系求出即可.
关键点点睛：本题关键在于利用抛物线的定义建立方程，解出
【详解】
设抛物线的准线为l，
过A作于M，过B作于N点，过B作于K，
设，
因为，所以，
所以，
所以，
在中，，所以，
因为，所以，
又，所以，
又由，可得，
所以，所以，
所以，
所以
故选：