高考数学2025 平面向量 专项练习14（天津专用）

这是一份高考数学2025 平面向量 专项练习14（天津专用），共16页。试卷主要包含了考点分析，命题分析等内容，欢迎下载使用。
平面向量的线性运算一般考查基础的三角形法则，属于简单题目。对于此类题目可以转化成坐标运算平面向量数量积运算是高考数学高频考点，一般考查向量的平行垂直以及夹角问题，容易与充要条件相结合，考查比较简单，但是属于易错点。
二、考点分析
考点01 平面向量概念及线性运算
考点02 平面向量的坐标运算
考点03 平面向量的数量积及夹角问题
三、命题分析
2024年天津卷对于平面向量的考查还是放在了填空题的第14题，与往年类似，考查内容是平面向量与几何图形的综合题，运用基底法和坐标法都可以比较方便的解决。根据天津卷出题风格的转变转变，对于平面向量的复习重点应该予以扩大，不能再局限于以往的典型题。预计2025年高考中平面向量依然会以填空题的形式出现。
2024天津各区高考数学模拟卷分类汇编—专题十四平面向量
1.（2024和平一模）青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点M在正六边形的边上运动，动点在圆O上运动且关于圆心O对称请用表示__________；请写出的取值范围__________.
2.(2024河西一模）在中，D是AC边的中点，，，，则__________；设M为平面上一点，且，其中，则的最小值为__________.
3.（2024南开一模）平面四边形ABCD中，，E为BC的中点，用和表示__________；若，则的最小值为__________
4.（2024九校联考一模）在梯形ABCD中，，且，M，N分别为线段DC和AB的中点，若，，用，表示__________若，则余弦值的最小值为__________.
5.（2024滨海新区三模）在平行四边形ABCD中，，点E在边DC上，满足，则向量在向量上的投影向量为______请用表示；若，点M，N分别为线段AB，BC上的动点，满足，则的最小值为______.
6.（2024部分区二模）在中，，是的中点，延长交于点设，，则可用，表示为______，若，，则面积的最大值为______．
7.（2024耀华一模）如图，在中，，，，D是边BC上一点，且若，记，则______；若点 P满足与共线，，则的值为______.
8（2024河东二模）如图所示，正方形ABCD的边长为，正方形EFGH边长为1，则的值为______.若在线段AB上有一个动点M，则的最小值为______.
9.（2024河西三模）如图，动点C在以AB为直径的半圆O上异于A，，，，，______；的最大值为______.
10.（2024红桥一模）如图，在平行四边形ABCD中，，E为CD的中点，P为线段AE上一点，且满足，则__________；若▱ABCD的面积为，则的最小值为__________.
11.（2024北辰三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
12.（2024耀华二模）已知中，，，记，则_________；若，当最大时，___________.
13.（2024河北二模）是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
14. （2024南开二模）已知在平行四边形中，，，记，，用和表示___________；若，，则值为___________.
15.（2024河西二模）在四边形中，，，，，，E、F分别为线段、的中点，若设，，则可用，表示为____________；___________.
16.（2024红桥二模）太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.如图所示的图形是由半径为2的大圆O和两个对称的半圆弧组成的，线段MN过点O且两端点M，N分别在两个半圆上，点P是大圆上一动点，令，，若，则__________；的最小值为__________.
2024天津各区高考数学模拟卷分类汇编—专题十四平面向量答案
1.【答案】 ；
【解析】【分析】根据向量线性运算可直接得到结果；
根据向量线性运算、数量积运算性质，可将所求数量积转化为；根据正六边形性质可求得的范围，由此可得结果.
【详解】在圆O上运动且关于圆心O对称，为AB中点，；
；
当M为正六边形顶点时，取得最大值；当OM与正六边形的边垂直时，取得最小值；
六边形为正六边形，为正三角形，；
作，则F为DE中点，；
，即的取值范围为
故答案为：；
2.【答案】4 ；
【解析】【分析】
本题考查利用向量的数量积求向量的模，向量数量积的坐标运算，属于较难题.
以为基底，由，求出；建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算把表示为关于t的函数，由二次函数性质求最小值.
【解答】
解：中，D是AC边的中点，
，，
，
解得，即；
中，，，，
以A为坐标原点，AB为x轴，C点在第一象限，建立如图所示为平面直角坐标系，

则有，
设，
由，
得，
解得，，
即，
则有，，
，
则当时，有最小值
故答案为：4；
3.【答案】 ；
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的概念及其运算，用基底表示平面向量，属于中档题.
由向量的加减法运算求解第一个空，利用平面向量定理结合数量积运算律求解第二个空.
【解答】
解：因为，
故；
为等边三角形，
则
，
若，则D在以E为圆心的圆上且在直线AC的左侧部分运动，方可取到最小，
，
易知时取得最小值，
故的最小值为
故答案为：；
4.【答案】 ；
【解析】【分析】
本题主要考查了平面向量的加减、数乘运算，向量的数量积运算，基本不等式，属于中档题.
使用向量线性运算求解即可得；
以 与 为基底，用数量积的形式表示出 ，再由基本不等式求解即可．
【解答】
解：如图，由已知，
.
.
设 ，即 与 的夹角为 ，
，
若 ，则 ，
，
又 ， ，由基本不等式，
得 .
当且仅当 ，即 时，等号成立．
故答案为： ； .
5.【答案】
【解析】解：由，知，
因为，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为；
若，则，
以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则，
设，则，，
所以，，
所以，，
所以，是关于t的开口向上，对称轴为的二次函数，
当时，取得最小值
故答案为：；
由向量在向量上的投影向量为，根据向量的线性运算和数量积的运算法则，求解即可；以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设，用含t的式子表示出点M和N的坐标，再根据向量数量积的坐标运算法则，求解即可．
本题考查平面向量的运算，熟练掌握投影向量的含义与求法，向量数量积的坐标运算是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：是的中点，，
，，
；
设，则，
在上，，解得，
，，
，分别为，，所对边
，
，得当且仅当时取等，
，，
．
故答案为：；．
第一空，直接由向量的线性运算计算即可；第二空，用向量表示向量，即可求出的模，设，，分别为，，所对边，由的模表示出，的关系，利用基本不等式即可求解面积的最大值．
本题考查了平面向量的线性运算及应用，考查了转化思想及数形结合思想，属于中档题．
7.【答案】 或
【解析】解：由已知图形可知，
又，则，
；
若点P满足与共线，设，
，
由，得
，，，
代入整理得：，
解得：或
的值为或
故答案为：；或
由已知把用、线性表示，即可求得；设，再把、用、线性表示，结合数量积的运算列关于m的方程求解．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查平面向量基本定理的应用，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：由已知得正方形ABCD与正方形EFGH的中心重合，不妨设为O，
所以，，
则；
，显然，当M为AB的中点时，，
所以
故答案为：6；
易知正方形ABCD与正方形EFGH的中心重合，设为O，然后将涉及到的向量用，或来表示，则问题可解．
本题考查平面向量基本定理与数量积的计算，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为O为AB的中点，，
所以，
设，则，
作交OC的延长线于点E，
在中，由余弦定理得：，
所以，即，
因为，所以，所以，
所以
故答案为：2；
由平面向量的线性运算和模的求法计算即可求得第一空；作辅助线，借助平面向量数量积的几何意义即可求得第二空．
本题考查平面向量的线性运算与数量积的几何意义，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：因为O为AB的中点，，
所以，
设，则，
作交OC的延长线于点E，
在中，由余弦定理得：，
所以，即，
因为，所以，所以，
所以
故答案为：2；
由平面向量的线性运算和模的求法计算即可求得第一空；作辅助线，借助平面向量数量积的几何意义即可求得第二空．
本题考查平面向量的线性运算与数量积的几何意义，属于中档题．
11.【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形外心性质及数量积的几何意义，可得在方向上的投影向量为，从而求得，再根据余弦定理及基本不等式可求得最值．
【详解】由O为△ABC外心，可得在方向上的投影向量为，
则，故，
又，设，
则
，
当且仅当时等号成立，
由可知，，
故的最大值为．
故选：A．
12.【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】用基底和表示，即可求得；建立平面直角坐标系，用向量方法表示出，求解最小，即可得到最大时.
【详解】
因为，所以，
，
所以，；
因为，所以，以为坐标原点建立如图所示直角坐标系，则，，
设，则，，则，，
，当且仅当时取等号，
此时，，最小，最大，
所以当最大时，.
故答案为：，.
13.【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共线定理的推论，投影向量的概念，数形结合，即可求解．
【详解】设，（且），
则（且），
则在线段上，如图所示，

当与重合时，在上的投影向量的长度取得最大值，最大值为；
当与重合时，在上的投影向量的长度取得最小值，最大值为；
则在上的投影向量的长度的取值范围是．
故选：B.
14.【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】对于空1，由得，结合即可得解；对于空2，利用已知条件将向量和转换成向量和来表示即可得解.
【详解】因为，所以，
所以；
因为，所以，
所以，
故，即，
又，
故，即，
因为，，
所以.
故答案为：；.
15.【答案】
16.【答案】【答案】 ； 0
【解析】【分析】
本题考查向量的线性运算与数量积运算，属于中档题.
第一空结合图形由向量的线性运算可得；
第二空先由向量的线性运算得到，再当取得最大值时计算可得.
【解答】
解：由圆的对称性可得O为MN的中点，
所以
，
则；
，
因为，
所以，
所以当取得最大值2时，的最小值为
故答案为：；