高考数学2025 数列 专项练习19（天津专用）

这是一份高考数学2025 数列 专项练习19（天津专用），共36页。试卷主要包含了在正项等比数列中，，已知递增数列的前n项和为，且，，【答案】解等内容，欢迎下载使用。
已知数列为M数列，当时.
ⅰ求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式；
ⅱ，求
若是M数列，且，证明：存在正整数使得
2.(2024河西一模）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且满足，数列为等比数列，且满足，
求数列和的通项公式；
求证：；
求的值．
3.（2024南开一模）在正项等比数列中，
求的通项公式：
已知函数，数列满足：
求证：数列为等差数列，并求的通项公式
设，证明：，
4.（2024九校联考一模）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，
求的通项公式；
证明：当时，
5.（2024滨海新区三模）已知等差数列的前n项和为，，，数列是公比大于1的等比数列，且，
Ⅰ求，的通项公式；
Ⅱ数列，的所有项按照“当n为奇数时，放在的前面；当n为偶数时，放在的前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列：，，，，，，，⋯，求数列的前7项和及前项和；
Ⅲ是否存在数列，满足等式成立，若存在，求出数列的通项公式，若不存在，请说明理由.
6.（2024部分区二模）已知是等差数列，，，数列的前项和为，且，
Ⅰ求和的通项公式；
Ⅱ求；
Ⅲ设数列满足，证明：．
7.（2024耀华一模）有n个首项为1的等差数列，设第m个数列的k项为…，n，，公差为，并且，，，…，成等差数列.
当时，求，，以及；
证明是m的多项式，并求的值；
当，时，将数列分组如下：，，，…每组数的个数构成等差数列，设前m组中所有数之和为，，求数列的前n项和
8（2024河东二模）已知数列是公差不为零的等差数列，满足，，正项数列的前n项和为，且
求数列和的通项公式；
在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；…；在和之间插入n个数，，⋯，，使，，，⋯，，成等差数列.
ⅰ求；
ⅱ求的值.
9.（2024河西三模）已知递增数列的前n项和为，且，
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设，
求数列的通项公式；
求
10.（2024红桥一模）已知为数列的前n项和，且满足，其中，且
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设，若对任意的，都有，求实数m的取值范围.
11.（2024北辰三模）已知为等差数列，前项和为，若，；数列满足：，.
（1）求和的通项公式；
（2）对任意的，将中落入区间内项的个数记为.
（i）求；
（ii）记，的前项和记为，是否存在，，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
12.（2024耀华二模）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前项和，，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，，求数列的前项和；
（3）设，求的前项和；
13.（2024河北二模）已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）记，求证：.
14. （2024南开二模）已知是等差数列，公差，，且是与的等比中项.
（1）求的通项公式
（2）数列满足，且.
（ⅰ）求的前n项和.
（ⅱ）是否存在正整数m，n（），使得，，成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.
15.（2024河西二模）已知数列的首项，且满足，的前项和为.
（I）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）在数列中，，，求数列的通项公式及.
16.（2024红桥二模）已知是等差数列，是公比为正数的等比数列，且，，，
求数列的通项公式；
设，
ⅰ求；
ⅱ求
2024天津各区高考数学模拟卷分类汇编—专题十九数列答案
1.【答案】解：
ⅰ由，可得，
所以数列是首项为公差为1的等差数列，
所以，
又因为，所以
ⅱ，
设，，
，，
所以，
若是M数列，有，
故，且，
即
，
则
，
由随n的增大而增大，
若，可得，
因为，故对任意的，总存在正整数n使，
即总存在正整数n，使得

【解析】ⅰ根据等差数列定义即可证明并写出通项公式ⅱ分组求和得出，利用裂项相消法求解即可；
求出，利用放缩法可得，相加相消即可，据此即可得证.
关键点点睛：本题解题中，对求和要求较高，裂项相消法求和是解决问题的关键，其次利用放缩法适当放缩，继续利用裂项相消法是证明的关键.
2.【答案】解：由，得①，
则②，
②-①得，
整理得，
由，得，
又时，，
解得，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
则，
即数列的通项公式为；
设等比数列 的公比为q，
由，
得，，
则，
，
解得，则，
即数列的通项公式为；
证明：由，
得，
则
，
所以；
设，
，
，
设，，
则，
，
两式相减，得
，
则有，
所以，
所以
3.【答案】解：因为正项等比数列中，，所以 ，
又因为，所以，进而公比，所以， ；
因为，
所以，所以，
所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，
所以，即 ；
，
当时，左式，右式，左式=右式，
当时，
，
下面先证明，
，
令，，
，
，，又，
，即，又，
所以，
，
所以
，
即 ，
综上：当时，

【解析】本题考查数列与不等式，等差数列的判定或证明，等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，属于较难题.
根据等比数列基本量运算求得，求得结果；
由代入函数解析式运算得，得解；
当时，易判断结论成立，当时，先证明，借此将裂项，放缩证明，再根据裂项相消法求和得证.
4.【答案】解：设数列的公差为d，
由题意知：，即，解得
由知，
，，
当n为偶数时，
当n为奇数时，，
当n为偶数且时，即时，
，
当n为奇数且时，即时，
当时，

【解析】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式等.
由已知，，根据等差数列的前n项和公式展开，即可得出等差数列的首项，公差，进而得出通项公式
由知，可得，数列的通项公式，进而，分两情况讨论，当n为偶数时，中含有偶数项，相邻两项两两一组先求和，得出当n为奇数时，为偶数，此时最后只需证明即可.
5.【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为d，，，
可知，所以，
又，所以数列的公差，
所以，
设等比数列的公比为q，因为，，
所以，，
解得，联立得，
解得或舍去，代入中，解得，
故数列的通项公式为；
Ⅱ由题意，
…
……
；
Ⅲ假设存在数列，满足等式，
则由可得，
①，
当时，…②，
①②两式相减得：，
当时，也符合③，
所以，对于都成立，
又当时④成立，
则③④两式相减得：，经检验也符合，
故存在
【解析】Ⅰ利用等差数列，等比数列的性质即可求解；
Ⅱ由题意结合Ⅰ，利用分组求和分可求得即可得解；
Ⅲ由结合Ⅰ可得①，当时，…②，两式相减得即可求解．
本题考查了数列的通项和求和的综合应用，属于难题．
6.【答案】解：Ⅰ设的公差为，由题意，，
，，
所以，
当时，，
所以，所以，
当时，，，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
证明：Ⅱ


；
Ⅲ，
所以，
设，
则

，
所以，
因为，所以，
所以．
【解析】由已知结合等差数列的通项公式可求，结合和与项的递推关系可求；
Ⅱ由已知利用分组求和，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解；
Ⅲ结合不等式性质可得，，然后利用不等式放缩及错位相减求和即可证明．
本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式，求和公式的应用，还考查了错位相减求和方法的应用，属于难题．
7.【答案】解：当时，由题意可知
，，
由题意知，：Ⅰ由题意知
则，
同理，，，…，
又因为，，，成等差数列，所以…
故…，即是公差为的等差数列．
所以，
令，，则，此时
当，时，
数列分组如下：，，，
按分组规律，第m组中有个奇数，
所以第1组到第m组共有…个奇数．
注意到前k个奇数的和为…，
所以前个奇数的和为
即前m组中所有数之和为，所以
因为，所以，从而
所以…①
…②
②-①得：…

【解析】当时，由题意可知，，代入等差数列的通项公式可求
先根据首项和公差写出数列的通项公式，利用通项公式表示出数列，，，…，中的第1项减第2项，第3项减第4项，…，第n项减第项，由此数列也为等差数列得到表示出的差都相等，进而得到是首项，公差为的等差数列，根据等差数列的通项公式表示出的通项，令，求出即可；
由，，代入可确定出的通项，根据题意的分组规律，得到第m组中有个奇数，所以第1组到第m组共有从1加到个奇数，利用等差数列的前n项和公式表示出和，从而表示出前个奇数的和，又前m组中所有数之和为，即可得到，从而可确定出数列的通项公式，利用错位相减可求和
本题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，会利用错位相减的方法求数列的通项公式，考查了利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道难题．
8.【答案】解：设数列的公差为d，
由题意知，，因为，
所以，解得，
所以；
因为数列的前n项和为，且满足，
所以当时，，
当时，，
验证，当时，，满足上式，
故；
ⅰ在和之间插入n个数，，⋯，，使，，，⋯，，成等差数列，
设公差为，则，
所以；
ⅱ设，
则，
设，
所以，
…，
两式相减得，，
所以
【解析】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，错位相减法求和，属于较难题．
根据等差数列基本量的运算求得公差d，再由等差数列的通项公式可得；利用求，即可，注意检验的情形；
ⅰ设等差数列，，，⋯，，的公差为，结合与等差数列的通项公式，可得；
ⅱ利用等差数列的前n项和公式求得，再采用错位相减法，求解即可．
9.【答案】解：Ⅰ由，，可得，解得，
时，由且，，可得，
两式相减可得，
化为，
由数列递增，可得，即数列是首项和公差均为2的等差数列，
则；
Ⅱ由，
可得
；
，
则
【解析】Ⅰ由数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，可得所求；
Ⅱ推得，再由二项式系数的性质，可得所求；
运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式和组合数的性质、数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
10.【答案】解：Ⅰ由，
当时，
，
所以；
当时，
，
所以，
所以数列是以2为公比的等比数列，所以，
当时，也符合，
故数列的通项公式为；
Ⅱ由Ⅰ得，
，
则，
故
，
，
而随n的增大而减小，
所以，
随n的增大而增大，
所以，
因为对任意的，都有，
所以，即实数m的取值范围为
【解析】本题考查数列通项公式的求法以及数列的前n项和，数列的增减性，考查运算求解能力，属于中档题．
Ⅰ根据与的关系求解即可；
Ⅱ易得，再分别求得，利用数列的增减性即可得解．
11.【答案】（1），
（2）（i）（ii）存在
【解析】
【分析】（1）的通项通过基本量法求解，的通项通过令，两式作商求解.
（2）（i）求出即可得出答案；
（ii）根据题意求出和的关系，在利用取值范围求出和.
【小问1详解】
，
所以，
①
当时，令得：②
①②得：，所以是公差为的等差数列，
当时有：，所以
小问2详解】
（i）
因为，所以，所以
（ii），把代入得：，
所以，，
所以
因为，，所以，
当时，（舍去），当时，（舍去），
当时，，所以存在，.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列等差数列的基本量计算，数列与不等式的综合应用.解题的关键是设出公差，列式求解求得，进而通过得求出，此外，对于探究性问题，一般解法是先假设存在，再根据已知条件推出结论或矛盾，本题在解答过程中核心是借助化简整理得.考查数学运算求解能力，逻辑推理能力.
12.【答案】（1）；；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）由等差数列定义和等比数列通项公式可构造方程求得公比，进而得到，由等比数列通项公式可求得；利用可得到，利用累乘法可求得；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法可求得结果；
（3）由（1）可得，进而整理得到，将相邻两项看作一组，采用分组求和的方式，分别根据等差数列求和公式和错位相减法求得两个部分的和，由此可得.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
，，成等差数列，，即，
，，解得：或（舍）；
，，即，解得：，；
当时，，整理可得：，
；
经检验，当时，满足，
综上所述：.
（2）由（1）得：，
；
（3）由（1）得：，
，
令，则其前项和；
令，
则其前项和，
，
，，
.
【点睛】方法点睛：本题考查数列通项和求和相关问题的求解，涉及到求和方法中的分组求和、裂项相消法和错位相减法的应用，其中错位相减法的基本步骤如下：
①列出的形式；
②左右两侧同乘通项中的等比部分的公比，得到；
③上下两式作差得到，结合等比数列求和公式可整理等式右侧的部分；
④整理所得式子求得.
13.【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由求出，利用又是和的等比中项、求出；
（2）利用错位相减法求出；
（3）利用放缩法求和可得答案.
【小问1详解】
由题意，
，
又是和的等比中项，得，
又，解得，
；
【小问2详解】
，
设，
则，
将以上两式相减得
，
；
【小问3详解】
，
，
.
结论得证.
14.【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，，．
【解析】
【分析】（1）由等差中项得到，由等比中项得到，解出，求得的通项公式；
（2）（ⅰ）根据，由累加法得到数列的通项公式进而得到数列的通项公式，裂项相消法求和；
（ⅱ）假设存在，分别表示出，，，由等差中项得到，得到或，解得，符合题意.
【小问1详解】
因为为等差数列，且，所以．
又是与的等比中项，所以，即．
化简得，解得或（舍），
所以．
【小问2详解】
（i）由，得，所以（），又，
当时，
，
又也适合上式，所以，
则，
所以．
（ⅱ）假设存在正整数m，n，使得，，成等差数列，
则，即，整理得，
显然是25的正约数，又，则或，
当，即时，与矛盾；
当，即时，，符合题意，
所以存在正整数使得，，成等差数列，此时，．
【点睛】方法点睛：裂项相消法求和常见的裂项方法
（1），特别地当时，；
（2），特别地当时，；
（3）
（4）
（5）
15.【答案】（I）证明：∵，∴，
即，又，
∴数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴，.
（Ⅱ）解：，
∴，
由，得，
∴恒成立，
，当时等号成立，
所以实数的取值范围是.
（III）解：由，，
∴，
数列的奇数项是以2为首项，4为公比的等比数列，偶数项为以2为首项，4为公比的等比数列，
∴
设，
，
两式相减，得，
∴，
所以.
16.【答案】【答案】解：设的首项为，公差为d，的公比为q，
因为，，
所以，
解得或舍，
所以，即，
所以，
又，，
即，
解得，
所以，即；
ⅰ因为，
则，
则
；
ⅱ因为
，
所以

【解析】本题考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，裂项相消法求和，分组法求和，属于较难题.
利用递推公式，等差数列，等比数列的性质解方程即可求出、d、q，再由基本量法写出通项即可；
ⅰ先化简可得由累乘法求出即可；
ⅱ先裂项化简可得，再用分组求和即可.