高考数学2025 空间向量与立体几何 专项练习17（天津专用）

这是一份高考数学2025 空间向量与立体几何 专项练习17（天津专用），共39页。试卷主要包含了如图，平面，，，，，为的中点．，【答案】证明等内容，欢迎下载使用。

求证：平面EFD；
求平面EFD与平面ABCD的夹角的余弦值；
若直线MF与平面ABCD所成的角的正弦值为，求此时MC的长度.
2.(2024河西一模）已知三棱锥中，平面ABC，，，N为AB上一点且满足，M，S分别为PB，BC的中点．

求证：；
求直线SN与平面CMN所成角的大小；
求点P到平面CMN的距离．
3.（2024南开一模）如图，在四棱锥中，平面PAD，，点E是棱PC上靠近P端的三等分点，点F是棱PA上一点.

证明：平面BDE
求点F到平面BDE的距离；
求平面BDE与平面PBC夹角的余弦值.
4.（2024九校联考一模）如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M为BC的中点.
证明：；
求平面PAM与平面ABCD的夹角的大小；
求点D到平面AMP的距离.
5.（2024滨海新区三模）如图在三棱台中，，，，若平面ABC，点D是棱的中点.
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ求平面BCD与平面ABD的夹角的余弦值；
Ⅲ求点到平面ABD的距离.
6.（2024部分区二模）如图，平面，，，，，为的中点．
Ⅰ证明：；
Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值；
Ⅲ设是棱上的点，若与所成角的余弦值为，求的长．
7.（2024耀华一模）已知如图，四边形PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面平面ABCD，，，
若M为PA中点，求证：平面MDE；
求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
在线段PC上是否存在一点除去端点，使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
8（2024河东二模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，，E为棱BC上的点，且
求证：平面PAC；
求平面PAC与平面PCD夹角的余弦值；
设Q为棱CP上的点，且，求直线QE与平面PAC所成角的正弦值.
9.（2024河西三模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，，点M在PD上．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求异面直线PB与DC所成角的余弦值；
Ⅲ若二面角的平面角的大小为，求直线BM与平面PAC所成角的正弦值．
10.（2024红桥一模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，底面ABCD，PB与平面ABCD所成角为，E，F分别是PC，AD中点.
求证：平面PFB；
求平面PFB与平面EDB夹角的正弦值.
11.（2024北辰三模）如图，在四棱锥中，平面，，∥，，，为棱的中点.
（1）证明：∥平面；
（2）求平面和平面夹角的余弦值；
（3）求A点到直线的距离.
12.（2024耀华二模） 如图，在多面体中，，，，平面，，，.
（1）求证：直线平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
13.（2024河北二模）如图，四棱锥中，侧棱平面，点是的中点，底面是直角梯形，.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线和所成角的余弦值；
（3）点在线段上，平面和平面的夹角为，求的值.
14. （2024南开二模）在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，O为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角.
（1）求证：；
（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值；
（3）求平面POB与平面PAB夹角的余弦值.
15.（2024河西二模）如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，.
（I）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求平面与平面所成角的余弦值.
16.（2024红桥二模）在如图所示的几何体中，平面ABCD，，四边形ABCD为平行四边形，，，，
求证：直线平面DCQ；
求直线PB与平面PCQ所成角的正弦值；
求平面PCQ与平面DCQ夹角的正弦值．
2024天津各区高考数学模拟卷分类汇编—专题十七立体几何答案
1.【答案】解：
因为四棱锥的底面ABCD是正方形，平面ABCD，
所以以点D为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，

则，
所以，
设平面EFD的法向量为，
则，令，则，
又因为，则，即，
由平面EFD，所以平面EFD
设平面EFD与平面ABCD的夹角为，
平面EFD的法向量，平面ABCD的法向量，
所以，，
则平面EFD与平面ABCD的夹角的余弦值为
设MC长度为，，
设直线MF与平面ABCD所成角为，
因为，
，
解得，此时MC的长度为

【解析】建立空间直角坐标系，利用向量证明即可；
求平面的法向量，利用向量法求夹角余弦即可；
利用线面角的向量公式求解即可.
2.【答案】解：
因为平面ABC，，
如图以A为原点，所在直线分别为x轴､y轴､z轴，建立空间直角坐标系，
则，

所以，
因为，
所以
设平面CMN的法向量，，
则，即，取，得，
设直线SN与平面CMN所成角为，
则，又，
所以，所以直线SN与平面CMN所成角的大小为
设点P到平面CMN的距离为d，因为，
所以，所以点P到平面CMN的距离为

【解析】以A为原点建立空间直角坐标系，计算出，即可证明；
求出平面CMN的法向量，利用向量法求出线面角的正弦值，即可求出夹角；
由计算出点到面的距离.
3.【答案】解：因为平面PAD，所以
因为，所以
所以PD，CD，AD两两垂直.
故以点D为坐标原点， 所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

，，，
设平面BDE的一个法向量为，
则，即，令，得，，则
又，可得，
因为平面BDE，所以平面
因为平面BDE，
所以点F到平面BDE的距离等于点A到平面BDE的距离.
则点A到平面BDE的距离为
设平面PBC的一个法向量为，
则，即，令，，，则
设平面BDE与平面PBC的夹角为，
则
故平面BDE与平面PBC的夹角的余弦值为

【解析】本题考查利用向量法证明线面平行，求点到平面的距离，面与面所成的角，属于中档题.
建立空间直角坐标系，求出平面BDE的一个法向量，证明即可；
利用向量法求点到面的距离；
利用向量法求面面角.
4.【答案】解：证明：等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，
以D点为原点，分别以直线DA，DC为x轴、y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意，可得，，，，
，，
，
即，；
解：设为平面PAM的法向量，
则，即，
取，得，
取，显然为平面ABCD的一个法向量，
⟨⟩，
结合图形可知，二面角的大小为；
解：设点D到平面AMP的距离为d，
由可知与平面PAM垂直，
则，
即点D到平面AMP的距离为

【解析】本题主要考查面面垂直的性质，以及利用空间向量证明线线垂直，利用空间向量求二面角、点到平面的距离，同时考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题.
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用能证明；
求出平面ABCD的法向量和平面APM的法向量，利用向量法能求出平面PAM与平面ABCD夹角的大小；
利用向量法的距离公式，能求出点D到平面AMP的距离．
5.【答案】解：证明：在三棱台中，平面ABC，，显然直线AB，AC，两两垂直，
以点A为原点，直线AB，AC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由题意可得，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，
所以平面；
Ⅱ由Ⅰ知，，，
设平面BCD的一个法向量为，
则，
取，
由知，，
设平面ABD的一个法向量为，
则，
取，
设平面BCD与平面ABD的夹角为，
则；
Ⅲ由知，
由Ⅱ知平面ABD的法向量为，
所以点到平面ABD的距离为
【解析】Ⅰ以点A为原点，直线AB，AC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，即可得证；
Ⅱ分别求出平面BCD和ABD的一个法向量，利用向量夹角公式即可求解；
Ⅲ利用点到平面距离的向量公式即可求解．
本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．
6.【答案】解：平面，，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
由已知可得，，，，，
Ⅰ证明：因为为的中点，所以，
，，，
，
．
Ⅱ，，
设平面的法向量，
则，即，
令得，
，
平面的法向量，
设平面与平面夹角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为．
Ⅲ设且，，
，
则，，，
，
，，
所以，
即，
两边平方，整理得：即，
解得或舍，
，
．
【解析】Ⅰ建立空间直角坐标系，得出，，利用，即可得证；
Ⅱ分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解；
Ⅲ设，根据，，得出，再利用向量夹角公式即可求解；
本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．
7.【答案】解：证明：如图，连接MN，
四边形PDCE为矩形，PC与DE交于点N，
为PC的中点，
又因为M为PA的中点，，
而平面MDE，平面MDE，
平面MDE；
如下图，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
根据题意，则有，，，，
所以，，，
假设平面PBC的一个法向量为，
则，取，得，
设直线PA与平面PBC所成角的平面角为，
则
直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
假设存在点，满足题意，
设此时，则，
即，解得，
则，，
假设平面DAQ的一个法向量为，
则，取，得，
又平面PBC的一个法向量为，
平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为，
根据题意，则有，
解得，
在线段PC上存在一点除去端点，使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为，
【解析】连接MN，根据直线与平面平行的判定定理进行证明；
使用空间向量求解线面角的正弦值；
使用空间向量法利用已知条件，求解得出满足条件的点Q的坐标即可求解．
本题考查空间几何证明，重点考查空间向量在空间角的求解中的使用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】证明：设AC与DE相交于点O，
在直角梯形ABCD中，因为，所以∽，
又，，
所以，，，
所以，，
所以，即，
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
又，AC、平面PAC，
所以平面
解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面PAC的法向量为，则，
取，则，，所以，
设平面PCD的法向量为，则，
取，则，，所以，
设平面PAC与平面PCD夹角为，
则，，
故平面PAC与平面PCD夹角的余弦值为
解：因为，所以，
所以，
设直线QE与平面PAC所成角为，
则，，
故直线QE与平面PAC所成角的正弦值为
【解析】设AC与DE相交于点O，结合三角形相似的性质与勾股定理可证，再由平面ABCD，得，然后利用线面垂直的判定定理，即可得证；
以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角，即可得解；
根据，求得的坐标，再利用向量法求线面角，即可得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，利用向量法求平面与平面的夹角、线面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】Ⅰ证明：设E为BC的中点，连接如图，则，，
四边形AECD为平行四边形，
，，，
平面ABCD，平面ABCD，
，平面PAC，
Ⅱ解：设，连接如图，由Ⅰ得，
，即MK是的中位线，，
就是异面直线PB与DC所成角．
平面ABCD，，，面
在中，，，
异面直线PB与DC所成角的余弦值为
Ⅲ解：设，连接如图，过点M作，过点N作于G，连接MG，则，
由平面ABCD，可得平面ABCD，
，
，，
平面MNG，
，
是二面角的平面角，即
设，则，，
可得M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，
由Ⅰ平面PAC，是BM与平面PAC所成的角
在中，，，，
，
与互余，
与平面PAC所成的角的正弦值为

【解析】Ⅰ设E为BC的中点，连接AE，证明，只需证明平面PAC，只需证明，
Ⅱ设，连接KM，可得就是异面直线PB与DC所成角．
在中，，，即可得异面直线PB与DC所成角的余弦值为
Ⅲ设，连接OP，过点M作，过点N作于G，连接MG，证明是二面角的平面角，即，M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，证明是BM与平面PAC所成的角，即可求BM与平面PAC所成的角的正弦值
本题考查线面垂直，线线垂直，考查面面角，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出线面角是关键．
10.【答案】解：证明：在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，底面ABCD，
PB与平面ABCD所成角为，
所以，，
，
以D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，，
，，
设平面PFB的法向量为，
则，取，得，
，平面PFB，
平面PFB；
平面PFB的法向量为，
，
设平面EDB的法向量为，
则，取，得，
设平面PFB与平面EDB夹角为，
则，
平面PFB与平面EDB夹角的正弦值为
【解析】本题考查线面平行的向量表示，平面与平面所成角的向量求法，直线与平面所成的角，属于中档题.
以D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角系，利用向量法能证明平面PFB；
求出平面PFB的法向量和平面EDB的法向量，利用向量法能求出平面PFB与平面EDB夹角的正弦值．
11.【答案】（1）证明见详解
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取中点，可得四边形为平行四边形，从而，利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）建系标点，求出平面BDM的法向量，易知为平面PDM的一个法向量，利用向量夹角公式求解可得答案.
（3）利用空间向量求得，即可得，进而可得结果.
【小问1详解】
取中点，连接，．
在中，，分别为，的中点，则，，
因为∥，，则，，
可知四边形为平行四边形，则，
且平面，平面，所以∥平面PAD．
【小问2详解】
因为平面，，平面ABCD，
则，，且，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
取CD的中点，连接BE，
因为∥，，则，，
又因为，所以四边形ABED为矩形，
且，可知四边形ABED是以边长为2的正方形，
则，，，，，，
可得，，，
设平面BDM的法向量为，所以，
令，则，．所以平面BDM的一个法向量为，
易知为平面PDM的一个法向量，
所以，
所以平面和平面夹角的余弦值为.
【小问3详解】
由（2）可知：，
则，
即，可知为锐角，
则，
所以A点到直线的距离为.
12.【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据，即可得证
（2）分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解值；
（3）设点到平面的距离为，利用点到平面的向量公式即可求解.
【小问1详解】
因为，平面，平面，
所以，
所以，，两两垂直，
则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示
的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量，则，令，
得，
所以，则，
又因为平面
所以直线平面.
【小问2详解】
由，得，，
设平面的法向量为，则，令
得，
所以
则平面与平面夹角的余弦值为
【小问3详解】
由于，平面的法向量，
设点到平面的距离为，
则，
所以点到平面的距离为
13.【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求证，
（2）利用向量的夹角公式即可求解，
（3）求两个平面的法向量，即可利用法向量的夹角求解.
【小问1详解】
证明：平面，以为原点，分别以、、的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
，点是的中点，
,，
则
平面，平面的一个法向量为.
，
平面， 平面 ；
【小问2详解】

设异面直线和所成的角为，

异面直线和所成角的余弦值为.
【小问3详解】
，
设，则，

设平面的法向量为，则有
不妨令，得，.
设平面的法向量为，则有
不妨令，得，
，
平面和平面的夹角为，
，
，
，

14.【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）证明出，平面ABCD，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系；
（2）求出平面的法向量，利用线面角求解公式得到答案；
（3）求出两平面法向量，求出面面角的余弦值.
【小问1详解】
因为，O为CD的中点，
所以．
又因为平面平面ABCD，平面平面，平面PCD，
所以平面ABCD．
因为，，，所以．
取的中点，连接，则⊥，
以点O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，．
，，
因为，
所以．
【小问2详解】
设平面PAB的一个法向量为，
则，即，
解得，令，则，则．
设直线PC与平面PAB所成的角为，
又，
则，
所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为．
【小问3详解】
设平面POB的一个法向量为，
则，即，
解得，令，则，故．
设平面POB与平面PAB的夹角为，
则．
故平面POB与平面PAB的夹角的余弦值为．
15.【答案】（I）证明：如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得，，，，，，，，，
设平面的一个法向量，，，
由，即，
令，，，所以，，
因为，所以，
因为平面，所以平面.
（Ⅱ）解：，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（Ⅲ）解：设平面的一个法向量，，，
由，即，
令，，，所以，
由，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
16.【答案】解：因为平面ABCD，而AB，平面ABCD，
故，，
而，故，
故建立如图所示空间直角坐标系，
因为四边形ABCD为平行四边形，，，，，
则，，，
解得负值已舍去，
则，，，，，
所以，，，
设平面DCQ的法向量为，则，取，
所以，即，
又平面DCQ，所以平面
因为，，
设平面PCQ的法向量为，
则，取，
所以，
所以直线PB与平面PCQ所成角的正弦值为
设平面PCQ与平面DCQ夹角为，
则，
所以，
所以平面PCQ与平面DCQ夹角的正弦值为

【解析】本题考查线面平行的向量表示，直线与平面所成角的向量求法，平面与平面所成角的向量求法，属于中档题.
建立空间直角坐标系，求出平面DCQ的法向量，由即可证明；
求出平面PCQ的法向量，再求出，即可得解；
设平面PCQ与平面DCQ夹角为，由求出，从而求出