南宁市2025届普通高中毕业班摸底测试数学试卷及参考答案

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（全卷满分150分，考试用时120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题，，，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．p和都是真命题
C．和q都是真命题 D．和都是真命题
3．已知向量，满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（ ）
A．成绩在上的人数最多B．成绩不低于70分的学生所占比例为70%
C．50名学生成绩的平均分小于中位数D．50名学生成绩的极差为50
5．已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知正三棱台的侧面积为6，，，则与平面ABC所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．设函数，，当时，曲线与曲线的图象依次交于A，B，C不同的三点，且，则a=（ ）
A．2B．-2C．1D．-1
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．与的图象有相同的对称轴B．与的值域相同
C．与有相同的零点D．与的最小正周期相同
10．已知F为抛物线的焦点，C的准线为l，直线与C交于A，B两点（A在第一象限内），与l交于点D，则（ ）
A．
B．
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．l上存在点E，使得为等边三角形
11．设函数，则（ ）
A．当时，是的极小值点
B．恒有两个单调性相同的区间
C．当有三个零点时，可取得的整数有2个
D．点为曲线的对称中心
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知数列满足，，，且，则________．
13．已知，，则________．
14．在如图方格中，用4种不同颜色做涂色游戏，要求相邻区域颜色不同，每个区域只能涂一种颜色．
①若区域A，B，C，D涂2种颜色，区域E，F，G，H涂另外2种颜色，则有________种不同涂法．
②若区域A，B，C，D涂4种颜色（A、B、C、D涂的颜色互不相同），区域E，F，G，H也涂这4种颜色（E，F，G，H涂的颜色互不相同），则有________种不同涂法。
四、解答题：本大题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，且，求的面积．
16．（本小题满分15分）已知函数，曲线在处的切线为直线l．
（1）求直线l的方程；
（2）求函数在闭区间上的最值．
17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，，，，，平面PBD⊥平面ABCD．
（1）证明：AD⊥平面PBD；
（2）若，四棱锥的体积为2，求二面角的正弦值．
18．（本小题满分17分）我省某市为吸引游客，推出免费门票项目．该市设置自然风光类、历史文化类、特色体验类三个免费票抽奖机，自然风光类抽中的概率为，历史文化类、特色体验类抽中的概率均为，这三类抽奖之间互不影响．规定凡在该市的景区游玩的游客，每位游客可在每个抽奖机中至多抽奖一次，每次抽奖至多抽中一个免费票景点．
（1）若甲游客在三个抽奖机中各抽奖一次，设X表示甲获得免费票景点个数，求X的分布列和数学期望；
（2）乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖，已知乙抽中（至少抽中一个），求乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率．
19．（本小题满分17分）已知椭圆经过点，，为C的左、右顶点，M，N为C上不同于，的两动点，若直线的斜率与直线的斜率的比值恒为常数，按下面方法构造数列：C的短半轴长为时，直线MN与x轴交于点．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）证明：数列是等比数列；
（3）设顶点到直线MN的最大距离为d，证明．