人教版八年级数学上册第十一章三角形11-2-1第二课时直角三角形的两个锐角互余课件

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第十一章　三角形第2课时　直角三角形的两个锐角互余知识点2　直角三角形的性质与判定基础过关全练1.(2024广西南宁期中)如图,已知AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,∠A=56°,则∠DCB的度数是 (　    )A.30°　　　    B.45°　　　    C.56°　　　    D.60°C解析    ∵AC⊥BC,CD⊥AB,∴∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°,∵∠A=56°,∴∠ACD=90°-56°=34°,∴∠DCB=90°-34°=56°.故选C.2.(教材变式·P14T2)如图,点E是△ABC中AC边上的一点,过E作ED⊥AB,垂足为D,若∠1=∠2,则△ABC是 (　    ) A.直角三角形　　　    B.锐角三角形C.钝角三角形　　　    D.无法确定A解析    ∵ED⊥AB,∴∠1+∠A=90°,∵∠1=∠2,∴∠2+∠A=90°,∴∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形.故选A.3.如图,BD平分∠ABC,∠ADB=60°,∠BDC=80°,∠C=70°,则△ABD是　　　　    三角形. 直角解析　在△DBC中,∠BDC=80°,∠C=70°,∴∠DBC=180°-80°-70°=30°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=30°,∵∠ADB=60°,∴∠A=180°-30°-60°=90°,∴△ABD是直角三角形.4.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线,它们相交于点O,若∠AOB=125°,则∠CAD的度数是　　　　    . 20°解析　在△AOB中,∵∠AOB=125°,∴∠OAB+∠OBA=55°,∵AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线,∴∠BAC+∠ABC=2(∠OAB+∠OBA)=110°,∴∠C=180°-110°=70°,∵AD是BC边上的高,∴∠ADC=90°,∴∠CAD=90°-70°=20°.能力提升全练5.(2021贵州毕节中考,5,★☆☆)将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上,则∠1的度数为 (　    )A.70°　　　    B.75°　　　    C.80°　　　    D.85°B解析　如图所示,∵∠2=90°-30°=60°,∠3=90°-45°=45°,∴∠4=180°-45°-60°=75°,∵a∥b,∴∠1=∠4=75°.故选B.6.(2024福建漳州一模,6,★★☆)在下列条件中:①∠A+∠B=∠C;②∠A∶∠B∶∠C=1∶5∶6;③∠A=90°-∠B;④∠A=∠B=∠C.能确定△ABC是直角三角形的条件有 (　    )A.1个　　　    B.2个　　　    C.3个　　　    D.4个C解析　①∵∠A+∠B=∠C,∴2∠C=180°,∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形;②∵∠A∶∠B∶∠C=1∶5∶6,∴设∠A=x,则∠B=5x,∠C=6x,∴x+5x+6x=180°,∴x=15°,∴∠C=15°×6=90°,∴△ABC是直角三角形;③∵∠A=90°-∠B,∴∠A+∠B=90°,∴△ABC是直角三角形;④∵∠A=∠B=∠C,∴∠A=∠B=∠C=60°,∴△ABC不是直角三角形.综上所述,能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③,共3个.故选C.7.(2024河北廊坊期末,14,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB边上,将△CBD沿CD折叠, 使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A=25°,则∠CDE=　    　　    . 70°解析　∵将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处,∠ACB=90°,∴∠BCD=∠ECD=45°,∠B=∠CED,∵∠A=25°,∴∠B=90°-25°=65°,∴∠CED=65°,∴∠CDE=180°-45°-65°=70°.素养探究全练8.(推理能力)(教材变式·P16T5)已知,如图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称为“8字形”.试解答下列问题:(1)在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系:　　　    .(2)仔细观察,在图2中,“8字形”的个数为　　　　    .(3)在图2中,若∠D=40°,∠B=36°,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于点M、N,利用(1)的结论,试求∠P的度数.(4)当图2中∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系?(直接写出结论即可) 图1     图2解析    (1)∠A+∠D=∠B+∠C.详解:在△AOD中,∠AOD=180°-(∠A+∠D),在△BOC中,∠BOC=180°-(∠B+∠C),∵∠AOD=∠BOC,∴180°-(∠A+∠D)=180°-(∠B+∠C),∴∠A+∠D=∠B+∠C.(2)6.详解:交点有点M、O、N,以M为交点有1个,△AMD与△CMP;以O为交点有4个,△AOD与△COB,△AOM与△CON,△AOM与△COB,△AOD与△CON;以N为交点有1个,△ANP与△CNB.∴“8字形”共有6个.(3)∵∠D=40°,∠B=36°,∴∠OAD+40°=∠OCB+36°,∴∠OCB-∠OAD=4°,∵AP和CP分别是∠DAB和∠BCD的平分线,∴∠DAM= ∠OAD,∠PCM= ∠OCB,又∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P,∴∠P=∠DAM+∠D-∠PCM=∠D- (∠OCB-∠OAD)=40°- ×4°=38°.(4)2∠P=∠B+∠D.详解:根据(1)中的结论得,∠OAD+∠D=∠OCB+∠B,∠DAM+∠D=∠PCM+∠P,∴∠OCB-∠OAD=∠D-∠B,∠PCM-∠DAM=∠D-∠P,∵AP和CP分别是∠DAB和∠BCD的平分线,∴∠DAM= ∠OAD,∠PCM= ∠OCB,∴ (∠D-∠B)=∠D-∠P,整理得,2∠P=∠B+∠D.