初中数学人教版（2024）八年级上册13.3.1 等腰三角形教课课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册13.3.1 等腰三角形教课课件ppt，共46页。
知识点2　等腰三角形的判定
1.(新独家原创)如图,已知在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以点B 为圆心,BC长为半径的弧分别交AC,AB于点D,E,连接BD,ED, 则图中等腰三角形的个数为 (　    ) A.2　　　    B.3C.4　　　    D.5
解析　∵∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.∵BE=BD=BC,∴△BCD,△BED均是等腰三角形.∴等腰三角形有△ABC,△BCD,△BED,共3个.
2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,则下列条件 中,不能判定△ABC是等腰三角形的是 (　    )A.∠A∶∠B∶∠C=2∶2∶5B.a∶b∶c=3∶4∶5C.a=5,b=6,c=5D.∠A=40°,∠B=100°
解析　选项A中,∵∠A∶∠B∶∠C=2∶2∶5,∴∠A=∠B,∴△ABC是等腰三角形,故A不符合题意;选项B中,∵a∶b∶c=3∶4∶5,∴a≠b≠c,∴△ABC不是等腰三角形,故B符合题意;选项C中,∵a=5,b=6,c=5,∴a=c,∴△ABC是等腰三角形,故C不符合题意;
选项D中,∵∠A=40°,∠B=100°,∴∠C=180°-∠A-∠B=40°,∴∠A=∠C,∴△ABC是等腰三角形,故D不符合题意.故选B.
3.(跨学科·地理)(教材变式·P83T11)如图,一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方 向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与 灯塔P的距离为　　　　    海里. 
解析　∵向北的方向线是平行的,∴∠M=70°,∠N=40°,∴∠NPM=180°-70°-40°=70°,∴∠NPM=∠M,∴NP=MN=40×2=80(海里).
4.如图,在△ABC中,∠ACB的平分线交AB于点E,CF平分∠ACD,且EF∥BC交AC于点G,若CG=5 cm,则EF=　　　　    . 
解析　∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,∴∠ACE=∠ECB,∠ACF=∠FCD,∵EF∥BD,∴∠GEC=∠ECB,∠F=∠FCD,∴∠ACE=∠GEC,∠ACF=∠F,∴GE=CG=5 cm,GF=CG=5 cm,∴EF=GE+GF=10 cm.
5.(新考向·尺规作图)(2024山东济南期末)尺规作图:已知一个 等腰三角形底边及底边上的高,求作这个等腰三角形.已知:如图,线段a,h.求作:△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.(要求:保留作图的痕迹,写出结论,但不要求写出作法) 
解析　如图,作线段BC=a,作线段BC的垂直平分线DT,垂足为 D,在射线DT上截取DA,使得DA=h,连接AB,AC,则△ABC即为 所求. 
6.(2023河北保定期中)如图,在△ABC中,AB=AC,M、N分别是 AB、AC边上的点,并且MN∥BC.(1)求证:△AMN是等腰三角形.(2)点P是MN上的一点,并且BP平分∠ABC,求证:△BPM是等 腰三角形. 
证明    (1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∵MN∥BC,∴∠AMN=∠ABC,∠ANM=∠C,∴∠AMN=∠ANM,∴AM=AN,∴△AMN是等腰三角形.(2)∵BP平分∠ABC,∴∠MBP=∠CBP,∵MN∥BC,∴∠MPB=∠CBP,∴∠MBP=∠MPB,∴MB=MP,∴△BPM是等腰三角形.
7.(2024福建厦门一中月考,5,★★☆)如图,在长方形ABCD中, AD=5,将长方形沿BD折叠,点A落在点E处,DE与BC交于点F, 且BF=3,则EF的长为 (　    ) A.1　　　    B.2　　　    C.2.5　　　    D.3
解析　在长方形ABCD中,AD∥BC,∴∠ADB=∠FBD,由折叠的性质可知,DE=AD=5,∠FDB=∠ADB,∴∠FDB=∠FBD,∴DF=BF=3,∴EF=DE-DF=5-3=2.故选B.
8.(2020四川南充中考,6,★★☆)如图,在等腰△ABC中,BD为 ∠ABC的平分线,∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,则CD= (　    ) A. 　　　    B. C.a-b　　　     D.b-a
解析　∵在等腰△ABC中,BD为∠ABC的平分线,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°,∴∠ABD=36°=∠A,∴BD=AD,∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C,∴BD=BC=AD,∵AB=AC=a,BC=b,∴CD=AC-AD=AB-BC=a-b.故选C.
9.(2024北京东城期末,10,★★☆)如图,∠MAN=30°,点B是射 线AN上的定点,点P是直线AM上的动点,要使△PAB为等腰 三角形,则满足条件的点P共有 (　    ) A.1个　　　    B.2个　　　    C.3个　　　    D.4个
解析　如图所示,满足条件的点P共有4个.故选D. 
10.(2024湖北黄冈期末,8,★★☆)在平面直角坐标系中,有一 点P(2,1.5),OP=2.5,连接OP,在x轴上找一点Q,使△OPQ是以 OP为腰的等腰三角形,则点Q的坐标不可能是 (　    ) A.(-2.5,0)　　　    B.(2.5,0)C.(4,0)　　　     D. 
解析　过点P作PH⊥x轴于点H(图略),∵点P的坐标为(2,1.5),∴OH=2,PH=1.5,设点Q的坐标为(x,0),则OQ=|x|,①当OP=OQ时,|x|=2.5,∴x=±2.5,∴点Q的坐标为(2.5,0)或(-2.5,0);②当PO=PQ时,∵PH⊥x轴,∴HQ=OH=2,∴OQ=4,∴点Q的坐标为(4,0).综上,点Q的坐标为(2.5,0)或(-2.5,0)或(4,0).故选D.
11.(分类讨论思想)(2024江西模拟,12,★★★)如图,已知P为射线BM上一动点(P不与O、B重合),∠AOB=30°,∠ABM=60°,当以A、O、B三个点中的某两个点与P点为顶点的三角形是等腰三角形时,∠OAP的度数为　　　　　　　　    . 
75°或120°或90°
解析　分为以下5种情况:①如图,OA=OP,∵∠AOB=30°,OA=OP,∴∠OAP=∠OPA= ×(180°-30°)=75°;②如图,OA=AP,
 ∵∠AOB=30°,OA=AP,∴∠APO=∠AOB=30°,∴∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=180°-30°-30°=120°;③如图,AB=AP,
 ∵∠ABM=60°,AB=AP,∴∠APO=∠ABM=60°,∴∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=180°-30°-60°=90°;④如图,AB=BP,
 ∵∠ABM=60°,AB=BP,∴∠BAP=∠APO= ×(180°-60°)=60°,∴∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=90°;⑤如图,AP=BP,
∵∠ABM=60°,AP=BP,∴∠PAB=∠ABM=60°,∴∠APO= 180°-60°-60°=60°,∴∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=180° -30°-60°=90°.综上,当以A、O、B中的某两个点与P点为顶点的三角形是 等腰三角形时,∠OAP的度数为75°或120°或90°.
12.(2021山东淄博中考,19,★☆☆)如图,在△ABC中,∠ABC 的平分线交AC于点D,过点D作DE∥BC交AB于点E.(1)求证:BE=DE.(2)若∠A=80°,∠C=40°,求∠BDE的度数. 
解析    (1)证明:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∵DE∥BC,∴∠EDB=∠CBD,∴∠EBD=∠EDB,∴BE=DE.(2)∵∠A=80°,∠C=40°,∴∠ABC=60°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=30°,由(1)知∠BDE=∠EBD,∴∠BDE=30°.
13.(2024广东东莞实验中学期中,20,★★☆)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,D为底边BC延长线上任意一点,过点D作DE∥AB,与AC的延长线交于点E.(1)△CDE的形状是　　　　    ,请说明理由.(2)若在AC上截取AF=CE,连接FB、FD,判断FB、FD的数量 关系,并给出证明. 
解析    (1)△CDE是等腰三角形.理由:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵DE∥AB,∴∠ABC=∠CDE,∵∠DCE=∠ACB,∴∠DCE=∠CDE,∴CE=DE,∴△CDE是等腰三角形.(2)FB=FD.证明:∵DE∥AB,∴∠A=∠E,由(1)得CE=DE,∵AF=CE,∴AF=DE,AF+CF=CE+CF,即EF=AC=AB,
在△AFB与△EDF中, ∴△AFB≌△EDF(SAS),∴FB=FD.
14.(2022山西运城实验中学期末,22,★★☆)如图,在△ABC 中,AB=AC=2,∠B=40°,点D在线段BC上运动(D不与B、C重 合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于E.(1)当∠BDA=115°时,∠BAD=　　　　    °;点D从B向C运动 时,∠BDA逐渐变　　　　    (填“大”或“小”).(2)在点D的运动过程中,△ADE的形状也在改变,判断当∠BDA等于多少度时,△ADE是等腰三角形.
解析    (1)∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180°-40°-115°=25°,由题图可得,点D从B向C运动时,∠BDA逐渐变小,故答案为25;小.(2)∵AB=AC,∴∠C=∠B=40°,①当AD=AE时,∠AED=∠ADE=40°,∵∠AED>∠C,∴不符合题意;②当DA=DE时,∠DAE=∠DEA=70°,∵∠BAC=180°-40°-40°=100°,∴∠BAD=100°-70°=30°,∴∠BDA=180°-30°-40°=110°;
③当EA=ED时,∠DAE=∠ADE=40°,∴∠BAD=100°-40°=60°,∴∠BDA=180°-60°-40°=80°.∴当∠BDA=110°或80°时,△ADE是等腰三角形.
15.(几何直观)如果一个三角形能被一条线段分割成两个等 腰三角形,那么称这条线段为这个三角形的特异线,称这个三 角形为特异三角形.(1)如图,在△ABC中,∠B=2∠C,线段AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E,求证:AE是△ABC的一条特异线.(2)若△ABC是特异三角形,∠A=30°,∠B为钝角,求出所有可能的∠B的度数.
解析    (1)证明:∵DE所在直线是线段AC的垂直平分线,∴EA =EC,∴△EAC是等腰三角形,∴∠EAC=∠C,∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,∵∠B=2∠C,∴∠AEB=∠B,∴AB=AE,∴△EAB是等腰三角形,∴AE是△ABC的一条特异线.(2)当BD是特异线时,如图1,若AB=BD=DC,则∠ABC=∠ABD +∠DBC=120°+15°=135°;如图2,若AD=AB,DB=DC,则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°;
如图3,若AD=DB,DC=DB,则∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°(不合题意,舍去).当AD是特异线时,如图4,AB=BD,AD=DC,则∠ABC=180°-20° -20°=140°.当CD为特异线时,不合题意. 图1     图2
图3     图4∴符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°.
模型特征　若出现以下图形特征:BD是∠ABC的平分线,DE ∥BC,则有等腰△BDE.(∵BD是∠ABC的平分线,∴∠1=∠2, ∵DE∥BC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴△BDE是等腰三角形) 
微专题　“角平分线+平行线→等腰三角形”模型
模型变化:①“角平分线+等腰三角形→平行线”;②“等腰三角形+平行线→角平分线”.
1.如图,△ABC中,AB=8,AC=9,BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB,过点D作直线平行于BC,分别交AB、AC于E、F,则△AEF的周长为　　　　    . 
解析　∵EF∥BC,∴∠EDB=∠DBC,∠FDC=∠DCB,∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB,∴∠EBD=∠DBC,∠FCD=∠DCB,∴∠EDB=∠EBD,∠FDC=∠FCD,∴ED=EB,FD=FC,∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+ED+FD+AF=AE+EB+FC +AF=AB+AC=8+9=17.
2.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线 交于点D,过点D作EF∥BC,交AB于E,交AC于F,若BE=8,CF= 6,则EF的长是　　　　    .