初中数学人教版（2024）八年级上册13.1.1 轴对称图片课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册13.1.1 轴对称图片课件ppt，共35页。
知识点3　含30°角的直角三角形的性质
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,BD=2,则AB的长为 (　    ) A.4　　　    B.6　　　    C.8　　　    D.10
解析　∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠B=90°-∠A=60°,∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°,∴∠BCD=90°-∠B=30°,∵BD=2,∴BC=2BD=4,∴AB=2BC=8.故选C.
2.如图,在等腰△ABC中,AB=AC=8, ∠C=15°,过点B 作 BD∥ AC,过点 A 作 AD⊥BD于点 D,则AD的长为 (　    ) A.4　　　    B.6　　　    C.8　　　    D.10
解析　∵AB=AC,∠C=15°,∴∠ABC=∠C=15°,∵BD∥AC,∴∠CBD=∠C=15°,∴∠ABD=30°,∵AD⊥BD,∴∠ADB=90°,∴AD= AB=4.故选A.
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=4,等边△CDE的顶点E,D分别在线段AB,BC上,则CD的长为 (　    ) A.1　　　    B.2　　　    C.3　　　    D.4
解析　∵△CDE为等边三角形,∴∠ECD=60°,CD=CE,∵∠B=30°,∴∠CEB=180°-60°-30°=90°,∴CD=CE= BC= ×4=2.故选B.
4.如图,在△ABC中,D为BC上一点,过点D作DA⊥AB.若∠DAC=∠C=30°,CD=4,则BD的长为　　　　    . 
解析　∵∠DAC=∠C=30°,CD=4,∴∠ADB=∠DAC+∠C=60°,AD=CD=4,∵DA⊥AB,∴∠BAD=90°,∴∠B=90°-60°=30°,∴BD=2AD=8.
5.(教材变式·P81例5)如图所示的是屋架设计图的一部分,点 D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE分别垂直于横梁AC,若DE=1.8 m,∠A=30°,则斜梁AB的长为　　　　    m. 
解析　∵DE⊥AC,∠A=30°,DE=1.8 m,∴AD=2DE=3.6 m,∵点D是AB的中点,∴AB=2AD=2×3.6=7.2(m).
6.如图,校园内有一棵大树AB,大树旁边有一栋教学楼CD,且 CD=6.6米,站在楼顶C处,测得点B的仰角为30°,点A的俯角为 30°,AC=BC,AD∥EC,则大树AB的高度为　　　　    . 
解析　∵∠ACB=∠ACE+∠BCE=30°+30°=60°,AC=BC,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∵AD∥EC,∴∠CAD=∠ACE=30°,在Rt△ADC中,∠CAD=30°,CD=6.6米,∴AC=2CD=2×6.6=13.2(米),∴AB=AC=13.2米,∴大树AB的高度为13.2米.
7.(跨学科·物理)(新独家原创)如图,杆AB可以绕转轴A点在竖 直平面内自由转动,在A点正上方固定一个小定滑轮,细绳通 过定滑轮与杆的另一端B相连,并将杆AB从水平位置缓慢向 上拉起.已知AB=AC,当杆AB与水平面夹角为30°时,测得BC= 8 dm,则点B到AD的距离为　　　　    .  　     
解析　如图,过点B作BE⊥AD,垂足为E, ∵CA⊥AD,∴∠DAC=90°,∵∠BAD=30°,∴∠BAC=60°,∵AB=AC,∴△ABC为等边三角形,∴AB=BC=8 dm,
∵BE⊥AD,∠BAD=30°,∴BE= AB=4 dm.∴点B到AD的距离为4 dm.
8.如图,在△ABC中,DE垂直平分AB,交AB于点D,交BC于点E, 且AE平分∠BAC,∠B=30°.(1)求∠C的度数.(2)若DE=3,求BC的长. 
解析    (1)∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴∠BAE=∠B=30°.∵AE平分∠BAC,∴∠BAC=2∠BAE=60°,∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-30°=90°.(2)∵AE平分∠BAC,∠ACB=90°,DE⊥AB,∴EC=DE=3,∠BDE=90°.∵∠B=30°,∴BE=2DE=6,∴BC=BE+EC=6+3=9.
9.(2021广东广州中考,13,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E, 连接BD.若CD=1,则AD的长为　　　　    . 
解析　∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=30°,∴∠BDC=∠A+∠ABD=30°+30°=60°,∵∠C=90°,∴∠CBD=30°,∵CD=1,∴BD=2CD=2,∴AD=2.
10.(2024河南郑州枫杨外国语学校期末,16,★★☆)有一轮船 由东向西航行,在A处测得西偏北15°方向上有一灯塔P,继续 航行20海里后到B处,又测得灯塔P在西偏北30°方向上.如果 轮船航向不变,那么灯塔与船之间的最近距离是　　　　     海里. 
解析　如图,过P作PD⊥AB于D,则PD的长就是灯塔与船之 间的最近距离, ∴∠PDB=90°,∵∠PBD=30°,∠PAB=15°,
∴∠APB=∠PBD-∠PAB=15°=∠PAB,∴PB=AB=20海里,在Rt△PBD中,∠PBD=30°,∴PD= PB=10海里.
11.(2024广东深圳外国语学校联考,22,★★★)如图,在△ABC 中,AB=AC=BC=6,点M,N分别是BC,CA上的动点.已知点M的 速度为每秒1个单位长度,点N的速度为每秒1.5个单位长度, 当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动.设运动时间为 t秒.(1)当△MCN为等边三角形时,求t的值.(2)当△MCN为直角三角形时,求t的值.
解析    (1)∵AB=AC=BC,∴△ABC为等边三角形,∴∠C=60°,由题意得BM=t,CN=1.5t,则CM=6-t,∵∠C=60°,∴当CM=CN时,△MCN为等边三角形,∴6-t=1.5t,解得t= ,故当△MCN为等边三角形时,t的值为 .(2)当△MCN为直角三角形时,
∵∠C=60°,∴∠CMN=30°或∠CNM=30°,∴CN= CM或CM= CN,即1.5t= (6-t)或6-t= ×1.5t,解得t= 或 .故当△MCN为直角三角形时,t的值为 或 .
12.(推理能力)在等边三角形ABC中,点E在AB边上,点D在CB 的延长线上,且DE=EC.(1)如图1,当E为AB的中点时,求证:BC=2BD.(2)如图2,若AB=12,AE=2,求CD的长. 图1　     图2
解析    (1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵E为AB的中点,∴CE⊥AB,CE是∠ACB的平分线,∴∠BEC=90°,∠BCE=30°,∴BC=2BE,∵DE=EC,∴∠EDC=∠ECD=30°,∴∠DEB=60°-30°=30°=∠D,∴BD=BE,∴BC=2BD.(2)如图,过点E作EF∥BC,交AC于点F,
 ∵△ABC为等边三角形,EF∥BC,∴∠AFE=∠AEF=∠ACB=∠ABC=60°,BC=AB=12,∴△AEF为等边三角形,∠CFE=∠EBD=120°,∴EF=AE=2,∵DE=EC,∴∠EDB=∠ECB,∵EF∥BC,∴∠ECB=∠CEF,∴∠EDB=∠CEF,
在△BDE和△FEC中, ∴△BDE≌△FEC(AAS),∴BD=EF=2,∴CD=BC+BD=12+2=14.
13.(几何直观)(2022山东日照实验中学期中)如图,点O是等边 △ABC内一点,D是△ABC外的一点,∠AOB=110°,∠BOC=α, △BOC≌△ADC,∠OCD=60°,连接OD.(1)求证:△OCD是等边三角形.(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由.(3)△AOD能否为等边三角形?为什么?(4)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形.
解析    (1)证明:∵△BOC≌△ADC,∴OC=DC.∵∠OCD=60°,∴△OCD是等边三角形.(2)当α=150°时,△AOD是直角三角形.理由如下:由(1)得△OCD是等边三角形,∴∠ODC=∠COD=60°,∵△BOC≌△ADC,α=150°,∴∠ADC=∠BOC=150°,∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°,∵α=150°,∠AOB=110°,∠COD=60°,
∴∠AOD=360°-150°-110°-60°=40°,∴△AOD是直角三角形,但不是等腰直角三角形.(3)不能.理由:由△BOC≌△ADC,得∠ADC=∠BOC=α.若△AOD为等边三角形,则∠ADO=∠AOD=60°,∵∠ODC=60°,∴∠ADC=α=120°.∵∠AOD=∠DOC=60°,∴∠AOC=120°,∵∠AOB=110°,∴∠AOC+∠AOB+∠BOC=120°+110°+120°=350°