初中数学人教版（2024）八年级上册13.4课题学习 最短路径问题授课课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册13.4课题学习 最短路径问题授课课件ppt，共36页。

知识点1　利用轴对称知识解决最短路径问题
1.(教材变式·P85问题1)如图,A,B两个小镇在河流的同侧,随着居民用水量的增加,现需要在河边l上修建一个自来水厂P,分别向两个小镇供水,下列图形中所用水管最短的是 (        )
A　　　     B
C　 D
解析　作A点关于直线l的对称点A',在直线l上任取一点P,连 接AP,BP,A'P,A'B,由对称性可知,AP=A'P,∴AP+BP=A'P+BP ≥A'B,∴当A'、P、B三点共线时,AP+BP的值最小.故选B.
2.如图所示的4×4的正方形网格中,有A、B两点,在直线a上求 一点P,使PA+PB最小,则点P应选在 (　    ) A.C点　　　    B.D点C.E点　　　     D.F点
解析　如图,点A'是点A关于直线a的对称点,连接A'B,则A'B与 直线a的交点即为点P,此时PA+PB最小,∵A'B与直线a交于点 C,∴点P应选在C点.故选A. 
3.如图,OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线,MD=5 cm,MC=7 cm,CD=10 cm,一只小蚂蚁从点M出发爬到OA上任意一点E,再爬到OB上任意一点F,然后爬回M点处,则小蚂蚁爬行的路径最短为　　　　    . 
解析　由题意可知当E为CD与OA的交点,F为CD与OB的交 点时,小蚂蚁爬行的路径最短,∵OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线,∴ME=CE,MF=DF,∴小蚂蚁爬行的路径最短为ME+EF+MF =CE+EF+DF=CD=10 cm.
知识点2　利用平移解决造桥选址问题
4.如图所示,在一条河的两岸有两个村庄,现要在河上建一座 桥,桥的方向与河岸垂直,设河的宽度不变,试问:桥架在何处, 才能使从A到B的距离最短?
解析    如图,作BB'垂直于河岸GH,且BB'等于河宽,连接AB',与 河岸EF交于P,将PB'沿与河岸垂直的方向平移,得到DB,连接 PD,则PD∥BB'且PD=BB'.利用平移可知PB'=BD.根据“两点之间,线段最短”,可知路 径A→P→D→B最短.故桥架在PD处符合题意. 
5.如图所示,在P、Q两村之间有两条河,且两条河的宽度相 同,从P村到Q村,要经过两座大桥EF、MN.现在要设计一条 道路,并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥,问:如 何设计这两座大桥EF、MN的位置,使由P村到Q村的路程最 短?(要求在图上标出道路和大桥的位置) 
解析　如图所示. (1)过点P作PA⊥l1,垂足为A,过点Q作QB⊥l3,垂足为B;(2)分别在PA和QB上截取PC=QD=河的宽度;
(3)连接CD,分别交l2和l4于点E和M;(4)过点E和M分别作l1和l3的垂线,垂足分别为F和N;(5)连接PF和QN,则路线P→F→E→M→N→Q就是满足题意 的最短路线.
6.(2024湖北黄冈期末,7,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,AD =10,D是BC的中点,EF垂直平分AB,交AB于点E,交AC于点F, 在EF上确定一点P,使PB+PD最小,则这个最小值为(　    ) A.10　　　    B.11　　　    C.12　　　    D.13
解析　∵EF垂直平分AB,∴BP=AP,∴PB+PD=AP+PD,∵AP+PD≥AD,∴PB+PD的最小值=AD=10.故选A.
7.(2024海南三亚联考,10,★★☆)如图,l是△ABC的边AB的垂 直平分线,D为垂足,E是l上任意一点,且AC=5,BC=8,AB=6,则 △AEC的周长的最小值为 (　    ) A.6　　　    B.8　　　    C.11　　　    D.13
解析　如图,连接BE, ∵l是AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴AE+CE=BE+CE,∵BE+CE≥BC,∴当B,E,C在同一直线上时,BE+CE有最小值, 最小值等于BC的长,而AC长不变,∴△AEC的周长最小值等
于AC+BC=5+8=13.故选D.
8.(2024广东珠海期末,8,★★☆)在平面直角坐标系中,已知 点A(0,1),B(2,1),P为x轴上一点,当PA+PB最小时,点P的坐标 是 (　    )A.(0,1)　　　    B.(1,0)C.(0,2)　　　    D.(2,0)
解析　如图,作点A关于x轴的对称点A',连接A'B交x轴于P,此 时PA+PB的值最小,过B作BH⊥x轴于H, ∵点A(0,1),B(2,1),∴A'(0,-1),∴OA'=BH=1,OH=2,
在△A'OP与△BHP中, ∴△A'OP≌△BHP(AAS),∴OP=PH,∵OH=2,∴OP=PH= OH=1,∴点P的坐标是(1,0).故选B.
9.(2021青海西宁中考改编,17,★★☆)如图,△ABC是等边三 角形,N是AB的中点,AD是BC边上的中线,M是AD上的一个动点,连接BM,MN,当BM+MN的值最小时,∠MBN的度数是　    　　    . 
解析　如图,连接CM,CN, ∵△ABC是等边三角形,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,BD=CD,∴AD垂直平分BC,∴BM=CM,∴BM+MN=CM+MN,即当C、M、N三点共线时, BM+MN有最小值,最小值为CN的长,∵△ABC是等边三角形,点N是AB的中点,
∴CN平分∠ACB,∴∠NCB=30°,即∠MCB=30°,∵CM=BM,∴∠MBC=∠MCB=30°,∴∠MBN=60°-30°=30°.
10.(2020青海西宁中考改编,18,★★☆)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,连接AD,且CD=5,AD=13,直线EF是 腰AC的垂直平分线,若点M在EF上运动,则△CDM周长的最 小值为　　　　    . 
解析　如图,连接AM, ∵EF垂直平分线段AC,∴MA=MC,∴DM+MC=DM+AM,当点A、M、D共线时,DM+MC的值最小,最小值为AD的长, ∴DM+MC的最小值为13,∴△CDM周长的最小值=13+5=18.
11.(2024黑龙江哈尔滨六十九中期末,16,★★☆)如图,等边三角形ABC和等边三角形A'B'C的边长都是3,点B,C,B'在同一条直线上,点P在线段A'C上,则AP+BP的最小值为　　　        . 
解析　如图,连接PB', ∵△ABC和△A'B'C都是边长为3的等边三角形,∴AC=B'C,∠ACB=∠A'CB'=60°,∴∠ACA'=60°,∴∠ACA'=∠A'CB',∵CP=CP,∴△ACP≌△B'CP(SAS),
∴AP=B'P,∴AP+BP=B'P+BP,当点P与点C重合时,AP+BP的值最小,正好等于BB'的长,∴AP+BP的最小值为2×3=6.
12.(新考法)(2023福建福州模拟,15,★★★)如图,在五边形 ABCDE中,∠BAE=136°,∠B=∠E=90°,在BC,DE上分别找一 点M,N,使得△AMN的周长最小,此时∠AMN+∠ANM的度数 为　　　　    . 
解析　如图,作点A关于BC的对称点P,关于DE的对称点Q,连 接PQ,与BC相交于点M,与DE相交于点N,则AM=PM,AN=QN, ∴∠P=∠PAM,∠Q=∠QAN,△AMN的周长=AM+MN+AN=
PM+MN+QN=PQ,∴△AMN周长的最小值为PQ的长度,∵∠BAE=136°,∴∠P+∠Q=180°-136°=44°,∵∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P,∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q,∴∠AMN+∠ANM=2(∠P+∠Q)=2×44°=88°.
13.(运算能力)已知:M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点.(1)如图1,若∠O=∠OMN,过M作射线MD∥OB,点C是射线 MD上一动点,∠MNC的平分线NE交射线OA于E点,试探究∠MEN与∠MCN之间的数量关系.(2)如图2,若P是线段ON上一动点,Q是射线MA上一动点,∠AOB=20°,当MP+PQ+QN取得最小值时,求∠OPM+∠OQN的值.
图1     图2 备用图
解析    (1)设∠O=∠OMN=α,∴∠MNB=2α,∵MD∥OB,∴∠AMD=∠O=α,∵NE平分∠MNC,∴∠MNE=∠ENC,设∠MNE=∠ENC=β,∴∠CNB=2α-2β,∵MD∥OB,∴∠MCN=∠CNB=2α-2β,∵∠EMC+∠MEN=∠ENC+∠MCN,∴α+∠MEN=β+2α-2β,∴∠MEN=α-β,∴2∠MEN=∠MCN.
(2)作M点关于OB的对称点M',N点关于OA的对称点N',连接M'N',与OB、OA分别交于点P、点Q,连接ON'、OM',如图,此时 MP+PQ+QN的值最小,最小值为M'N'的长, 由对称性可知,∠OQN'=∠OQN,∠OPM'=∠OPM,