苏科版（2024）九年级上册1.1 一元二次方程导学案

这是一份苏科版（2024）九年级上册1.1 一元二次方程导学案，共17页。学案主要包含了知识点归纳，知识点一，知识点二，题型展示与方法点拨，中考链接与拓展延伸等内容，欢迎下载使用。
【知识点一】公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
2.一元二次方程根的判别式
用公式法解一元二次方程的步骤
用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值（要注意符号）；
③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.
【知识点二】因式分解法解一元二次方程
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】用公式法解一元二次方程
【例1】（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）解下列一元二次方程
（公式法） (2) （公式法）
【变式1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程：
(1)； (2)； (3).
【变式2】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程：
(1)； (2)； (3)．
【题型2】公式法解一元二次方程的应用
【例2】（2024·辽宁抚顺·二模）在中，，，且．将沿方向平移得，连接．当时，平移的距离为 ．
【变式1】（22-23九年级上·黑龙江鸡西·期中）三角形两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）
A．B．10C．D．或10
【变式2】如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（ ）
A．B．C．D．
【题型3】用因式分解法解一元二次方程
【例3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用因式分解法解方程:
(1)； (2)
【变式1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用因式分解法解下列方程：
(1)； (2)．
【变式2】（23-24八年级下·全国·假期作业）用因式分解法解下列方程：
(1)； (2)．
【题型4】因式分解法解一元二次方程的应用
【例4】（23-24八年级下·四川成都·期中）关于x的方程无解，则 ．
【变式1】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，当时，x的值为（ ）

A．1B．2C．1或3D．2或4
【变式2】（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程（m是常数），若一个等腰三角形的一边长为6，另两边长是该方程的两个实数根，则该三角形的周长为（ ）
A．17或19B．15或17C．13或15D．17
【题型5】用适当的方法解一元二次方程
【例5】（2024八年级下·浙江·专题练习）选择适当方法解下列方程：
(1)； (2)．
【变式1】选择适当方法解方程：
(1)． (2)．
【变式2】（23-24八年级下·安徽宣城·期末）用适当方法解方程：
(1)； (2)．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）方程的解为 ．
【例2】（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ．
2、拓展延伸
【例1】（2024·广西河池·一模）解方程：．
【例2】（2024八年级下·安徽·专题练习）．
专题1.5 解一元二次方程（公式法与因式分解法）（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
2.一元二次方程根的判别式
用公式法解一元二次方程的步骤
用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值（要注意符号）；
③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.
【知识点二】因式分解法解一元二次方程
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】用公式法解一元二次方程
【例1】（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）解下列一元二次方程
（公式法） (2) （公式法）
【答案】(1)，； (2)，．
【分析】（）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可；
（）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可；
本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的步骤．
解：（1），，，
，
∴，
∴，；
（2），，，
，
∴，
∴，．
【变式1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程：
(1)； (2)； (3).
【答案】(1)， (2)，. (3)
解：（1）∵，，，
∴，
∴，即，.
（2）移项，得，
∴，，，
∴，
∴，即，.
（3）∵，，，
∴，
∴，即.
【变式2】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1) (2)， (3)方程无解
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键；
（1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解；
（2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解；
（3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解．
（1）解：
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：
∴，
∴，
∴原方程无解．
【题型2】公式法解一元二次方程的应用
【例2】（2024·辽宁抚顺·二模）在中，，，且．将沿方向平移得，连接．当时，平移的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理、平移的性质，解一元二次方程，根据平移的性质和平行线的性质，可以得到，再根据勾股定理，即可求得平移的距离．
解：由题意可得，
，，
，
，
设，则，
，，，，
，
，
，
解得 舍去，
故答案为：．
【变式1】（22-23九年级上·黑龙江鸡西·期中）三角形两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）
A．B．10C．D．或10
【答案】A
【分析】直接利用公式法解方程，再利用三角形三边关系即可得出答案.
解：，，
∴，
解得：，，
∵，
∴2，3，5无法构成三角形，
∴这个三角形的三边长为：2，3，，
其周长为：.
故选A.
【点拨】本题考查了三角形三边关系以及公式法解方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键.
【变式2】如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为，右图是一个长方形，长宽分别为、，并且它们的面积相等，由此即可列出等式，解方程即可求出．
解：依题意得，
整理得：，
则，
方程两边同时除以，
，
（负值已经舍去），
故选：C．
【点拨】此题主要考查了图形的剪拼，此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．
【题型3】用因式分解法解一元二次方程
【例3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用因式分解法解方程:
(1)； (2)
【答案】(1)， (2)，
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解题的关键；
（1）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程；
（2）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
（1）解：移项，得：，
因式分解，得：
于是，得：或，
∴，．
（2）移项，得，
即，
因式分解，得：，
整理，得：，
于是，得或，
∴，．
【变式1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用因式分解法解下列方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)， (2)，
【解析】（1）方程左右两边都有因式，先移项，然后利用提公因式法将等式的左边因式分解；（2）直接利用平方差公式将方程的左边因式分解．
解：（1）移项，得，
∴，即，
∴或，∴，．
（2）因式分解，得．化简，得，
∴或，∴，．
【变式2】（23-24八年级下·全国·假期作业）用因式分解法解下列方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)， (2)，
解：（1），
或，
，．
（2）原方程可化为，
，
或，
，．
【题型4】因式分解法解一元二次方程的应用
【例4】（23-24八年级下·四川成都·期中）关于x的方程无解，则 ．
【答案】0或6/6或0
【分析】本题考查分式方程无解求参数的值，将分式方程转化为整式方程后，根据分式方程无解分两种情况：整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可．
解：方程去分母，得：，
整理，得：，
∵方程无解，
∴，
∴或，
当时，，当时，；
故答案为：0或6．
【变式1】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，当时，x的值为（ ）

A．1B．2C．1或3D．2或4
【答案】C
【分析】本题考查了两直线交点问题，一元二次方程的求解，将交点代入正比例函数求出n的值，再代入一次函数求出m的值，得出，进行求解即可．
解：将点代入正比例函数，得：，
代入一次函数，得，解得：，
，，
，
解得：或3，
故选：C．
【变式2】（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程（m是常数），若一个等腰三角形的一边长为6，另两边长是该方程的两个实数根，则该三角形的周长为（ ）
A．17或19B．15或17C．13或15D．17
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程与几何的综合应用．熟练掌握一元二次方程的判别式与根的个数的关系，一元二次方程的解的定义，是解题的关键．根据方程有两个实数根，得到6是等腰三角形的腰长，是方程的一个根，进行求解即可．
解：∵一元二次方程有两个实数根，
，
；
不管m去何值，方程都有两个不相等的实数根，
一个等腰三角形的一边长为6，另两边长是该方程的两个实数根，
∴6是腰长，是方程的一个根，
∴，整理，得：，
解得：或，
当时，，
解得，
此时等腰三角形的三边长：，周长；
当时，，
解得，
此时等腰三角形的三边长：，周长．
故选：A．
【题型5】用适当的方法解一元二次方程
【例5】（2024八年级下·浙江·专题练习）选择适当方法解下列方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)， (2)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程中的公式法和直接开平方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用公式法求解即可．
（1）解：，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：，
∴，，，
则，
∴，
即，．
【变式1】选择适当方法解方程：
(1)． (2)．
【答案】(1)， (2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解题的关键．
（1）方程两边都除以2，再开方，求出方程的解即可；
（2）先利用提取公因式法把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
（1）解：，
方程两边同除以2，得：，
开方，得：，
解得：，；
（2）解：，
，
，
或，
解得：，．
【变式2】（23-24八年级下·安徽宣城·期末）用适当方法解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)， (2)，
【分析】本题考查解一元二次方程．根据方程的特征选择恰当方法求解是解题的关键．
（1）用配方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可．
（1）解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，．
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴，．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）方程的解为 ．
【答案】
【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出的值．
解：，
方程两边同时乘以得，，
，
，
，
或．
经检验时，，故舍去．
原方程的解为：．
故答案为：．
【点拨】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况．
【例2】（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解．
解：∵，
∴，
将代入
得，，
即：，
，
∴或，
∵，
∴舍，
∴，
故答案为：3．
2、拓展延伸
【例1】（2024·广西河池·一模）解方程：．
【答案】
【分析】本题考查了换元法解可以化为一元二次方程的分式方程等知识．设，原方程变为，解得或．再分别代入，求出，或或，代入最简公分母进行检验即可求解．
解：设，则，
原方程变为，
去分母得：，
解得或．
当时，去分母得：，
解得：；
当时，去分母得：，
解得：或，
检验：当时，，当或时，，
∴分式方程的解为．
【例2】（2024八年级下·安徽·专题练习）．
【答案】或
【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将看作一个整体，设，利用因式分解法求得的值，进而即可求得．
解：设，则原方程即，
∴，
∴或，
解得或，
∴或，
解得，或．