苏科版（2024）九年级上册2.1 圆单元测试一课一练

这是一份苏科版（2024）九年级上册2.1 圆单元测试一课一练，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（22-23九年级下·广东湛江·期中）若的直径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系为（ ）
A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆外D．不能确定
2．（2024九年级下·全国·专题练习）已知是的弦，若，，则所对的圆心角的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．（21-22九年级上·广西柳州·期末）如图，A、B、C是上的三个点，，，则的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．55°
4．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·重庆铜梁·一模）如图，是的切线，为切点，交于点，若，，则的长为（ ）
A．5B．7C．8D．13
6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，圆O的半径垂直弦于点C，连接并延长交圆O于点E，连接．若，则长为（ ）
A．2B．C．3D．4
7．（20-21九年级·全国·课后作业）如图，，圆心在直线上的半径为，，若沿方向移动，当圆心O移动的距离为（ ）时，与直线相切．
A．1B．4C．5D．1或5
8．（22-23九年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，以的边为直径的恰好过的中点，过点作于，连接，则下列结论中：①；②；③；④，其中一定正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（23-24九年级下·福建福州·期中）如图，在正五边形中，连接，以点为圆心，为半径画圆弧交于点，连接．则的度数是（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·山西阳泉·模拟预测）如图，在矩形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024·广东清远·模拟预测）如图， 为的直径， 为的切线，，则的度数为 ．
12．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为 ．

13．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，经过五边形OABCD的四个顶点，若，所对的圆心角的度数为 ．
14．（23-24九年级下·江苏常州·期末）如图，在中，为直径，为圆上一点，的角平分线与交于点，若， ．

15．（2024·浙江嘉兴·二模）如图，锐角三角形内接于于点D，连结并延长交线段于点E（点E不与点B，D重合），设（m，n为正数），则m关于n的函数表达式为

16．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 ．

17．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，在中，是优弧上一点，，连接，，延长交于点，则图中角度大小为的角是 ．

18．（21-22九年级上·浙江宁波·期中）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是上的一个动点，连接．过点作于点，连接，在点移动的过程中，的最小值是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，以为直径作，交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
20．（8分）（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
21．（10分）（23-24九年级下·湖北孝感·期中）如图，在中，，以为直径作交于点，交于点，平分，且，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
22．（10分）（2024·江苏淮安·一模）如图，是的弦，切于点， 垂足为，是的半径，且，
（1）求证：平分；
（2）若点是弦所对的优弧上一点，且，求图中阴影部分面积（计算结果保留）．
23．（10分）（23-24九年级上·广东汕尾·期末）综合探究
如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点F，在下方作，过点C作，垂足为点E．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，求的长．
24．（12分）【问题背景】如图1,在四边形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90，AD=BD， 探究线段AC，BC，CD之间的数量关系
小明同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D,逆时针旋转90到△AED处,点B,C分别 落在点A,E处(如图2),易证点C,A,E在同一条直线上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE=CD,从而得出结论：AC+BC= CD
【简单应用】
(1)在图1中,若AC=6,CD=，则AB= .
(2)如图3,AB是⊙O的直径,点C． D在⊙O上,∠C=45，若AB=25，BC=24，求CD的长．
【拓展延伸】
(3)如图4,∠ACB=∠ADB=90,AD=BD,若AC=,CD=,求BC的长.(用含,的代数式表示)
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据题意得出，从而即可得出答案，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键．
【详解】解：∵的直径为，所以半径为，点到圆心的距离为，
∴，
∴点与的位置关系为：点在圆上，
故选：B．
2．D
【分析】本题考查的是圆的有关性质及勾股定理，由题意得OA=OB=2，，根据勾股定理求得，即可得出答案．
【详解】解：由题意得OA=OB=2，，
，
所对的圆心角的度数为
故选：D
3．B
【分析】首先根据∠B的度数求得∠BOC的度数，然后求得∠AOC的度数，从而求得等腰三角形的底角即可．
【详解】∵OB=OC，∠B=55°，
∴∠B=∠OCB，
∴∠BOC=180°-2∠B=70°，
∵∠AOB=50°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°+50°=120°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA==30°，
故选：B．
【点拨】考查了圆周角定理及等腰三角形的性质，解题的关键是求得∠AOC的度数，难度不大．
4．B
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【详解】解：由圆周角定理得，，
四边形是的内接四边形，
，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．先根据切线的性质得到，再利用勾股定理计算出，然后计算．
【详解】解：是的切线，为切点，
，
，
在中，，
．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，三角形中位线性质，设的半径为r，在中，利用勾股定理求出r，再利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】解：设的半径为r，
，，
，
为直径，
，
是的中点，
，
在中，
，
，
，
，
．
故选：A．
7．D
【分析】根据题意及切线的性质可分两种情况进行分析求解．
【详解】解：①设PA与相切于点D，如图：
∴，
∵，，
∴，
∴；
②设PA与相切于点E，如图：
∴，
∵，，
∴，
∴；
综上所述：当圆心O移动的距离为或5cm时，与直线相切；
故选D．
【点拨】本题主要考查切线的性质及含30°直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质及含30°直角三角形的性质是解题的关键．
8．D
【分析】连接AD，借助直径所对的圆周角为，得出为等腰三角形的结论，再根据等腰三角形等角及圆的性质作答．
【详解】解：如图所示，连接AD，
直径所对的圆周角为，
又为的中点
为等腰三角形
，②正确；
，③正确；
，①正确；
，④正确；
故选：D．
【点拨】此题考查了圆、圆周角的性质，等腰三角形的性质及判定，解题的关键是正确理解等腰三角形三线合一的性质．
9．C
【分析】本题考查正多边形与圆，平行四边形的判定和性质等知识．证明四边形是菱形，推出可得结论．
【详解】解：五边形是正五边形，
，
，
，
，
，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形，
，
，
，
故选：C．
10．A
【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算、切线的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是能够正确运用割补法将不规则图形转化成规则图形面积的和差．
利用割补法将阴影部分分成三部分，即，然后分别求每部分的面积即可．
【详解】解：由题意可知，与扇形只有一个交点，则与扇形相切，设这个切点为G，
连接，，则．
过点E作，交于点H．
四边形是矩形，
，．
由题意可得，，
在中，由勾股定理可得：
，
，
，
，
，
即扇形的圆心角为．
在和中，
，
，
，
，
，
即扇形的圆心角为．
，
，
，
故选：A．
11．/56度
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，先根据直径所对的圆周角为直角，得出，根据，求出，根据切线的性质得出，最后求出结果即可．
【详解】解：∵ 为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵ 为的切线，
∴，
∴
∴．
故答案为：．
12．/度
【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟知等腰三角形的性质以及直角三角形的性质是解本题的关键．根据垂径定理的推理得，再利用三线合一及直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵半径经过的中点．
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
13．40
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．连接，如图，利用等腰三角形的性质得，则根据三角形内角和定理得到，则，于是得到的度数为．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
即所对的圆心角的度数为，
故答案为：40．
14．
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，先根据圆的性质得到，，再由三角形内角和定理得到，则由角平分线的定义可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵的角平分线与交于点，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】设，得到，，根据三角形的内角和定理得到，根据平角的定义即可得到结论．本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形内角和公式，正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．/28度
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．连接，根据切线的性质得，求出的度数，再根据圆周角定理计算的度数．
【详解】解：如图，连接，
∵切于点C，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，三角形外角的定义与性质等知识，根据圆周角以及三角形的相关知识确定图中各个角的数量关系即可作答．
【详解】连接，如图，
∵是优弧上一点，，
∴，即：，
∵，，
∴，
∴，
∴结合图形有：，，
∴，
∵，
∴，
即可以确定角度大小为的角为：，
故答案为：．
18．
【分析】连接，取的中点E，连接，根据得点H在以E为圆心，为半径的圆上，即当点B、H、E三点共线时，最小，根据是直径得，根据勾股定理得，可得，即可得，在中，根据勾股定理得， ，即可得．
【详解】解：如图所示，连接，取的中点E，连接，
∵，
∴点H在以E为圆心，为半径的圆上，
当点B、H、E三点共线时，最小，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了圆的性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点，明确当点B、H、E三点共线时，最小．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）连接，先由圆周角定理得，则，再由等腰三角形的性质得，即可得出结论；
（2）连接，先由等腰三角形的性质得，再由三角形内角和定理求出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接，如图1所示：
是的直径，
，
，
，
，
．
（2）解：连接，如图2所示：
是的直径，
是半径，
，
，
．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了垂径定理，三角形的内角和定理，勾股定理、等腰三角形的性质等知识，掌握垂径定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）连接，求出，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．
（2）如图，过点A作，垂足为F．利用面积法求出，再利用勾股定理求出，进而利用垂径定理可得结论；
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，过点A作，垂足为F．
∵，，，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∵，
∴．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，求得，根据切线的判定即可得到结论；
（2）由（1）得，，由勾股定理得，由得到，根据平行得性质得，再利用弧长公式计算即可．
本题考查了切线的判定和性质，弧长公式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接，
为的直径，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
为的直径，
是的切线；
（2）解：由（1）知：
得到，，
，
22．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）连结,由切线的性质得出,证出，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出，即可证明．
（2）由圆周角定理得出,由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果．
【详解】（1）证明：连结，如图所示，
切与点，
，
，
，
，
，
平分．
（2）如图，过作与点
点是弦所对的优弧上一点，且，
,
，
，
，
，
，
阴影部分面积等于扇形的面积与三角形的差，即为：．
【点拨】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
23．(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）根据已知条件先证明，然后利用即可证明．
（2）由（1）可得，由已知条件可得，得出，推出，再由平行线的性质可得．
（3）连接，可得，且，进一步求得和，即可求得．
【详解】（1）证明：∵以为直径的交于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中，
（2）由（1）可知，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
（3）连接，如图，
∵，且以为直径
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
则．
【点拨】本题主要考查直径所对圆周角为直角、全等三角形的判定和性质、平行线的判定、切线的判定定理、勾股定理以及三线合一的性质，解题的关键是熟练直径所对圆周角为直角和切线的判定．
24．（1）10；（2）；（3）
【分析】（1）利用题中结论先计算出BC＝8，然后根据勾股定理计算AB的长；
（2）如图3，连接AC，AD，BD，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据勾股定理计算出AC＝7，再证明AD＝BD，则可利用题中结论求出CD；
（3）根据圆周角定理可判断点C、D在以AB为直径的⊙O上，再利用DA＝DB得到∠DCB＝∠DAB＝45°，所以∠ACD＝135°，作DE⊥CD交BC于E，如图4，则△CDE为等腰直角三角形，所以CE= CD=,，然后证明△ACD≌△BED得到BE＝AC＝a，于是有BC＝CE＋BE＝．
【详解】(1)∵AC+BC=CD∴6+BC=×,∴BC=8，∴AB=10
(2)如图3，连接AC，AD，BD，
∵AB为直径，∴∠ACB=90，
∴AC=
∵∠BCD=45∘，
∴∠ACD=∠BCD=45，
∴AD=BD，
∴AC+BC=CD, 即7+24=CD，
∴CD=
(3)∵∠ACB=∠ADB=90，∴点C. D在以AB为直径的⊙O上，
∵DA=DB，∴∠DAB=45，∴∠DCB=∠DAB=45，∴∠ACD=135，
作DE⊥CD交BC于E，如图4，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴CE= CD=,∠CED=45，
∴∠BED=135∘，
在△ACD和△BED中
∴△ACD≌△BED(ASA)，
∴BE=AC=a，∴BC=CE+BE=
【点拨】本题考查了圆的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、圆周角定理和勾股定理．利用类比、转化的思想是解决本题的关键．