苏科版2024-2025学年九年级数学上册2.5 圆的对称性（专项练习）（基础练）（含答案）

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专题2.5 圆的对称性（专项练习）（基础练）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（23-24九年级上·广西南宁·期末）如图，在中，，，则的度数是（    ）A． B． C． D．2．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，，，则（     ）A．6 B． C．9 D．123．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ）A．4 B． C．5 D．4．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点，若点在的垂直平分线上，则的度数为（    ）  A． B． C． D．5．（22-23九年级上·广东东莞·期末）垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据．下列可以运用垂径定理解决问题的图形是（    ）A． B． C． D．6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（    ）  A．3 B． C． D．7．（2022·台湾·模拟预测）如图，点是⊙的弦上一点．若，，的弦心距为，则的长为（    ）A．3 B．4 C． D．8．（2024·四川广元·二模）如图，某考古学家要修复一面残破的铜镜，欲找到其圆心并确定其半径，按以下步骤操作：①作弦，分别以A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线；②作弦，分别以B，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 P，Q，作直线．直线，的交点O 即为圆心．连接，即为半径．若直线 交于点 D，交于点E，且，则铜镜的半径长是（      ）A．11 B．12 C．13 D．149．（22-23九年级上·北京海淀·期末）勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（    ）  A． B． C． D．10．（2024·云南·模拟预测）已知的半径为4，点、、分别为上的三个动点（三点均不重合），且线段长为3，则点到线段的最大值为（   ）A． B． C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，是的直径，，，则的度数是 °．  12．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图， 的直径，C是圆O上一点，点D平分，，则弦 13．（2024·湖南永州·二模）道县西洲公园是由一座三孔石拱桥将西洲与潇水西岸连在一起的．图为石拱桥的中孔侧面图，拱是圆弧形，桥的跨径所在弦，拱高，则拱所在圆的半径为 m．14．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，的半径是8，是的直径，M为上一动点，，则的最小值为 ．15．（21-22九年级上·山西·期末）如图，将半径为的圆形纸片沿一条弦折叠，折叠后弧的中点与圆心重叠，则弦的长度为 ．16．（21-22九年级上·四川·期末）如图，点O是半圆的圆心，D是以AB为直径的半圆上的一点，以OD为对角线作正方形OCDE，经过C，E的直线分别与半圆弧交于F，G．已知CE=6，则FG的长为 ．17．（20-21九年级·江苏·自主招生）已知圆O，，求 ．18．（2023·浙江·一模）在中，交于点交于．若，则 ．  三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，D、E分别为半径上的点，且．C为弧上一点，连接，且．求证：C为 的中点．20．（8分）（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知在半圆中，，，，求的长．21．（10分）（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，．（1）求证：；（2）连接 作直线求证：．22．（10分）（22-23九年级上·湖北·期中）如图，为的直径，为的弦，于点E，延长交于点F，，求证：．23．（10分）（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若．（1）连接，求证：；（2）若，，求的半径．24．（12分）（2023·贵州·模拟预测）如图，是的直径，弦与相交于点E，．（1）写出图中一对你认为全等的三角形 ；（2）求证：；（3）若的半径为4，，求的长．参考答案：1．D【分析】本题考查圆心角，弧，弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，由此即可得到答案．【详解】解：，，．故选：D．2．C【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．先根据垂径定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长．【详解】解：，，在中，．故选：C．3．B【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离，∴，，在中，，故选：B．4．A【分析】本题考查了垂径定理以及垂直平分线的性质．过点作于点，由点在的垂直平分线上可知，直线必过圆心，再根据直角三角形的性质求出的度数；根据得出的度数，根据等腰三角形的性质得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：过点作于点，连接，  点在的垂直平分线上，∴，直线必过圆心，，，，，，．故选：A．5．C【分析】过圆心作弦的垂线，则可运用垂径定理解决问题，从而对各选项进行判断．【详解】解：可以运用垂径定理解决问题的图形是．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟记垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．6．C【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．根据题意过点作于点，连接，从而得出是等腰直角三角形，结合图形由线段之间的关系推出，从而利用勾股定理推出，再由垂径定理得到，从而推出．【详解】解：如图，过点作于点，连接，  ，，，，是等腰直角三角形，，在中，，，，．故选：C．7．D【分析】过点作于点，根据垂径定理得出，继而得出，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，∵，，的弦心距为，∴,，，∴，在中，，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．8．C【分析】本题考查了垂直平分线的作图原理以及圆的垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．利用题目条件得到，然后在中利用垂径定理解答即可．【详解】解：由题意知：垂直平分，，，E在圆上，，，在中，，解得，故选：C．9．C【分析】连接，可得，从而得到，即可求解．【详解】解：如图，连接，  ∵是等边三角形，∴，即，∴．∴该角度可以为．故选：C【点睛】本题主要考查了弧，弦，圆心角的关系，图形的旋转，等边三角形的性质，熟练掌握弧，弦，圆心角的关系是解题的关键．10．D【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过点作垂线垂直于，交于点，则点到线段的值等于线段，易得当经过圆心时线段最长，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解此题的关键．【详解】解：如图所示，过点作垂线垂直于，交于点，则点到线段的值等于线段，当经过圆心时线段最长．则，连接，为直角三角形，故选D．11．【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，圆的基本性质；可求，从而可求，由等腰三角形的性质可求；掌握“同弧所对的圆心角相等”是解题的关键．【详解】解：，，，，，，，；故答案：．12．【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，三角形中位线定理．由题意可知点D平分， 为的中位线，根据直径求出半径，进而求出的长度，再根据中位线原理即可解答．【详解】解：∵点D平分，∴平分，∴为的中位线，∴，又∵ 的直径，∴，∵，∴，∴弦，故答案为：．13．【分析】将拱形图进行补充，构造直角三角形，利用勾股定理和垂径定理解答．本题考查了垂径定理和勾股定理；这两大定理是在圆有关运算中经常用到的．【详解】解：依题意，拱桥的跨度，拱高，，利用勾股定理可得：，即解得．即圆弧半径为．故答案为：14．16【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理．作点关于的对称点，连接与相交于点，根据轴对称确定最短路线问题，点为的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出为直径，从而得解．【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，此时，点为的最小值时的位置，由垂径定理，，∴，∵，为直径，∴为直径．则．故答案为：16．15．【分析】连接OC交AB于点D，再连接OA．根据轴对称的性质确定，OD=CD；再根据垂径定理确定AD=BD；再根据勾股定理求出AD的长度，进而即可求出AB的长度．【详解】解：如下图所示，连接OC交AB于点D，再连接OA．∵折叠后弧的中点与圆心重叠，∴，OD=CD．∴AD=BD．∵圆形纸片的半径为10cm，∴OA=OC=10cm．∴OD=5cm．∴cm．∴BD=cm．∴cm．故答案为：．【点睛】本题考查轴对称的性质，垂径定理，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键．16．【分析】如图所示，连接OD交FG于H，连接OF，由正方形的性质得到OD⊥CE，OD=CE=6，OD=2OH，由垂径定理得到FG=2FH，再利用勾股定理求出FH的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OD交FG于H，连接OF，∵四边形OCDE是正方形，∴OD⊥CE，OD=CE=6，OD=2OH，∴FG=2FH，OH=3，OF=OD=6，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．17．6【分析】过E作EF⊥OC，交CO的延长线于F，利用勾股定理计算出OC和OA，再证明△AOC≌△EOF，得到EF=AC=4，最后利用三角形面积公式计算即可．【详解】解：过E作EF⊥OC，交CO的延长线于F，∵AB=8，OD⊥AB，∴AC=BC=4，设OC=x，∵CD=2，∴AO=x+2，在△OAC中，，解得：x=3，即OC=3，∴OA=OE=5，∵∠ACO=∠F，∠AOC=∠EOF，AO=OE，∴△AOC≌△EOF（AAS），∴EF=AC=4，∴△OCE的面积为=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形面积，解题的关键是作出辅助线，利用勾股定理列出方程，求出OC的值．18．【分析】设的半径为x，则，，利用含30度角的直角三角形的性质列方程求得，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，根据垂径定理即可求解．【详解】解：设的半径为x，则，，∵中，，，∴，即，解得，∴，设交于点F，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴．  ．故答案为：．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，垂径定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．19．见解析【分析】本题考查的是圆心角，弧，弦的关系、全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．由证明，得出对应角相等，由圆心角，弧，弦的关系即可得出结论．【详解】证明：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，即C为的中点．20．【分析】连接交于，根据垂径定理的推论得出，根据题意得出，继而得出为等边三角形，即可求解．【详解】解：连接交于，如图，∵，∴，∴，∴，∵，∴，而，∴为等边三角形，∴．【点睛】本题考查了垂径定理的推论，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．21．(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，则；（2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答．【详解】（1）证明：∵，∴∴，即．∴．（2）证明：连接  ∵∴ ∴ ∴ ∵∴E、O都在的垂直平分线上． ∴22．证明见解析【分析】先根据垂径定理可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证．【详解】证明：，为的直径，，，∵延长交于点，，，，在和中，，，，．【点睛】本题考查了垂径定理、三角形全等的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．23．(1)见解析(2)【分析】本题考查了垂径定理，圆的相关性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些性质．（1）连接，由圆的性质可得，根据，可得，由垂径定理可得，然后借助角关系转化可得结论；（2）在由勾股定理可求解．【详解】（1）解：连接，，，，，为的下半圆弧的中点，，，，；（2）在中，，，（不合题意舍去）或，的半径为．24．(1)(2)详见解析(3)【分析】本题考查了圆的概念及性质的应用，垂径定理及勾股定理的应用是解题关键．（1）由得，再证明，从而证明出；（2）由垂径定理可得结论；（3）根据勾股定理得出，再由垂径定理得出的长即可．【详解】（1）解： ，，，，，，，，∴．故答案为：．（2）证明：∵，，．（3）解：，，，，，，，．