苏科版2024-2025学年九年级数学上册2.9圆周角(知识梳理与考点分类讲解)(学生版+解析)（含答案解析）

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专题2.9 圆周角（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.【要点提示】圆心角和圆周角的区别与联系不同点；顶点不同，圆周角的顶点在圆心，圆心角顶点是圆心；（2）弧所对的角不同：弧所对的圆心角只有一个，而所对的圆周角有无数个；相同点：角的两边都和圆相交.【知识点二】圆周角定理文字语言：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等；符号语言：如下图，所对的圆周角有，所对的圆心角为， 【要点提示】（1）因为圆心角的度数等于它的对弧的度数，所以圆周角的度数等于它所对弧的度的一半；（2）在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等.【知识点三】圆周角定理的推论1、文字语言：直径所对的圆周角是直角，90度圆周角所对的弦是直径；2、符号语言：如下图，（1)为的直径，; (2）在中，AB为的直径.【要点提示】（1）说明一条弦是直径，可以转化去证明这条弦所对的圆周角是直角；（2）在已知弦是直径时，考虑所对圆周角是直角，已知圆周角是90度时，考虑它所对的弦是直径.【知识点四】圆内接四边形及其性质圆内接四边形的定义：一个四边形四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形；圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形对角互补. 如下图： ； 【要点提示】（1）任何一个圆都有无数个内接四边形；（2）不是所有的四边形都有外接圆，只有这个四边形满足对角互补时才有外接四边形.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】圆周角概念的辨析【例1】（23-24九年级下·全国·课后作业）下列各图中，为圆周角的是（　　）A．B． C． D．【变式1】（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ）A． B．和 C．和 D．和【变式2】（2021·河北沧州·一模）如图，是上一个定点，将直角三角板的角顶点与点重合，两边与相交，设交点为，，绕点顺时针旋转三角板，直至其中一个交点与点重合时停止旋转，设，旋转角为，如图所示能反映与关系的为（ ） A．B．C． D．【题型2】利用圆周角定理进行求值或证明【例2】（23-24九年级下·江西九江·期中）课本再现如图1，的直径为，弦为，的平分线交于点．（1）分别求和的长．拓展延伸（2）如图2，若于点，连接．①求证：直线垂直平分．②求的长．【变式1】（2024·湖南·中考真题）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ）   A． B． C． D．【变式2】（2024·江苏扬州·一模）如图，是的直径，是的弦，若，则 ．【题型3】利用同弧或等弧所对的圆周角相等求值【例3】（21-22九年级上·河北石家庄·期中）如图，是的直径，弦于点E，点P在上，．（1）求证：；（2）若，求的半径．【变式1】（2024·陕西西安·一模）如图，是的直径，弦交于点,且， ．则的长为（　　）   A． B． C．2 D．【变式2】（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点A、B、C、D在上，，，则 °．【题型4】利用圆周角定理的推论求值或证明【例4】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，是的直径，是的中点，于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径及的长． 【变式1】（2024·陕西西安·三模）如图，为的的两条直径，点E为弧的中点，连接，若，则的度数为（    ）A． B． C． D．【变式2】（2024·江苏无锡·三模）如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则等于 ． 【例5】（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形内接于，，，过点C作，使得，交的延长线于点E．（1）求证：．（2）若，求的长．【变式1】（23-24九年级上·山东滨州·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点，点的坐标为，点是第三象限内上一点，，则的半径为（    ） A．4 B．5 C．6 D．【变式2】（2024·浙江温州·三模）如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 【题型6】利用圆内接四边形性质求值或证明【例6】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．  （1）求的度数；（2）过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长．【变式1】（2021九年级·安徽·专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4【变式2】（2024·江苏镇江·二模）如图，是内接四边形的一个外角，连接，若，则的度数为 °．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·安徽·中考真题）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，．（1）求证：；（2）设，垂足为M，若，求的长．【例2】（2023·青海西宁·中考真题）如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．  求证：；若，，，求的长． 2、拓展延伸【例1】（23-24八年级下·陕西·阶段练习）如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【例2】（2024·浙江温州·三模）如图，是矩形的外接圆，的角平分线交的延长线于点E，交于点F．连结，，，已知．（1）证明：为等腰直角三角形．（2）若点C平分弧，求的面积．（3）当的某一边的长度是的2倍时，求的长． 专题2.9 圆周角（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.【要点提示】圆心角和圆周角的区别与联系不同点；顶点不同，圆周角的顶点在圆心，圆心角顶点是圆心；（2）弧所对的角不同：弧所对的圆心角只有一个，而所对的圆周角有无数个；相同点：角的两边都和圆相交.【知识点二】圆周角定理文字语言：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等；符号语言：如下图，所对的圆周角有，所对的圆心角为， 【要点提示】（1）因为圆心角的度数等于它的对弧的度数，所以圆周角的度数等于它所对弧的度的一半；（2）在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等.【知识点三】圆周角定理的推论1、文字语言：直径所对的圆周角是直角，90度圆周角所对的弦是直径；2、符号语言：如下图，（1)为的直径，; (2）在中，AB为的直径.【要点提示】（1）说明一条弦是直径时，可以转化到去证明这条弦所对的圆周角是直角；（2）在已知弦是直径时，考虑所对圆周角是直角，已知圆周角是90度时，考虑它所对的弦是直径.【知识点四】圆内接四边形及其性质圆内接四边形的定义：一个四边形四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形；圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形对角互补. 如下图： ， 【要点提示】（1）任何一个圆都有无数个内接四边形；（2）不是所有的四边形都有外接圆，只有这个四边形满足对角互补时才有外接四边形.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】圆周角概念的辨析【例1】（23-24九年级下·全国·课后作业）下列各图中，为圆周角的是（　　）A．B． C． D．【答案】D【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义．根据由圆周角的定义逐项判定即可．解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意；B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意；C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意；D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意；故选：D．【变式1】（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ）A． B．和 C．和 D．和【答案】C【分析】根据圆周角的定义逐个选项判断即可解答．本题考查了圆周角的定义，熟记定义“顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角”是解题的关键．解：是所对的圆周角，是所对的圆周角，是所对的圆周角，是所对的圆周角，不是圆周角，故选：C．【变式2】（2021·河北沧州·一模）如图，是上一个定点，将直角三角板的角顶点与点重合，两边与相交，设交点为，，绕点顺时针旋转三角板，直至其中一个交点与点重合时停止旋转，设，旋转角为，如图所示能反映与关系的为（ ） A．B．C． D．【答案】A【分析】根据圆周角的定义及特点即可求解．解：依题意可知∠BMA是圆周角，弦AB为∠BMA所对的弦，当绕点顺时针旋转三角板时，∠BMA的大小不变，故弦AB长度不变，即y不随的变化而变化，故选A．【点拨】此题主要考查圆周角的性质，解题的关键是熟知圆周角的定义．【题型2】利用圆周角定理进行求值或证明【例2】（23-24九年级下·江西九江·期中）课本再现如图1，的直径为，弦为，的平分线交于点．（1）分别求和的长．拓展延伸（2）如图2，若于点，连接．①求证：直线垂直平分．②求的长．【答案】（1）；；（2）①见解析；②【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、圆周角定理：（1）根据圆周角定理得，在和中，利用勾股定理即可求解；（2）①连接，延长交与点，根据等角对等边可证得，再根据可证得，进而可证得，根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论；②由（1）得：，由①得：，点是的中点，进而可得，根据即可求解；添加适当的辅助线解决问题是解题的关键．解：（1）为的直径，，在中，，，，是的角平分线，，，在中，，；（2）①连接，延长交与点，如图： 为的直径，，是的角平分线，且，，，，（公共边），，，，,直线垂直平分;②由（1）得：，由①得：，点是的中点，是的中位线，，．【变式1】（2024·湖南·中考真题）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ）   A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知，即可得到答案．解：根据题意，圆周角和圆心角同对着，，，．故选：C．【变式2】（2024·江苏扬州·一模）如图，是的直径，是的弦，若，则 ．【答案】58【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余．连接，由是的直径可得，又由可得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．解：连接， ∵是的直径，∴，又∵，∴，故答案为：．【题型3】利用同弧或等弧所对的圆周角相等求值【例3】（21-22九年级上·河北石家庄·期中）如图，是的直径，弦于点E，点P在上，．（1）求证：；（2）若，求的半径．【答案】(1)证明见解析 (2)9【分析】本题主要考查了勾股定理，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定：（1）根据同圆中，同弧所对的圆周角相等可得，再由条件可得，然后可得；（2）设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． （1）证明：∵，，∴，∴；（2）解：如图所示，连接， 设，则，在中：由勾股定理得，在中：由勾股定理得，∴，解得 ∴的半径为9．【变式1】（2024·陕西西安·一模）如图，是的直径，弦交于点,且， ．则的长为（　　）   A． B． C．2 D．【答案】C【分析】本题考查圆中同一条弧所对的各个角的关系以及垂径定理的逆运用，还涉及勾股定理的运用，需能够准确推理论证出所需用的条件．关键在于找到要求线段与已知条件之间隐含的逻辑论证关系，进而顺利求出的长度．解：如图，连接，   则，又∵，∴，∴，∴，∴，设的半径为，则，，在中，，即，解得：，∴．故答案为：C．【变式2】（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点A、B、C、D在上，，，则 °．【答案】【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和，平行线性质，等腰三角形性质，连接，根据圆周角定理得到，利用平行线性质求出的度数，根据等边对等角，最后根据三角形内角和求出结果即可．解：如图，连接，，，，在中，，故答案为：．【题型4】利用圆周角定理的推论求值或证明【例4】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，是的直径，是的中点，于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径及的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)半径为，BF为【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等得，根据直径所对的圆周角是直角得，再结合，可得出，即可得证；（2）根据圆心角、弧、弦之间的关系得，在中，得，得出的半径，再根据，得，继而得到，设，则，在中，根据勾股定理得出，解得：，即可得解．解：（1）证明：∵是的中点，∴，∴，∵是的直径，∴，即，∵，∴，即，∴，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，在中，，∴的半径为，∵，∴，在中，，设，则，∵在中，，∴，解得：，∴，∴的半径为，的长为．【点拨】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，圆心角、弧、弦之间的关系，直角三角形两锐角互余，等角对等边，勾股定理，等积法等知识点．掌握圆的基本性质是解题的关键．【变式1】（2024·陕西西安·三模）如图，为的的两条直径，点E为弧的中点，连接，若，则的度数为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．连接，根据圆周角定理得到，在根据等腰三角形的性质结合三角形外角的性质求出，由三角形内角和定理求出，根据点E为弧的中点，求出，由圆周角定理即可求解．解：连接， ，，，，，，点E为弧的中点，，，故选：C．【变式2】（2024·江苏无锡·三模）如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则等于 ． 【答案】/20度【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握圆周角的相关知识是解题关键．首先根据题意可得，，易知，进而可得，然后根据三角形外角的性质求解即可．解：∵为的直径，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴．故答案为：．【例5】（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形内接于，，，过点C作，使得，交的延长线于点E．（1）求证：．（2）若，求的长．【答案】(1)见解析 (2)【分析】（1）如图，连接，根据推出，再证明，，进而证明，即可证明．（2）先证明是的直径，得到．由（1）可得．在中求出；在中，． （1）证明：如图，连接． ，，．，，．，，，．在与中，，．（2）解：如图，连接．，是的直径，．由（1）可得．，．在中，；在中，．【点拨】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，圆内接四边形的性质，等边对等角，勾股定理，90度圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．【变式1】（23-24九年级上·山东滨州·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点，点的坐标为，点是第三象限内上一点，，则的半径为（    ） A．4 B．5 C．6 D．【答案】B【分析】由题意知，由，可得为的直径，由四点共圆，可求，则，然后求直径，求半径即可．解：∵点的坐标为，∴，∵，∴为的直径，∵四点共圆，∴，∴，∴，∴半径为5，故选：B．【点拨】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，圆内接四边形对角互补，含的直角三角形，三角形内角和定理等知识．熟练掌握的圆周角所对的弦为直径，圆内接四边形对角互补，含的直角三角形是解题的关键．【变式2】（2024·浙江温州·三模）如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 【答案】【分析】连接，由以为直径作，得，，即可得动点在以为直径的圆上运动，当，，在一直线上时，根据，即可求解．解：中，，，，连接，由以为直径作，，，，，动点在以为直径的圆上运动，为圆心，当，，在一直线上时，即的最小值为故答案为：．【题型6】利用圆内接四边形性质求值或证明【例6】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．  （1）求的度数；（2）过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长．【答案】(1) (2)圆的半径长是4．【分析】（1）证明，则，根据圆内接四边形的性质得到；（2）证明是等边三角形，则，得到，则，则，再利用直角三角形的性质即可到答案． （1）解：∵， ∴，∵平分，   ∴，∵     ， ∴    ， ∴，，∵四边形是圆内接四边形． ∴．∴；（2）∵，  ∴是圆的直径，∵，   ∴  ，∴是等边三角形，∴，∴   ，   ∴ ， ∵，    ∴， ∴ ， ∴，∵， ∴，∴圆的半径是4．【点拨】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定和性质、含角直角三角形的性质等知识，得到是解题的关键．【变式1】（2021九年级·安徽·专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4【答案】D【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可．解：连接OD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠A=60°，∵OD=OA，∴△AOD是等边三角形，∴AD=OD=OA，∵AD=2，∴OA=OD=OB=2，∴AB=2+2=4，故选：D．【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键．【变式2】（2024·江苏镇江·二模）如图，是内接四边形的一个外角，连接，若，则的度数为 °．【答案】【分析】此题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，根据题意得到，，根据同角的补角相等和圆周角定理即可得到．解：∵是内接四边形的一个外角，∴，∴故答案为：第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·安徽·中考真题）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，．（1）求证：；（2）设，垂足为M，若，求的长．【答案】(1)见详解 (2)．【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键．（1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即．（2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出，的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出．解：（1）证明：∵，∴，又与都是所对的圆周角，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵是直径，∴，∴，故，即．（2）由（1）知，，∴，又，，∴，，∴圆的半径，∴，在中．，∴即的长为．【例2】（2023·青海西宁·中考真题）如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．  求证：；若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)【分析】（1）由垂径定理，得  ，由圆周角定理，得；（2）可证得；中，勾股定理求得，于是. （1）证明：∵  是的半径∴，  （垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）∴（同弧或等弧所对的圆周角相等）（2）解：∵  又∵∴（两角分别相等的两个三角形相似）  ∴（相似三角形对应边成比例）∵  ∴在中    ∴（勾股定理）  即  ∴.【点拨】本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理；由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键．2、拓展延伸【例1】（23-24八年级下·陕西·阶段练习）如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查矩形的性质、直径所对的圆周角是直角、 勾股定理, 熟练掌握以上知识是解题的关键．先根据矩形的性质，证明，故可得在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动，连接交弧于点，此时取最小值，利用勾股定理算出，即可算出．解：∵，四边形为矩形，∴，∴，∴，∴在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动，如图所示，连接交弧于点，此时取最小值， ∵，，∴，∴，∴，即的最小值为，故选．【例2】（2024·浙江温州·三模）如图，是矩形的外接圆，的角平分线交的延长线于点E，交于点F．连结，，，已知．（1）证明：为等腰直角三角形．（2）若点C平分弧，求的面积．（3）当的某一边的长度是的2倍时，求的长．【答案】(1)见解析 (2) (3)或或【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题关键．（1）先得出是直径，进而根据角平分线的定义可得，根据得出，即可得证；（2）连接，过点作于点，证明是等腰直角三角形，则，进而根据三角形的面积公式，即可求解；（3）连接，得出是等腰直角三角形，进而分三种情况讨论，即可求解． （1）解：∵是矩形的外接圆，∴，∴是直径，∴，又∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形；（2）解：如图所示，连接，过点作于点，同（1）可得是直径， ∵点C平分弧，∴， ∴,垂直平分，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴；（3）解：如图所示，连接，，由（1）可得，，∴是等腰直角三角形，则，∵，∴，又∵是直径，∴是等腰直角三角形，①当时，则，∴；②当时，∴，又∵，∴，∴，解得：；③当时，∵，，∴，则，设，则，，∴，在中，，∴，解得：（舍去）或，即，综上所述，或或．