苏科版2024-2025学年九年级数学上册2.10 圆周角（专项练习）（基础练）（含答案）

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专题2.10 圆周角（专项练习）（基础练）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2024·浙江温州·三模）如图，，是的直径，弦直径，连结，，若，则的度数为（    ）A． B． C． D．3．（2023·山西朔州·模拟预测）已知命题“同圆中，相等角所对的弦相等”，在如图所示的图形中找出一个反例，可以判断该命题错误的是（    ）  A． B． C． D．4．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，若，则的度数为（    ）A． B． C． D．5．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，是的直径，，则的度数为（　　）A． B． C． D．6．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，内接于，点在上，连接，若，则的直径为（    ）A．12 B． C．6 D．7．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，四边形内接于⊙O，是的直径，连接交于点E，若，则的度数是（    ）  A．100° B．105° C．110° D．115°8．（2021九年级·安徽·专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　）A． B．2 C．2 D．49．（2024·陕西宝鸡·三模）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点、，筒车上均匀分布着若干盛水筒，表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接、，点在的延长线上，若，则（    ）  A． B． C． D．10．（2024·吉林长春·一模）如图，一个零刻度落在点A的量角器（半圆O）的直径为，等腰直角三角尺的一顶点与点B重合，它的斜边与半圆交于点C，直角边与半圆交于点D．若点C在量角器上的读数为，则点D在量角器上的读数为（    ）A． B． C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（21-22九年级上·江苏常州·期中）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝ 12．（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，是的直径，若，连接，则的度数是 （2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，为直径，，，则   15．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别相交于点E，F，且，那么的度数为 ．16．（2022九年级·福建·竞赛）如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ．17．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，在中，是优弧上一点，，连接，，延长交于点，则图中角度大小为的角是 ．18．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）两个大小不同的半圆叠放如图所示，其圆心均为点，直径和在同一直线上，为小半圆的中点，延长和分别交大圆于点和点，连接，若为中点，则的长为 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，以为直径作，交于点，交于点．（1）求证：；（2）若，求的度数．20．（8分）（2024·甘肃兰州·一模）如图，在中，，与相切于点A，与相交于点C，延长交于点D，连接．（1）求的大小；（2）当时，求的长．21．（10分）（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，圆内接四边形的对角线交于点平分，．（1）求证：为圆的直径；（2）过点作交的延长线于点，若，求此圆半径的长．22．（10分）如图，、、、是上的四个点，．（1）判断的形状，并证明你的结论；（2）探究、、之间的数量关系，并证明你的结论．23．（10分）（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图1，中，，是外接圆上一点，连接，过点B作，交的延长线于点，交于点．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如图2，若为直径，，，求的长．24．（12分）【问题背景】如图1，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90o，AD=BD， 探究线段AC，BC，CD之间的数量关系 小明同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90o到△AED处，点B,C分别 落在点A,E处(如图2)，易证点C,A,E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=CD，从而得出结论：AC+BC= CD【简单应用】(1)在图1中，若AC=6,CD=，则AB= .(2)如图3,AB是⊙O的直径，点C． D在⊙O上，∠C=45o，若AB=25，BC=24，求CD的长．【拓展延伸】(3)如图4,∠ACB=∠ADB=90o,AD=BD，若AC=,CD=,求BC的长.(用含,的代数式表示)参考答案：1．B【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角，由此即可得出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键．【详解】解：由图可得：和符合圆周角的定义，顶点不在圆周上，的一边和圆不想交，故图中的圆周角有和，共个，故选：B．2．A【分析】设与相交于点F，由平行线的性质可得出，由同弧所对的圆周角相等可得出，由等边对等角可得出，根据角的和差可得出，由对顶角相等可得出，由三角形内角和可得出，即可求出答案．【详解】解：设与相交于点F，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，∵，∴，即，∴，即，故选：A．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理以及等边对等角等知识点，掌握这些性质是解题的关键．3．D【分析】根据圆周角的定义、圆周角定理判断即可．【详解】解：A、当时，，不能判断命题“同圆中，相等角所对的弦相等”是假命题，故此选项不符合题意；B、当时，，不能判断命题“同圆中，相等角所对的弦相等”是假命题，故此选项不符合题意；C、当时，，不能判断命题“同圆中，相等角所对的弦相等”是假命题，故此选项不符合题意；D、当时，，能判断命题“同圆中，相等角所对的弦相等”是假命题，故此选项符合题意；故选：D．【点拨】本题考查的是命题的真假判断，圆周角定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．4．D【分析】本题考查圆周角定理，由平角定义求出，由圆周角定理得到．关键是由圆周角定理得到．【详解】解：∵，∴，∴．故选：D．5．C【分析】本题考查了直径所对的圆周角等于，同弧所对的圆周角相等，掌握以上知识是解题的关键．根据直径所对的圆周角等于，结合已知条件即可求得，即可求得，根据同弧所对的圆周角相等求出结论．【详解】解：是的直径，．∵，∴．∵与是同弧所对的圆周角，∴．故选：C．6．A【分析】本题主要考查圆周角定理和直角三角形的性质，连接，由，可得为的直径，当，可得，在中，，则，故可得解．【详解】解：连接，如图，∵，即，∴为的直径，∵所对的圆周角是，∴在中，，，故选：A．7．D【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．根据圆周角定理得到，求得根据等腰三角形的性质得到，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．【详解】解：∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∵四边形内接于⊙O，∴．故选：D．8．D【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可．【详解】解：连接OD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠A=60°，∵OD=OA，∴△AOD是等边三角形，∴AD=OD=OA，∵AD=2，∴OA=OD=OB=2，∴AB=2+2=4，故选：D．【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键．9．D【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角是解题的关键．如图2，连接，则，，由，可得，根据，求解作答即可．【详解】解：如图2，连接，  ∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∴，故选：D．10．D【分析】本题考查同弧的圆心角和圆周角的关系，三角形内角和定理等知识，熟练掌握同弧的圆心角和圆周角的关系是解题的关键．根据题意先求出的度数，进而求出，然后根据三角形内角和得出的度数，即可得出点D在量角器上的读数．【详解】解：连接，，如图所示，点C在量角器上的读数为，，，是等腰三角形，，，，，，，则点D在量角器上的读数为，故选：D．11．54°【分析】根据圆的基本性质，可得∠OEB=∠OBE，∠AOB=18°，从而得到∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°，继而得到∠BOE=108°，即可求解．【详解】解：∵CD是⊙O的直径，∴OD=OE=OB，∴∠OEB=∠OBE，∵AB=OD，∴AB=OB，∴∠AOB=∠A，∵∠A＝18°，∴∠AOB=18°，∴∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°，∴∠BOE=108°，∴∠EOD=180°-∠BOE-∠AOB=54°．故答案为：54°【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．12．/度【分析】本题考查圆周角定理，连接，，圆周角定理，得到，再根据角的和差关系进行求解即可．【详解】解：连接，，∵是的直径，∴，∵，∴，∴，∴；故答案为：．13．【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．【详解】解：如图所示，连接，∵内接于，是直径，∴，∵,，∴∴，故答案为：．14．【分析】本题考查的是圆周角定理，解题的关键是先根据三角形内角和定理求出的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【详解】，，，，故答案为：．15．/45度【分析】本题考查三角形外角的定义和性质，圆内接四边形的性质，根据三角形外角的性质求出，再根据圆内接四边形对角互补得出，即可求解．【详解】解：，，，四边形为圆的内接四边形，，，故答案为：．16．【分析】连接，并延长交圆于点，连接，，可得，从而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积．【详解】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，．则，．∵，∴//，∴∴BE=CD，∵ ∴．在Rt△中，AB=10，所以，由勾股定理得，∴．所以圆的面积为．【点拨】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作出辅助线构造直角是解答本题的关键．17．【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，三角形外角的定义与性质等知识，根据圆周角以及三角形的相关知识确定图中各个角的数量关系即可作答．【详解】连接，如图，∵是优弧上一点，，∴，即：，∵，，∴，∴，∴结合图形有：，，∴，∵，∴，即可以确定角度大小为的角为：，故答案为：．18．/【分析】先由垂径定理得，根据圆的性质，得，结合直径所对的圆周角是90°，得，再根据勾股定理列式计算，即可作答．【详解】解：如图：连接并延长交于一点H，连接∵两个大小不同的半圆叠放如图所示，其圆心均为点，直径和在同一直线上，为小半圆的中点，∴∵为中点，∴∵为直径∴设则在中，即解得（负值已舍去）∴故答案为：【点拨】本题考查了圆周角定理，垂直定理，勾股定理，公式法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．19．(1)见解析(2)【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键．（1）连接，先由圆周角定理得，则，再由等腰三角形的性质得，即可得出结论；（2）连接，先由等腰三角形的性质得，再由三角形内角和定理求出，即可得出结论．【详解】（1）证明：连接，如图1所示：是的直径，，，，，．（2）解：连接，如图2所示：是的直径，是半径，，，．20．(1)(2)【分析】（1）由切线的定义得出，则，，结合，由三角形内角和定理则可以求出．（2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，证明为等边三角形，再由含直角三角形的性质得出，进而可得出，，由勾股定理即可求出．【详解】（1）解：∵与相切于点A，∴，∵，∴，∴，∵∴，（2）连接，则，∵，∴为等边三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查了切线的定义，三角形内角和定理，直径所对的圆周角等于，等边三角形的判定以及性质，含直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这写性质是解题的关键．21．(1)证明见解析(2)圆的半径长是6【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，即可得出是直径；（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∴，即平分．∵平分，∴，∴，∴，即，∴是直径；（2）解：∵，，∴，则．∵，∴．∵，∴，∴是等边三角形，则．∵平分，∴．∵是直径，∴，则．∵四边形是圆内接四边形，∴，则，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵是直径，∴此圆半径的长为．【点拨】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．22．(1)等边三角形，见解析(2)，见解析【分析】（1）根据圆周角定理得到，，根据等边三角形的判定定理证明；（2）在上截取，得到为等边三角形，证明，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可．【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，，，∴是等边三角形；（2）解：，理由如下：在上截取，∵，∴为等边三角形，∴，，在和中，，∴∴，∴．【点拨】本题考查的是圆周角定理，全等三角形的判定和性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．23．(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，圆内接四边形的性质等等：（1）利用平行线的性质，等弧对相等的圆周角，证得即可；（2）连接，，利用平行线的性质证得，再利用圆的内接四边形的性质证得，得到，再利用圆周角定理得到，最后在中即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形；（2）解：连接，，如图所示，∵，∴，∵四边形是的内接四边形，∴，∴，∴，∵为直径，∴，∵，，∴，∴。24．（1）10；（2）；（3）【分析】（1）利用题中结论先计算出BC＝8，然后根据勾股定理计算AB的长；（2）如图3，连接AC，AD，BD，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据勾股定理计算出AC＝7，再证明AD＝BD，则可利用题中结论求出CD；（3）根据圆周角定理可判断点C、D在以AB为直径的⊙O上，再利用DA＝DB得到∠DCB＝∠DAB＝45°，所以∠ACD＝135°，作DE⊥CD交BC于E，如图4，则△CDE为等腰直角三角形，所以CE= CD=,，然后证明△ACD≌△BED得到BE＝AC＝a，于是有BC＝CE＋BE＝．【详解】(1)∵AC+BC=CD∴6+BC=×,∴BC=8，∴AB=10 (2)如图3，连接AC，AD，BD， ∵AB为直径，∴∠ACB=90o， ∴AC= ∵∠BCD=45∘， ∴∠ACD=∠BCD=45o， ∴AD=BD， ∴AC+BC=CD,  即7+24=CD，∴CD= (3)∵∠ACB=∠ADB=90o，∴点C. D在以AB为直径的⊙O上， ∵DA=DB，∴∠DAB=45，∴∠DCB=∠DAB=45o，∴∠ACD=135o， 作DE⊥CD交BC于E，如图4， ∴△CDE为等腰直角三角形， ∴CE= CD=,∠CED=45o，∴∠BED=135∘， 在△ACD和△BED中∴△ACD≌△BED(ASA)，∴BE=AC=a，∴BC=CE+BE=【点拨】本题考查了圆的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、圆周角定理和勾股定理．利用类比、转化的思想是解决本题的关键．