苏科版2024-2025学年九年级数学上册2.16 正多边形与圆（专项练习）（基础练）（含答案）

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专题2.16 正多边形与圆（专项练习）（基础练）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（    ）A． B． C． D．2．（22-23九年级下·浙江·开学考试）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是(   )A．14 B．18 C．16 D．203．（2024·安徽宿州·二模）如图，四边形内接于圆，且、都是圆的内接正五边形的边，则的度数为（    ）  A． B． C． D．4．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，是正六边形的中心．在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（）A． B． C． D．5．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，恰好拼成一个菱形，若拼成的菱形的面积为2，则原正六边形纸片的面积为（    ）A．4 B．6 C．8 D．106．（2024·山西大同·三模）如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（    ）A． B． C． D．不确定7．（2023·河北承德·一模）如图，正六边形的两条对角线、把它分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，则该三部分的面积比为（    ）A． B． C． D．8．（2024·浙江·模拟预测）要在边长为8米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为3米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是 （   ）A．3 B．4 C．5 D．69．（2024·河北保定·一模）如图，画出了的内接正四边形和内接正五边形，且点在，之间，则（    ）  A． B． C． D．10．（2024·江苏连云港·二模）如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段 、上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ）  A． B． C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（23-24九年级上·上海·期中）如果正多边形的边数是（），它的中心角是，那么关于的函数解析式及其定义域为 ．12．（2024·上海·模拟预测）如图，正方形内切圆半径为2，点G为边上一点，作正方形，则 13．（23-24八年级下·广西钦州·期中）如图，正六边形的边长为1，顶点与原点重合，将对角线绕点顺时针旋转，使得点落在数轴上的点处，则点表示的数是 ．  14．（2024·四川南充·三模）如图，点为正五边形的中心，连接并延长与的延长线交于点，则的度数为 ．15．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正六边形内接于，对角线交于点，已知的半径为，则的长为 ．  16．（2024·江西抚州·一模）如图，小明计划用一张正方形的彩色皮革，剪出一个正六边形的杯垫，正方形的边长为，则裁出的矩形的边的长为 ．  17．（2023·河北保定·一模）如图，在正六边形中，，O为的中点，以O为圆心，为半径作，M为上一动点，设点M到正六边形上的点的距离为d．（1） ．（2）当面积最小时，点M到的距离为 ，d的最大值为 ．18．（2021九年级·河北·专题练习）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下：①作出半径OF的中点H．②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G．③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E．已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号）三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2020·江苏盐城·中考真题）如图，点是正方形，的中心．  （1）用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接求证：．20．（8分）（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，正六边形内接于，半径为．  (1)求的长度；(2)若G为的中点，连接，求的长度．21．（10分）（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积．22．（10分）（22-23九年级上·云南昆明·期中）如图，点、、、都在上，，．(1)求的度数；(2)求的度数；23．（10分）（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P和面积S．24．（12分）（21-22九年级上·广西南宁·期中）如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”．(1)角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为，将正n边形的“接近度”定义为．于是越小，该正n边形就越接近于圆，①若，则该正n边形的“接近度”等于 ．②若，则该正n边形的“接近度”等于______．③当“接近度”等于______．时，正n边形就成了圆．(2)边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为．分别计算时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？参考答案：1．D【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和，正多边形的中心角，根据题意列出方程求得边数，即可求得中心角的度数．【详解】解：根据题意，得，解得，∴这个正n边形的中心角为，故选：D．2．D【分析】本题主要考查正多边形的有关知识．根据正多边形的中心角为计算即可．【详解】解：∵一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，∴该正多边形的边数为：，故D正确．故选：D．3．D【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形与圆的性质和圆周角定理是解题的关键．连接，，，先根据正五边形的性质，求出，从而求得，然后根据圆周角定理求解即可．【详解】解：连接，，，如图，  ∵AB、BC都是圆的内接正五边形的边，∴，∴，∴．故选：D．4．C【分析】此题考查了正六边形的性质，熟练掌握正六边形的有关性质是解题的关键．根据点的坐标求出的长，再根据正六边形的性质求出，进而求出的坐标即可．【详解】解：如图，连接、，∵点的坐标为，∴，∴，∴，故选:．5．B【分析】本题主要考查的是正多边形与圆，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键．如图：可将正六边形分为6个全等的三角形，拼成的四边形由两个三角形组成，剩余部分由4个三角形组成，据此可求得剩余部分的面积即可．【详解】解：如图： 将正六边形可分为6个全等的三角形，∵拼成的四边形的面积为2，∴每一个三角形的面积为1，∵剩余部分可分割为4个三角形，∴原正六边形纸片的面积为6．故选B．6．A【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，根据正多边形的性质求得中心角为，进而根据圆周角定理即可求解．【详解】解：连接，依题意，∵，∴故选：A．7．A【分析】根据正多边形的性质，三角形中线的性质即可求解．【详解】解：如图，，∴Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分的面积比为，故选：A．【点拨】本题考查了正多边形，三角形中线的性质，熟记图形的性质并准确识图是解题的关键．8．B【分析】本题考查了正多边形和圆，要使整个草坪都喷到水，必须计算出正方形的外接圆的面积是解题的关键．根据已知可计算得到每个喷水龙头的喷洒面积，及正方形的外接圆的面积，则此时就不难求得需安装这种喷水龙头的个数．【详解】解：∵正方形的边长为，∴正方形的外接圆的半径是，则其外接圆的面积是，∵每个喷水龙头喷洒的面积是，则．故选：B．9．B【分析】本题考查正多边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握正多边形的性质和圆周角定理．连接，，，根据正多边形的性质可得，，进而得到，最后根据圆周角定理即可求解．【详解】解：如图，连接，，，则，°，，则．故选:B．  10．D【分析】本题考查正方形内切圆的性质，正方形的性质、勾股定理切线长定理等知识，设与相切与点K，设正方形的边长为．因为是切线，可得，，设，在中，以为，则，推出，根据，构建方程求出a即可解决问题；【详解】解：如图所示，设与相切与点K，由题意得，由切线长定理可知，  设正方形边长为，，则∴，由勾股定理得，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴（负值舍去），∴，∴的半径为，故选：D．  11．【分析】本题考查了正多边形的计算，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到边数．【详解】解：由题意可得：边数为，则．故答案为：．12．8【分析】本题考查了正方形的性质，内切圆的性质，根据正方形内切圆半径为2，得出，结合，再代入数值进行计算，即可作答．【详解】解：依题意，∵正方形内切圆半径为2∴∵四边形是正方形∴则故答案为：813．【分析】过点B作于点D，利用正六边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可．本题考查了正六边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和勾股定理是解题的关键．【详解】过点B作于点D，∵正六边形的边长为1，顶点与原点重合，∴，，，∴，  ∴，根据旋转性质，得，∴点C表示的数是，故答案为：．14．/度【分析】本题考查正多边形和圆，根据正五边形的外角和为求出外角度数，再直角三角形两锐角互余得出结果．【详解】解：由题意可知，直线是正五边形的对称轴，因此，五边形是正五边形，，，故答案为：．15．1【分析】先由圆与内接正六边形性质得到是等边三角形，是线段的垂直平分线，从而确定，在中，由含的直角三角形性质、勾股定理即可得到答案．【详解】解：连接，连接并延长，交于，如图所示：  在正六边形中，对角线，且每一个内角均为，，，，，则，正六边形内接于，，且，则是等边三角形，，，是线段的垂直平分线，则，即，在中，，，设，则，由勾股定理可得，解得，，故答案为：．【点拨】本题考查圆与多边形，涉及正多边形性质、圆的性质、等边三角形的判定与现在、垂直平分线的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆与多边形综合题型的解法是解决问题的关键．16．【分析】本题考查的是正多边形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，先证明，，再结合全等三角形的性质与勾股定理可得结论．【详解】解：如图，标注正六边形的顶点，  设正六边形的边长为，∴，，∴，∵正方形，∴，，∴，，∴，，∴，解得：，∴，，∴，∴，故答案为：17． 4 /【分析】（1）连接，可得是等边三角形，即可；（2）当垂直平分时，面积最小，设的延长线交于点N，连接，根据勾股定理求出的长，即可；根据题意得当点M在线段上时，d最大，即可．【详解】解：（1）连接，在正六边形中，，，∴是等边三角形，∴；故答案为：4（2）如图1，当垂直平分时，面积最小，设的延长线交于点N，连接．∴，，，∴，∴，即此时M到的距离为．如图2，当点M在线段上时，d最大，．故答案为：；【点拨】本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆的性质是解题的关键．18．【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可．【详解】解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点，∴OH=，在Rt△OAH中，由勾股定理∴AH＝，∵AH＝HG＝，∴OG＝GH﹣OH＝﹣1，在Rt△AOG中，由勾股定理得，∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2．故答案为：10﹣2．【点拨】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键．19．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作BC的垂直平分线即可求解；（2）根据题意证明即可求解．【详解】如图所示，点即为所求．  连接由得：是正方形中心，在和中，．【点拨】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形的性质、垂直平分线的作图及全等三角形的判定与性质．20．(1)(2)【分析】（1）连接，，根据正六边形的性质可得，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而可求解．（2）连接，，由为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解．【详解】（1）解：连接，，如图：  六边形是正六边形，，又，是的半径，且半径为，，是等边三角形，．（2）连接，，如图：  则为的直径，，，由（1）得：，在中，，，G为的中点，，在中，，．【点拨】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理及圆周角，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键．21．周长，面积【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法．【详解】解：正六边形的周长；连接，过点O作于点G，∵该六边形为正六边形，∴，∴为等边三角形，∴，，∵，正六边形的面积．22．(1)(2)【分析】（1）根据垂径定理得出，再利用圆周角定理得出的度数:（2）连接，根据圆内接四边形的性质便可求得结果．【详解】（1）∵点、、、都在上，∴，∵，∴，∴的度数为（2）连接，∵，∴，∴，∵，∴【点拨】此题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理和圆周角定理等知识，熟练掌握和运用这些定理是解决问题的关键．23．；；【分析】由正n边形边长为a，边心距为r，利用勾股定理即可求得正n边形的半径R，继而求得周长P，然后由面积求得答案．【详解】解：∵正n边形边长为a，，，  ∴．∵边心距为r，∴正n边形的半径 ，∴周长，∴面积．【点拨】本题考查了正多边形与圆的知识．理解正多边形面积的求法是解答关键．注意掌握数形结合思想的应用．24．(1)①120；②18；③0(2)时，；时，，当边的“接近度”等于0时，正n边形就成了圆【分析】（1）①根据正n边形的“接近度”的定义，即可求解；②根据正n边形的“接近度”的定义，即可求解；③根据正n边形的“接近度”的定义，即可求解；（2）结合正多边形的外接圆的半径与正多边形的中心到各边的距离构造的直角三角形，求解即可．【详解】（1）解：①当时， ，∴“接近度”等于；故答案为：120②当时， ，∴“接近度”等于；故答案为：18③∵越小，该正n边形就越接近于圆，∴当时，该正n边形就成了圆，此时，∴；故答案为：0（2）解：如图，当时，为正的外接圆，，∴，∴，∴，∴；如图，当时，为正六边形的外接圆，，∴，∴，∴，∴；当边的“接近度”等于0时，正n边形就成了圆．【点拨】此题考查了正多边形与其外接圆的关系．解此题的关键是注意数形结合思想的应用．