苏科版2024-2025学年九年级数学上册2.24证明切线的几种常用方法(全章知识梳理与考点分类讲解)(学生版+解析)（含答案解析）

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专题2.24 证明切线的几种常用方法（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”【知识点一】证明切线的类型与方法类型一、有公共点：连半径，证垂直方法1、特殊角计算法证垂直方法2、平行线性质法证垂直方法3、等角代换法证垂直方法4 全等三角形法证垂直类型二、无公共点：做垂直，证半径方法5 角平分线的性质法证半径方法6 全等三角形法证半径第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】有公共点：连半径，证垂直（特殊角计算法证垂直）【例1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，点D在的直径的延长线上，点C在上，，，求证：是的切线．【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，以为直径作，过点O作交于D，．求证：是的切线．【变式2】（2024·西藏日喀则·一模）如图，是的外接圆， 且 （1）求证：是的切线；（2）若 ，求的半径长． 【题型2】有公共点：连半径，证垂直(平行线性质法证垂直)【例2】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在中，，以上一点O为圆心，长为半径的圆交于点D，交于点E，交于点F，连接，．（1）求证：是的切线；（2）若，求的面积． 【变式1】（22-23九年级上·浙江台州·期中）如图，，是以为直径的上的点，且弦交于点，平分， 于点．求证：是的切线；【变式2】（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，以AB为直径的经过点D，与交于点E．连接，．作，与AD的延长线交于点F．（1）求证：是的切线；（2）求的度数． 【题型3】有公共点：连半径，证垂直（等角代换法证垂直）【例3】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，点为外一点，连接交于点，连接并延长交线段于点，．求证：与相切．【变式1】（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．【变式2】（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）如图，已知是的直径，点C在上，过点C的直线与的延长线交于点P，．  （1）求证：是的切线；（2）若的半径为2，求的长．【题型4】有公共点：连半径，证垂直（全等三角形法证垂直）【例4】（2024·广西南宁·三模）如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，过点O作，交于点E，连接．（1）求证：直线与相切；（2）若，，求的长．【变式1】（2024·河南周口·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，以点O为圆心，为半径的交于点D，交于点E，延长交☉O于点F，连接．（1）求证：；（2）若是的切线，求证：也是的切线．【变式2】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交AB的延长线于F，连．（1）求证：与相切；（2）若，，求的半径．【题型5】无公共点：做垂直，证半径（角平分线的性质法证半径）【例5】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，为正方形对角线上一点，与以为圆心，长为半径的相切于点．（1）求证：与相切；（2）若正方形的边长为1，求的半径．【变式1】（2024·广西南宁·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D．（1）求证：是的切线；（2）延长交于点G，连接交于点F，若，求的长．【变式2】（2024·江西吉安·模拟预测）如图，在同心，大的直径交小于、，大的两弦、交于，且，，弦与小切于，过作于．小的半径为．（1）的长为__________；（2）试问弦与小是什么位置关系？请证明你的结论； 【题型6】无公共点：做垂直，证半径（全等三角形法证半径）【例6】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且．求证：为的切线；【变式1】（2024·广西南宁·二模）如图，是的直径，和分别是的切线，平分，且与交于点E，连接．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，为的直径，如果圆上的点恰使，求证：直线与相切．  【例2】．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D． （1）求证：是的切线；（2）延长交于点G，连接交于点F，若，求的长．2、拓展延伸【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的内接三角形，是的直径，D是的中点，交的延长线于点E．（1）求证：直线与相切；（2）若的直径是10，，求的长．【例2】（2023·云南楚雄·模拟预测）如图，已知直线交于A、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作CD⊥PA，垂足为．  （1）求证：为的切线；（2）若，，求的直径的长．专题2.24 证明切线的几种常用方法（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”【知识点一】证明切线的类型与方法类型一、有公共点：连半径，证垂直方法1、特殊角计算法证垂直方法2、平行线性质法证垂直方法3、等角代换法证垂直方法4 全等三角形法证垂直类型二、无公共点：做垂直，证半径方法5 角平分线的性质法证半径方法6 全等三角形法证半径第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】有公共点：连半径，证垂直（特殊角计算法证垂直）【例1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，点D在的直径的延长线上，点C在上，，，求证：是的切线．【分析】此题考查了切线的判定，三角形的内角和，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．连接，由等腰三角形的性质可得，，再利用三角形的内角和及外角性质即可求证，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用.证明：连接，∵，，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴是的切线．【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，以为直径作，过点O作交于D，．求证：是的切线．【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，切线的判定．由平行线的性质得到，由等边对等角得到，进而根据三角形的内角和定理求得，即，得证是的切线．证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切线．【变式2】（2024·西藏日喀则·一模）如图，是的外接圆， 且 （1）求证：是的切线；（2）若 ，求的半径长． 【答案】(1)详见解析 (2)的半径为2【分析】此题考查圆周角定理、切线的判定、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键．（1）连接．利用圆周角定理得到，再求出，即可得到结论；（2）连接．求出． 证明．则．进一步得到．即可得到答案．（1）证明∶ 连接． ∵∵∴．∵，  ∴． ∴． ∴ ∵是的半径，∴是的切线．（2）解∶ 连接． 由(1)证可得，． ∵为直径，∴． ∴∴．∴．∴．∴．∴即的半径为2．【题型2】有公共点：连半径，证垂直(平行线性质法证垂直)【例2】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在中，，以上一点O为圆心，长为半径的圆交于点D，交于点E，交于点F，连接，．（1）求证：是的切线；（2）若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)【分析】本题主要考查了切线的判定、平行线的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，掌握切线的判定定理成为解题的关键．（1）先证明，根据平行线的性质可得即可证明结论；（2）根据直角三角形的性质可得，再结合可得，即，最后根据圆的面积公式即可解答．（1）证明：∵在中，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴是的切线．（2）解：∵在中，，∴，∵，∴，∴，∴的面积为．【变式1】（22-23九年级上·浙江台州·期中）如图，，是以为直径的上的点，且弦交于点，平分， 于点．求证：是的切线；【答案】见解析【分析】本题考查了切线的判定以及圆的有关知识，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得，得出，即可证得，即可证得结论．证明：连接， ∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，又∵是圆的半径，∴是的切线．【变式2】（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，以AB为直径的经过点D，与交于点E．连接，．作，与AD的延长线交于点F．（1）求证：是的切线；（2）求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)【分析】本题考查了平行四边形的性质、切线的判定和性质以及圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）连接．先得出，进而得出，则，即可得出，即可得出结论；（2）连接，先推出，得出，再根据，得出，则，即可得出结论．（1）证明：连接．∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵是的半径，∴是的切线；（2）解：连接，在平行四边形中∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵四边形是平行四边形，∴．【题型3】有公共点：连半径，证垂直（等角代换法证垂直）【例3】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，点为外一点，连接交于点，连接并延长交线段于点，．求证：与相切．【分析】本题主要考查切线的判定．由题意易得，，，进而根据角的等量关系可进行求解．解：∵，∴，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵是的半径，∴与相切．【变式1】（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．【答案】(1)见解析 (2)【分析】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键．（1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理即可得证；（2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．（1）证明：如答图，连接， ∵为直径，∴，即．又∵，，∴，∴，即．∵是的半径，∴是的切线．（2）解：∵，∴．∵，，，∴∴，∴．∵，是的直径，∴是的切线．∵是的切线，∴，∵，∴，解得．【变式2】（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）如图，已知是的直径，点C在上，过点C的直线与的延长线交于点P，．  （1）求证：是的切线；（2）若的半径为2，求的长．【答案】(1)见详解 (2)6【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得到，又，等量代换得到，证明是的切线．（2）在直角中，由，以及（1）的结论得到，然后求出线段的长度即可求解．（1）证明：在中，∵，∴，∴，又∵，∴，∵是的直径，，即，∴，即，∴，∴是的切线；（2）解：∵的半径为2，是的直径，，，，，，又，，，，．【点拨】本题考查的是切线的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，圆周角定理，利用角所对的直角边是斜边的一半可以求出线段的长是解题的关键．【题型4】有公共点：连半径，证垂直（全等三角形法证垂直）【例4】（2024·广西南宁·三模）如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，过点O作，交于点E，连接．（1）求证：直线与相切；（2）若，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)6．【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边对等角，（1）连接，根据题意得，根据得，，根据得，则，根据可得，则，根据是的半径，即可得；（2）设的半径为r，由（1）得，，在中，根据勾股定理得，即，进行计算得，可得，即可得，由（1）得，，则，在中，根据勾股定理得，即，进行计算即可得；掌握切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）证明：如图所示，连接， ∵与相切于点D，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵是的半径，∴直线与相切；（2）解：设的半径为r，由（1）得，，在中，，∴，，，∴，∴，由（1）得，，∴，在中，，∴，，，，即的长为6．【变式1】（2024·河南周口·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，以点O为圆心，为半径的交于点D，交于点E，延长交☉O于点F，连接．（1）求证：；（2）若是的切线，求证：也是的切线．【分析】本题考查平行四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，切线的判定等：（1）根据平行线的性质证明，，根据得出，等量代换得出，即可证明；（2）由切线的定义可知，再证，推出，即可证明也是的切线．（1）证明：如图，连接，，四边形是平行四边形，，，，，，，，；（2）证明：是的切线，；由（1）得，即，在和中， ，，，又点D在上，是的切线．【变式2】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交AB的延长线于F，连．（1）求证：与相切；（2）若，，求的半径．【答案】(1)见解析 (2)的半径为【分析】本题主要考查垂径定理、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关定理并能利用等面积法解决问题是关键．（1）连接，由垂径定理得，根据垂直平分线的的性质可得，证明，利用全等三角形的性质可得即可；（2）先利用勾股定理求得，设，再根据等面积法列即可求解．（1）证明：如图，连接，   是的切线，，为的中点，，，则垂直平分，，，，，，与相切；（2）解：，，，由（1）可知，，，设，，，，解得，故的半径为．【题型5】无公共点：做垂直，证半径（角平分线的性质法证半径）【例5】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，为正方形对角线上一点，与以为圆心，长为半径的相切于点．（1）求证：与相切；（2）若正方形的边长为1，求的半径．【答案】(1)见解析 (2)的半径为．【分析】此题综合了正方形的性质和圆的切线的性质和判定．（1）根据正方形的性质得到是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明；（2）根据正方形的边长可以求得其对角线的长，根据等腰直角三角形的性质得到是圆的半径的倍，从而根据对角线的长列方程求解．（1）证明：连接，过作于； 与相切，，四边形是正方形，平分，，与相切；（2）解：四边形为正方形，，，，，，，；又，，．【变式1】（2024·广西南宁·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D．（1）求证：是的切线；（2）延长交于点G，连接交于点F，若，求的长．【答案】(1)见解析 (2)【分析】本题考查了判定直线是圆的切线的判定、切线的性质定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．（1）连接，过点O作于点P，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可证明结论；（2）根据等腰直角三角形的性质求出的长，勾股定理求出，如图：连接，过点O作于点H，根据等面积法可得，勾股定理求出，最后根据等腰三角形的性质求解即可．（1）证明：连接，过点O作于点P， ∵与相切于点D，∴，∵是等腰直角三角形，，O为的中点，∴，∴，即是的半径，∴是的切线．（2）解：∵，∴，∵O为的中点，∴，∵，∴，在中，，如图：连接，过点O作于点H，∴，∴，∵，∴.【变式2】（2024·江西吉安·模拟预测）如图，在同心，大的直径交小于、，大的两弦、交于，且，，弦与小切于，过作于．小的半径为．（1）的长为__________；（2）试问弦与小是什么位置关系？请证明你的结论； 【答案】(1) (2)相切，证明见解析 【分析】（1）根据切线的性质得，证明四边形是矩形，即得得解；（1）解：连接， ∵弦与小切于，小的半径为，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，故答案为：；（2）相切．证明：过作于，∵，∴，∴与小相切；【点拨】本题考查切线的判定与性质，矩形的判定与性质，弦、弧、弦心距和圆周角的关系，垂径定理，勾股定理及锐角三角函数的定义等知识点．掌握圆的基本性质、勾股定理及锐角三角函数的定义是解题的关键．【题型6】无公共点：做垂直，证半径（全等三角形法证半径）【例6】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且．求证：为的切线；【分析】本题主要考查切线的判定和性质，切线长定理，全等与相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．过点O作于点E，根据题意证明，再证明，根据切线的判定定理即可得到结论；证明：过点O作于点E，于点D，，，，，又为的切线，，，，，在和中，，，，，是半径，是的切线；【变式1】（2024·广西南宁·二模）如图，是的直径，和分别是的切线，平分，且与交于点E，连接．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．【答案】(1)见解析 (2)【分析】（1）过点作于点，由切线的性质得出，于是有，根据角平分线的定义得出，于是利用证得和全等，得出，于是问题得证；（2）过点作于点，根据切线长定理得出，再证四边形是矩形，得出，在中求出的度数、的长，即可求出的长，的度数，于是得出为等边三角形，问题即可得解．（1）证明：如图1，过点作于点， ，是的切线，是的直径，，，平分，，在和中，，∴，，又∵为半径，，∴是的切线；（2）解：如图2，过点作于点， 由（1）知是的切线，∵和分别是的切线，，，，，，，都是的切线，，，∴四边形是矩形，，，在中，，，由勾股定理得，，，，平分，，，，∴是等边三角形，．【点拨】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，角平分线的定义，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识点，需熟练掌握．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，为的直径，如果圆上的点恰使，求证：直线与相切．  【分析】由等腰三角形的性质和圆周角定理得出，则，再由切线的判定即可得出结论． 证明：如图，连接，，，为的直径，，，，，即，，是的半径，直线与相切．  【点拨】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键．【例2】．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D． （1）求证：是的切线；（2）延长交于点G，连接交于点F，若，求的长．【答案】(1)见解析 (2)【分析】（1）连接，过点O作于点P，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论；（2）根据等腰直角三角形的性质求出，的长，勾股定理求出，连接，过O作于点H，利用面积法求出，勾股定理求出，即可根据等腰三角形的性质求出的长． （1）证明：连接，过点O作于点P， ∵与相切于点D．∴，∵是等腰直角三角形，，点O为的中点，∴，∴，即是的半径，∴是的切线；（2）解：∵，，，∴，，∵点O为的中点，∴，∵∴，在中，连接，过O作于点H，∴，∴∵，∴．  【点拨】此题考查了判定直线是圆的切线，切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握各知识点是解题的关键．2、拓展延伸【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的内接三角形，是的直径，D是的中点，交的延长线于点E．（1）求证：直线与相切；（2）若的直径是10，，求的长．【答案】(1)见解析 (2)【分析】本题主要考查了切线的性质与判定、垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．（1）如图：连接，先利用垂径定理得到，再根据平行线的性质得到，然后根据切线的判定方法即可证明结论；（2）先根据圆周角定理得到，则，再根据平行线的性质得到，则可判断为等腰直角三角形，于是可求出，然后计算即可．（1）证明：如答图，连接，∵D是的中点，∴．∵，∴．又∵是的半径，∴直线与相切．（2）解：∵是的直径，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴．【例2】（2023·云南楚雄·模拟预测）如图，已知直线交于A、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作CD⊥PA，垂足为．  （1）求证：为的切线；（2）若，，求的直径的长．【答案】(1)见解析； (2)，【分析】（1）如图：连接，根据推出，根据角平分线得出，推出，得出，根据切线的判定定理即可解答；（2）如图：过作于，得出矩形，推出，，求出的长，利用勾股定理求出的长，设圆的半径为，则，再根据勾股定理列方程，求出的值即可求出的半径，从而求出的直径的．（1）证明：如图：连接．   ，． 平分，，，．，，即 ，点在上，是的切线．（2）解：过作于即，，四边形是矩形，，．，，，设圆的半径为，则，在中，，根据勾股定理得：．，解得：，的半径是，的直径的．【点拨】本题主要考查了矩形的性质和判定、勾股定理、垂径定理、切线的判定、平行线的性质和判定等知识点，灵活运用相关知识以及方程思想成为解题的关键．