第二十七章《相似》考点梳理与训练（解析版）

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第二十七章《相似》考点梳理与训练（解析版）一、考点梳理：考点1.比例性质 考点2.比例线段考点3.黄金分割 考点4.平行线分线段成比例 考点5.相似多边形 考点6.相似三角形的判定 考点7 .相似三角形的性质 考点8 .相似三角形的判定和性质综合 考点9 .相似三角形的应用综合 考点10 .图形的位似 考点11 .相似三角形压轴题二、考点训练：考点1.比例性质1．已知，那么等于（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质．根据比例的性质将等积式转化为比例式即可求解．【详解】解：，，即，故选：D．2．若，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质变形即可求解，熟知比例的性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴设，，∴，故选：C．3．若（），则（   ）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根据已知条件得到，，代入代数式即可得到结论．【详解】解：，，，．故选：B．4．若 ，且，则的值是（   ）A．14 B．42 C．7 D．【答案】D【分析】本题考查了比例的性质，解一元一次方程，求代数式的值，由比例系数表示是解题的关键．将用表示出来，得到，再将求出的结果与联立求出的值 ，最后把所求的代入所求的代数式即可求解．【详解】解：，，，，解得， ， 故选：D．5．若，则直线的图象必经过（   ）A．第一、二、三象限 B．第二、三象限C．第二、三、四象限 D．以上均不正确【答案】B【分析】本题主要考查的是一次函数图象经过的象限，比例的性质，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．【详解】解：①当时，由比例的性质可得，此时函数经过第一、二、三象限；②当时，，此时，此时函数经过第二、三、四象限，综上可得，函数的图象必经过第二、三象限；故选：B．考点2.比例线段1．若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（   ）A． B．8 C．2 D．3【答案】B【分析】此题考查了比例线段，掌握比例线段的性质是本题的关键．根据四条线段成比例，列出比例式，再把，，代入计算即可．【详解】解：线段a，b，c，d是成比例线段，，，，，，，故选：．2．下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（   ）A．1、2、3、4； B．1、2、4、8；C．2、3、4、5； D．5、10、15、20．【答案】B【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键．根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【详解】解：A、，故本选项不符合题意；B、，故本选项符合题意；C、，故本选项不符合题意；D、，故本选项不符合题意；故选：B．3．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（   ）A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，【答案】D【分析】本题考查了比例线段，理解成比例线段的概念是解题关键．根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等，即可得出答案．【详解】解：、，四条线段不成比例；B、，四条线段不成比例；C、，四条线段不成比例；D、，四条线段成比例；故选：D．4．若线段，，，是成比例线段，且，，，则（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了比例线段，关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义，将a，b及c的值代入即可求得d．【详解】解：∵，，，是成比例线段，∴，∵，，，∴，故选：D．5．在比例尺是1﹕10000的贺州市城区地图上，向阳路的长度约为10cm，它的实际长度约为（   ）A．1000m B．1000cm C．100m D．100cm【答案】A【分析】根据比例尺的定义可求得实际长度．【详解】解：根据题意可知，所以，解得，实际长度=100000cm=1000m，故选：A．【考点3】黄金分割1．已知线段，点C是线段的黄金分割点，且，则线段的长是（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查黄金分割，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．直接利用黄金分割的定义计算出即可．【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且，∴．故选A．如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，，各部分长度的比满足ACBC=，这体现了数学中的（　　 ） A．黄金分割 B．平移 C．旋转 D．轴对称【答案】A【分析】本题主要考查黄金分割，熟练掌握黄金分割是解题的关键；把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．依据黄金分割的定义进行判断即可．【详解】解：若，则点C为线段AB的黄金分割点．故选：A．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）．如图，点为的黄金分割点（），若cm，则约为（   ）A．42cm B．38cm C．62cm D．70cm【答案】B【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可．熟练掌握黄金分割中的比例关系，是解题的关键．【详解】解：由题意，得：，cm，∴，∴；故选B．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是（ 　　）①；②；③；④．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【分析】此题考查了黄金分割：点把线段AB分成两条线段和，且使是AB和的比例中项（即），叫做把线段AB黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．由黄金分割的定义分别进行判断．【详解】解：∵为AB的黄金分割点， ∴， ，①、②、③错误，④正确，不符合题意， 故选：A．考点4 .平行线分线段成比例如图，已知，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c 于点D，E，F．若，则等于（   ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，先求出，再由平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，即，∴，故选：D．2．如图，AB∥CD∥EF，若，BD＝12，则DF的长为（　 　）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∵，BD＝12，∴，解得：DF＝8，故选：D．3．如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，若BD＝4，AD＝8，CE＝5，则AE的长为（　 　）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解答】解：∵DE∥BC，∴AD：DB＝AE：EC，∵BD＝4，AD＝8，CE＝5，∴8：4＝AE：5，∴AE＝10．故选：C．4．如图，在中，，，，，则的长为（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出AB，根据平行线得出 ，代入得出 ，求出即可．【详解】解：AB＝AD＋BD＝2＋4＝6，∵DE∥BC，∴，∴，解得：AC＝9，故答案选：A．5．如图，，，，则的长为（   ）A．3 B．4 C．6 D．9【答案】C【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例列出比例式解答即可．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴．故选：C．考点5 .相似多边形的性质1．如图的两个四边形相似，则∠a的度数是（   ）A．120° B．87° C．75° D．60°【答案】B【分析】根据相似多边形的性质，可得 ，再根据四边形的内角和等于360°，即可求解．【详解】解：如图，∵两个四边形相似，∴ ，∵两个四边形相似，且四边形的内角和等于360°，∴ ．故选：B已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为18cm，则较大多边形的周长为（　 　）A．24cm B．27cm C．28cm D．32cm【答案】A【解答】解：两个相似多边形的面积比是9：16，∴两个相似多边形的相似比是3：4，∴两个相似多边形的周长比是3：4，设较大多边形的周长为为xcm，由题意得，18：x＝3：4，解得，x＝24，故选：A．如图，将一个矩形纸片ABCD沿AD、BC的中点E、F的连线对折，要使对折后的矩形AEFB与原矩形ABCD相似，则原矩形ABCD的长AD和宽DC的比应为（　 　）A．2：1 B．：1 C．：1 D．1：1【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∵点E是AD的中点，∴AE＝AD，∵矩形AEFB与原矩形ABCD相似，∴＝，∴＝，∴AD2＝CD2，∴AD2＝2CD2，∴AD：CD＝：1，故选：C．4．如图所示，已知矩形的边长为8cm，边长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（    ）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【答案】C【分析】矩形与矩形相似，得到，代入数值求得，即可求得所截矩形的面积．【详解】解：∵矩形与矩形相似，∴，∴，∴，∴矩形的面积．故选：C．5．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　 ）A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对【答案】A【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似，即可判断．【详解】解：如图：甲：根据题意得：，，，，，，∴甲说法正确；乙：∵根据题意得：，，则，，，，，∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法正确．故选：A．考点6.相似三角形的判定 1.如图，点是△ABC 的边上一点，添加一个条件，不能使与△ABC 相似的是（   ） A . B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的判定，直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．【详解】解：A、当时，再由，可得出，故此选项不符合题意．B、当时，无法得出，故此选项符合题意．C、当时，再由，可得出，故此选项不符合题意．D、当时，再由，可得出，故此选项不符合题意．故选：B．2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的判定，先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答．【详解】解：∵，∴，A．添加，不能判定，故本选项符合题意；B．添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意；C．添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； D．添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意；故选：A．如图，具备下列条件①，②，③，④之一，就可以判定与相似的是（   ）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】D【分析】由两个角相等的两个三角形相似，可对条件①②③进行判断；由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似对条件④进行判断；即可得出结果．【详解】解：∵，，∴，条件①符合题意；∵仅有，无法确定与相似， ∴条件②不符合题意；∵，，∴，条件③符合题意；∵，，∴，条件④符合题意．综上所述，具备条件①③④之一，即可判定与相似．故选：D．如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：①；②；③；④中的一个，能得出和相似的是（ ）．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】A【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论．【详解】解：①，时，，故①符合题意；②，时，，故②符合题意；③，时， ，故③符合题意；④，时，不能推出，故④不符合题意，故选：A．如图所示，△ABC中，AD⊥BC于D，对于下列中的每一个条件：①∠B＋∠DAC＝90°；②∠B＝∠DAC；③CD：AD＝AC：AB；④AB2＝BD·BC，其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有（ ）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】A【分析】根据已知对各个条件进行分析，从而得到答案．【详解】解：①不能，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠DAC，∴无法证明△ABC是直角三角形；②能，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B=∠DAC，∴∠BAC=∠DAC+∠BAD=∠B+∠BAD=90°；∴△ABC是直角三角形；③能，∵CD：AD=AC：AB，∠ADB=∠ADC=90°，∴Rt△ABD∽Rt△CAD，∴∠B=∠DAC， 由②得△ABC是直角三角形；④能，∵AB2=BD•BC，∴，又∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴△ABC一定是直角三角形．综上，②③④都能判定△ABC是直角三角形，共有3个．故选：A．如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（   ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12．因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；因为 ，对应边，又∠A＝∠A，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；因为 ，对应边，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；故选：B．考点7.相似三角形的性质1．若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（　 　）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【答案】B【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为1：4，∴这两个三角形对应边的比为1：4，故选：B．如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，点D、E分别在上，且，则和的面积比为（   ） A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，证明，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，故选：D．3 .图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为（ ）cm．    A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据，得出，再根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，∵，，，，，，解得：，故选：C．4．现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为12cm，另一直角边AB长为24cm．现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（　　）A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张【答案】C【分析】截取正方形以后所剩下的三角形与原三角形相似，根据相似三角形对应边上的比等于相似比即可求解．【详解】设这张正方形纸条是第n张.∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴=，解得：n=6.故答案选：C.5．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边AB、上，交AD于点．(1)当点恰好为AB中点时，______．(2)若矩形的周长为，求出的长度．【答案】(1)60(2)【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高之比等于相似比；（1）由，得到，代入即可求解，（2）根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，从而得到的长，【详解】（1）解：∵为中点，∴，∵在矩形中，，∴，，∴，∴，∴．故答案为：．（2）解：∵四边形为矩形，∴，∵，∴，∴∴．∴四边形为矩形，∴，，∵矩形的周长为∴，∵，∴，∴，∴，∴．考点8 .相似三角形的判定和性质综合1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）若AC＝3，AB＝4，求AD的长．【答案】（1）见解析；（2）．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB；（2）解：∵△ADC∽△ACB∴，即，∴AD＝．2．如图，已知在▱ABCD中，E为AB上一点，AE∶EB＝1∶2，DE与AC交于点F．(1)求△AEF与△CDF的周长之比；(2)若S△AEF＝6cm2，求S△CDF．【答案】(1)1∶3；(2)【分析】（1）先证明两个三角形相似，由周长比等于相似比即可得到答案；（2）由面积比等于相似比的平方比即可得到答案．【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，CD∥AB，∴∠CAB＝∠DCA，∠DEA＝∠CDE，∴△AEF∽△CDF，∵AE∶EB＝1∶2，∴AE∶AB＝AE∶CD＝1∶3，∴△AEF与△CDF的周长之比为1∶3（周长比等于相似比）；（2）∵△AEF∽△CDF，AE∶CD＝1∶3，∴S△AEF∶S△CDF＝1∶9，∵S△AEF＝6 cm2，∴S△CDF＝54 cm2．如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，点E是BC上一动点（不与B、C重合），且DF⊥AE，垂足为F.设AE=xcm，DF=ycm.（1）求证：△DFA∽△ABE；（2）试求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围. 【答案】【小题1】（1）略；（4分） 【小题2】（2）【详解】（1）要求△ABE∽△DFA，能看出有一对直角相等，只需要再找一对角相等，因为四边形ABCD是长方形，那么就出现平行线，有线的平行可得出一对内错角相等，故可证两三角形相似．（2）由（1）的相似，可得到比例线段，就可得出x与y的关系式，通过观察图可以知道，AE最小大于AB，最大小于AC，再由勾股定理可求出AC的值，因此可得x的取值范围．解：（1）∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∠ABE=90°．∴∠DAF=∠AEB．又∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°．∴∠ABE=∠DFA．∴△ABE∽△DFA．（2）∵△ABE∽△DFA，∴．∴．∴xy=12．∴y=．根据图可知，AE最小大于AB，最大小于AC，AC=∴3＜x＜5．4．如图，在正方形ABCD中，点E为BC中点，连接DE，过点E作EF⊥ED交AB于点G．交AD延长线于点F．（1）求证：△ECD∽△GAF；（2）若AB＝4，求EF的长．【答案】（1）见解析；（2）EF＝4【分析】（1）利用两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；（2）利用勾股定理求得线段DE的长度，再根据△EFD∽CDE得出比例式即可求得EF的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴∠C＝∠BAD＝∠B＝90°．∴∠FAG＝90°．∴∠FAG＝∠C．∵EF⊥ED，∴∠BEG+∠CED＝90°．∵∠BGE+∠BEG＝90°，∴∠BGE＝∠CED．∵∠BGE＝∠FGA，∴∠FGA＝∠CED，∴△ECD∽△GAF．（2）∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝AB＝4．∵点E为BC中点，∴BE＝EC＝2．,由（1）知：△ECD∽△GAF，∴∠F＝∠CDE．∵EF⊥ED，∴∠FED＝90°．∴∠FED＝∠C＝90°．∴△EFD∽CDE．∴．∴．∴EF＝4．5．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）CE∥AD，理由见解析；（3）．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DAC=∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠ADC=90°，根据直角三角形的性质得到CE=AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明；（3）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【详解】解：（1）∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，又∵AC2=AB•AD，∴AD：AC=AC：AB，∴△ADC∽△ACB；（2）CE∥AD，理由：∵△ADC∽△ACB，∴∠ACB=∠ADC=90°，又∵E为AB的中点，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAE，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）∵AD=4，AB=6，CE=AB=AE=3，∵CE∥AD，∴∠FCE=∠DAC，∠CEF=∠ADF，∴△CEF∽△ADF，∴==，∴=．考点9 .相似三角形的应用综合1．如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子O，树底B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米，则树高为（　　）米．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解答】解：点O作镜面的法线FO，由入射角等于反射角可知∠COF＝∠DOF，∵∠COA＝90°﹣∠COF，∠DOB＝90°﹣∠DOF，∴∠COA＝∠DOB，又∵∠CAO＝∠OBD＝90°，∴△ACO∽△BDO，∴＝，∵AC＝1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米，∴＝，∴BD＝4米，答：树高为4米，故选：A．2．约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．直接利用相似三角形的对应边成比例解答即可．【详解】解：设蜡烛火焰的高度是，由相似三角形性质得到：．解得． 即蜡烛火焰的高度是．故选：A．3．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，画出示意图，易得F，进而可得，代入数据求解即可得答案．【详解】解：根据题意做出示意图，则，，，，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴（负值舍去）．故选：B．如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=xm，长方形的面积为ym2， 要使长方形的面积最大，其边长x应为( )A．m B．6m C．15m D．m【答案】D【详解】本题考查二次函数最小（大）值的求法．思路是：长方形的面积=大三角形的面积-两个小三角形的面积．解：根据题意得：y=30-整理得y=-∴长方形面积有最大值，此时边长x应为m．故选D．5．如图，我校小辰同学在学习完《利用相似三角形测高》后，利用标杆FC测量学校教学楼的高度．若标杆FC＝2.5米，小辰同学眼高离地面AB＝1.5米测得DC＝23米，BC＝1米，请你帮他求出学校体育馆ED的高度．【答案】学校体育馆ED的高度是25.5米．【解答】解：作AH⊥ED交FC于点G，如图所示：∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，∴FG∥EH，∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，∴AH＝BD，AG＝BC，∵AB＝1.5米，FC＝2.5米，DC＝23米，BC＝1米，∴FG＝2.5﹣1.5＝1（米），BD＝24米，∵FG∥EH，∴，，解得：EH＝24米，∴ED＝24+1.5＝25.5（米），答：学校体育馆ED的高度是25.5米．考点10 .图形的位似 已知与是位似图形，点为位似中心，且，若的周长为2，则的周长为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的性质，由位似图形的概念得出，，得到，由相似三角形的性质得出，即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键．【详解】解：∵，∴，∵与是位似图形，∴，，∴，∴，∴的周长的周长，∵的周长为2，∴的周长为，故选：C．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先将△ABC绕点（﹣1，0）顺时针旋转90度得到△A1B1C1，再以原点为位似中心作△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，若△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为1：2，则点A1的对应点A2的坐标是（　　 ）A．（4，2） B．（6，4） C．（6，4）或（﹣6，﹣4） D．（4，2）或（﹣4，﹣2）【答案】D【解答】解：设点P的坐标为（﹣1，0），连接AP、A1P，过点A作AD⊥x轴于D，A1E⊥x轴于E，由题意得：∠DAP+∠APD＝90°，∠EPA1+∠APD＝90°，∴∠DAP＝∠EPA1，在△DAP和△EPA1中，，∴△DAP≌△EPA1（AAS），∴A1E＝DP＝1，PE＝AD＝3，∴点A1的坐标为（2，1），∵△A1B1C1与△A2B2C2是位似图形，位似比为1：2，∴点A2的坐标是（4，2）或（﹣4，﹣2），故选：D．3.如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在点的同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为，则点的坐标为 ．【答案】【分析】此题主要考查了图形的位似变换，相似三角形的判定以及性质，由正方性的性质和位似图形的性质可得出，，进而得出， 由相似三角形的性质可得出，进而可求出，进一步即可得出答案．【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，，∴，，∴，，即，解得：，∴，故答案为：．4.如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则 ．【答案】8【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，证明，求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【详解】解：，，与是位似图形，，，，，，即，解得：，故答案为：8．5．如图，的顶点坐标分别为，，．(1)作出先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的；(2)在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为．(3)在（2）的条件下，若M为边上的中点，则的边上与点M对应的点的坐标为______．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】本题主要考查平移，位图图形的性质，熟练掌握位似图形是解题的关键．（1）根据题意得到对应点的坐标，画出平移图形即可；（2）根据相似比分别求出对应点的坐标，进行画图即可．（3）根据中点坐标公式求出M的坐标，即可得到答案．【详解】（1）解：如图，为所求图形；（2）解：根据相似比可得，，如图，为所求；（3）解：根据题意，若M为边上的中点，．故答案为：．考点11 .相似三角形压轴题1.【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）∠ABC=∠CAN，理由见解析．【分析】（1）利用SAS可证明△BAM≌△CAN，继而得出结论．（2）也可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和（1）的思路完全一样．（3）首先得出∠BAC=∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得到，根据∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，从而判定△BAM∽△CAN，得出结论．【详解】解：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∴∠BAM=∠CAN．∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN．（2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∴∠BAM=∠CAN．∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．（3）∠ABC=∠ACN．理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴，又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC=∠ACN．2．【问题发现】（1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为 　 　；【拓展延伸】（2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；【归纳应用】在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长． 【答案】（1）相等（2）成立，理由见解析（3）6或2【分析】（1）利用证明 ，得；（2）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立；（3）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立．【详解】解：（1）相等，∵和都是等腰直角三角形，∴，∴，即，∴，∴，故答案为：相等；（2）成立，理由：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴∠；（3）当点D在线段上时，如图2，由（2）知，，∴，∴，∴．当点D在线段的延长线上时，如图3，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴∠BAD＝∠CAE，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．综上可知，的长为2或6．3．【问题发现】（1）如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段，之间的数量关系为 ； ；【类比探究】（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段，之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数；【拓展延伸】如图3所示，在中，，，， 为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长． 【答案】（1），（2），（3）或【分析】（1）先证明，得到，，进一步求得，即可得到答案；（2）类似于（1）的思路，先证明，得到，，在利用等腰直角三角形的性质即得答案；（3）分当在内部和外部两种情况，均可证明，分别利用勾股定理列方程并求解，即可得到答案．【详解】（1）和均为正三角形，，，，，，即，在和中，，，，，B、D、E三点共线，，，，综上所述，线段、之间的数量关系是，；故答案为：，．（2），；和均为等腰直角三角形，，，，，在和中，，，，， ，又，，，，，，，，；（3）的长为或．理由如下：分两种情况：①如图1，当在内部时，，，，，，未旋转前， 为的中位线，，，，，图1中，，，，，，，，，，，设 ，则，，在中，，解得或（舍去），；②如图2，当在外部时，同①，得，则，，设 ，则，，在中，，解得或（舍去），，综上所述，的长为或．4．某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：(1)发现问题：如图1，在等腰中，，点是边上任意一点，连接，以为腰作等腰，使，，连接．求证：．(2)类比探究：如图2，在等腰中，，，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，．在点运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．(3)拓展应用：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为，，求的面积．【答案】(1)见解析(2)存在最小值，最小值为4(3)【分析】（1）根据“边角边”可证明，即可求解；（2）根据对应边成比例，两边的夹角相等可证，从而证明，根据点到直线的垂线段最短，构造直角三角形，根据含有特殊角的直角三角形的性质即可求解；（3）如图所示，连接，过作于，为正方形的中心，可知是等腰直角三角形，可证，设，则，根据勾股定理的长度，根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，即，∵，∴，∴．（2）解：存在最小值，理由如下： ∵，，∴，，∴，∴， 如图所示，连接，过点作延长线于点，根据点到直线的垂线段最短可知，当点与重合时，即时，最小，最小值为，∵， ∴ ，，∴，即，∴，∴，在中，，，∴存在最小值，最小值为．（3）解：如图所示，连接，过作于， ∵为正方形的中心，∴，即是等腰直角三角形，∵四边形为正方形，∴，∴，∴，∵，∴， ∴，设，则，∵，∴由勾股定理得：，解得：或（舍），∴，在中，，∴的面积为．5．原题再现：小百合特别喜欢探究数学问题，一天万老师给她这样一个几何问题：和都是等边三角形，将绕着点旋转到图位置，求证：小百合很快就通过≌，论证了．  (1)请你帮助小百合写出证明过程；迁移应用：小百合想，把等边和等边都换成等腰直角三角形，将绕着点旋转到图位置，其中，那么和有什么数量关系呢？(2)请你帮助小百合写出结论，并给出证明；(3)如图，如果把等腰直角三角形换成正方形，将正方形绕点旋转，若，，在旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出的长度．【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析(3)或【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出；（2）证明，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；（3）分两种情况画出图形，证明，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案．【详解】（1）证明：和分别是等边三角形，，，，，即，在和中，，≌，；（2），证明：，都是等腰直角三角形，，，，，，∽，，；（3）如图，连接，   由知∽，，，四边形是正方形，，，四边形是正方形，，，，，三点共线．，，；如图，连接，   由知∽，，，四边形是正方形，，，四边形是正方形，，，，，三点共线．，，；综上，当，，三点共线时，的长度为或．