五年级数学暑假讲义

这是一份五年级数学暑假讲义，共73页。学案主要包含了小数四则运算法则等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc11281" 第二讲 列方程解应用题（三） PAGEREF _Tc11281 8
\l "_Tc16828" 第三讲 列方程解应用题（四） PAGEREF _Tc16828 13
\l "_Tc23644" 第四讲 定义新运算（二） PAGEREF _Tc23644 17
\l "_Tc21127" 第五讲 多人行程 PAGEREF _Tc21127 23
\l "_Tc21267" 第六讲 多倍行程 PAGEREF _Tc21267 28
\l "_Tc18616" 第七讲 环形行程 PAGEREF _Tc18616 33
\l "_Tc24736" 第八讲 火车错车 PAGEREF _Tc24736 38
\l "_Tc21072" 第九讲 速算与巧算 PAGEREF _Tc21072 42
\l "_Tc9530" 第十讲 排列组合 PAGEREF _Tc9530 47
\l "_Tc30718" 第十一讲 页码问题 PAGEREF _Tc30718 52
\l "_Tc4828" 第十二讲 牛吃草问题 PAGEREF _Tc4828 57
\l "_Tc26546" 第十三讲 单一倍数特征 PAGEREF _Tc26546 62
\l "_Tc7186" 第十四讲 单一倍数特征应用 PAGEREF _Tc7186 67
第一讲 小数除法和小数混合运算
小数除法计算：
1．小数除法的意义
(1)小数除法的意义与整数除法的意义相同，是已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。
如：0.9÷0.5表示已知两个因数的积是0.9和其中一个因数是0.5，求另一个因数。
2．除数是整数的小数除法
（1）除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除；
（2）商的小数点要和被除数的小数点对齐；
（3）如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除。
3．除数是小数的小数除法
除数是小数的小数除法，先根据商不变规律，把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法，再按照除数是整数的小数除法的计算法则进行计算。
（1）除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动几位。商的小数点与被除数移动后的小数点对齐。
（2）当被除数的小数点和除数的小数点向右移动相同的位数，位数不够时，要在被除数的末尾用“0”补足，然后按照除数是整数的小数除法进行计算。
二、小数四则运算法则：
与整数相同
同级运算，从左到右依次计算；
有两级运算， 先算乘除再算加减；
有括号先算括号里面的， 先算小括号，再算中括号，最后算大括号。










（用作家庭作业）
1．列竖式计算


2．计算


3．计算



第二讲 列方程解应用题（三）
1．用字母代替应用题中的未知数，根据等量关系列出方程，再解所列出的方程。
2．一般步骤：
（1）分析题意。认真读题，弄清题目中的已知量，未知量，以及它们之间的等量关系；
（2）设未知数。合理选择未知数，一般设问题，也可以设相关条件；
（3）列方程。根据所设未知量和题目的条件，找准等量关系，列出方程；
（4）解方程。求出的值；
（5）检验作答。检查所求出的值是否符合题意，并作答。
3．常见等量关系：
（1）题目中的“和”、“差”、“倍”关系；
（2）不变量。
师徒俩共同加工一批零件，15天完成任务。途中师傅休息了3天，师傅每天比徒弟加工60个零件，完成任务时比徒弟多加工了360个零件。徒弟每天加工多少个零件？
张师傅加工一批零件，原计划每天做50个，为了提早10天完成，他把效率提高，每天做75个。这批零件一共有多少个？
药剂师把1千克药品按每包15克和7克两种规格分装成小包，结果7克一包的比15克一包的多包装80包，两种规格的药品各包装多少包？
壮壮从甲地去乙地，先上坡后下坡共用5小时，甲乙两地间相距150千米，上坡速度每小时15千米，下坡速度每小时40千米，问这过程中上坡有多少千米？
电视机厂生产一批电视机，如果每天生产40台，要比原计划多生产6天，如果每天生产60台，可以比原计划提前4天完成，求原计划生产时间和这批电视机的总台数。
师徒两人要加工同样多的零件，师傅每小时加工50个，比徒弟每小时多加工10个。工作中师傅停工5小时，因此徒弟比师傅提前1小时完成任务。求两人各自加工的零件数。
小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完；若每人分16粒，则缺36粒，问有多少个小朋友？多少粒糖果？
某年级学生乘车春游。如果每车坐38人，则有10个人不能乘车，如果每车多坐4人，恰好多了一辆汽车，则一共有多少辆汽车？有多少学生？
托运玻璃100箱，合同规定每箱运费4角，如果损坏一箱，不给运费并赔偿5元。结算时共得运费29.2元，共损坏了多少箱？
某小学举行一次数学竞赛，共15道题，每做对一道得8分，做错一道倒扣4分。小明共得72分，他做对了多少道题？
（用作家庭作业）
1．食堂运来一批煤，原计划每天烧210千克，可以烧24天。改进炉灶后这批煤可烧28天。问：改进炉灶后平均每天比原计划节约多少千克？
2．学校买来6个足球和4个排球,共用去540元.1个足球和1个排球共105元.每个足球和每个排球各多少元？
3．一把直尺和一把小刀共1.9元，3把直尺和6把小刀共9元，每把直尺和小刀各多少元？
4．小明去爬山，上山花了45分钟，原路下山花了30分钟，上山每分钟比下山每分钟少走9米，求上山和下山的速度。
5．同学们种树，如果每人种4棵，还剩19棵；如果每人种7棵，最后一个同学只种2棵，问有多少个同学？有多少棵树？
6．哆啦A梦原计划每天做60个小机器人，实际每天比原计划多做20个，结果提前5天完成任务。哆啦a梦一共做了多少个零件？
7．一次智力测验有10道判断题，每答对一道得3分，每答错一道不但不得分还要扣掉2分。小红答完10道题，得了20分，她答错了几道？答对了几道？
8．一组同学搬砖，每人搬8块，还剩14块，每人搬9块，最后一人只搬6块。问这堆砖一共有多少块？
第三讲 列方程解应用题（四）
1．用字母代替应用题中的未知数，根据等量关系列出方程，再解所列出的方程。
2．一般步骤：
（1）分析题意。认真读题，弄清题目中的已知量，未知量，以及它们之间的等量关系；
（2）设未知数。合理选择未知数，一般设问题，也可以设相关条件；
（3）列方程。根据所设未知量和题目的条件，找准等量关系，列出方程；
（4）解方程。求出的值；
检验作答。检查所求出的值是否符合题意，并作答。
3．常见等量关系：
（1）题目中的“和”、“差”、“倍”关系；
（2）不变量，即一直不变的量。
有大、中、小三框苹果，小框装的是中框的一半，中框比大框少装16千克，大框装的是小框的4倍。问这三框苹果分别有多少千克？
三个数的平均数是37，其中第二个数比第一个数少15，第三个数是第二个数的2倍，这三个数分别是多少？
有两筐橘子，如果从甲框拿出8个放进乙框，两筐橘子就同样多；如果从乙框拿出13个放进甲框，甲框里的橘子就是乙框的2倍。甲、乙两筐原来各有多少橘子？
六年级一班进行了两次数学竞赛，第一次及格的比不及格的人数的3倍多4人，第二次及格人数增加了5人，正好是不及格人数的6倍。问一共有多少人参加了竞赛？
幼儿园里有苹果和梨若干个,已知苹果的个数是梨的3倍.把这些水果分给幼儿园里的小朋友,若每个小朋友分5个苹果和2个梨,那么梨分完后,苹果还剩12个.幼儿园里有多少个小朋友?
有一筐水果，橘子的个数是苹果的两倍，每次取出其中4个橘子，3个苹果，取多少次后，苹果剩下一个，而橘子剩下16个？
甲、乙两个旅游团来到一家宾馆住宿。若甲旅游团住宿，每个房间住3人，则旅馆还剩5个床位可住人；若乙旅游团住宿，每个房间住7人，则还有5人没地方住。已知乙旅游团人数比甲旅游团人数的3倍还少2人，请问乙旅游团有多少人？
甲、乙两队乘车外出春游，一共租了相同数量的大车和小车，大车每车可以坐6人，小车每车可以坐4人。甲队坐大车，则有1人无法坐车；乙车坐小车，则有一辆车只有1人。已知甲队比乙队人数的2倍少5人。甲、乙两队各有多少人？
（用作家庭作业）
甲、乙、丙三名工人十二月份平均所得奖金是500元，已知甲比乙多分得216元，丙比甲多分得132元。甲、乙、丙各分得奖金多少元？
有黑、白棋子一堆，黑子的颗数是白子的2倍，从这堆棋子中每次取出5颗黑子、4颗白子。取多少次后白子取尽，而黑子还剩21颗？
小怪兽买了一批酒精，放在甲、乙两个桶里，两个桶都未装满。如果把甲桶酒精倒入乙桶，乙桶装满后，甲桶还剩10升；如果把乙桶酒精全部倒入甲桶，甲桶还能再盛20升。已知甲桶容量是乙桶的3倍。小怪兽一共买回多少升酒精？
有培优班和尖子班两个班，如果从培优班调8个同学到尖子班，则两个班人数相等，如果从尖子班调8个同学到培优班，则培优班的人数就是尖子班的2倍，则两班原来各有多少人？
一群公猴、母猴和小猴共38只，每天共摘桃266个，已知一只公猴每天摘桃10个，一只母猴每天摘桃8个一只小猴每天摘桃5个，又知公猴比母猴少4只，公猴、母猴、小猴各多少只？
7．两个班实验室做实验，甲班每张实验桌坐7人，则有3人没有实验桌；乙班每张实验桌坐5，则有一张实验桌只有1个人。已知甲班人数是乙班的2倍少4人，求甲、乙两班分别有多少人？
第四讲 定义新运算（二）
定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。
解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中(根据所给公式填入数字进行计算)，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。
计算时先算括号里面的。
规定运算，运算法则为：。求的值。
定义运算：。那么，
如果规定，那么
定义运算，那么
已知，试计算。
定义运算，，那么
对所有的数，定义运算，若。则的值是多少。
定义两种运算：，，如果，则的值是多少。
定义运算：，，，求。
规定一种运算，，，，，则
对于非零自然数，规定符的含义是：（为一个确定的整数），如果，那么。
表示两个数，规定新运算“”和“”如下：，，其中均为自然数，已知，，求的值。
（用作家庭作业）
1．定义运算，求。
2．定义运算：，，那么。
3．定义运算，表示中较大的数，例，定义运算，求。
4．对于数，规定，=7，求的值。
5．对于任意的两个数，规定。例如：。已知，求的值。
6．设都表示两个不同的数，规定
（1）求的值 （2）求的值
7．如果；；；计算。
8．有一个数学运算符号，使下列算式成立：，，，，求？
9．定义运算：（为整数），已知，求的值。
第五讲 多人行程
行程问题三个量：路程，速度，时间
关系：路程 = 速度 × 时间
路程和 = 速度和 × 时间
路程差 = 速度差 × 时间
解行程问题，牢牢抓住三个量之间的关系，根据题目条件，画出行程图，找准关系即可求解。
甲乙两辆车的速度分别为每时55千米和每时43千米。它们同时从A地出发到B地去，出发后15小时，甲车遇到一辆迎面开来的摩托车。2小时后，乙也遇到这辆摩托车。这辆摩托车每时行多少千米？
甲、乙、丙三人，甲每分钟走20米，乙每分钟走22.5米，丙每分钟走25米。甲、乙从东镇，丙从西镇，同时相向出发，丙和乙相遇10分钟后，丙又和甲相遇，求东西两镇之间的距离是多少？
甲、乙、丙三人同时从东村去西村，甲骑自行车每小时比乙快12公里，比丙快15公里，甲行3.5小时到达西村后立刻返回。在距西村30公里处和乙相距，问：丙行了多长时间和甲相遇？
甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发15分，出发后1小时追上乙。甲的速度是25千米每小时，则丙车的速度是多少？
甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，出发后6分甲车超过了一名长跑运动员，2分后乙车也超过去了，又过了2分钟丙车也超过去了。已知甲车每分钟走1000米，乙车每分钟走800米，丙车每分钟走多少米？
阿呆、阿槑、壮壮同时从学校出发骑车去电影院，分别用了10分钟、12分钟、15分钟超过了路上一位散步的人。阿呆每分钟走90米，阿槑每分钟走80米，求壮壮每分钟走多少米？
甲、乙、丙三辆小车同时从某地出发，10小时后，甲遇到一辆迎面开来的自行车，又过了2小时，乙也遇到了这辆自行车，再过4小时，丙也和自行车相遇。甲的速度为每小时60千米，乙的速度为每小时48千米，则丙的速度是多少？
甲、乙、丙三人同时从A地出发去B地。分别经过10小时、12小时、15小时遇到一辆迎面开来的拖拉机。甲的速度是每小时20千米，乙的速度是每小时15千米。求丙的速度和AB两地的距离。
（用作家庭作业）
1．甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米。甲从A地，乙和丙从B地出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又于丙相遇。求A、B两地的距离。
2．张、李、赵3人都从甲地到乙地。上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米。赵上午8时从甲地出发。傍晚6时，赵、张同时到达乙地，那么赵追上李的时间是几时？
3．小王的步行速度是每小时4.8千米，小张的步行速度是每小时5.4千米，他们两人从甲地到乙地去，小李骑自行车的速度是每小时10.8千米，从乙地到甲地去。三人同时出发，在小张与小李相遇5分钟后，小王又与小李相遇。问：小李骑车从乙地到甲地需要多长时间？
4．小明、小丽和小龙同时从学校出发去电影院，小明骑车，小丽和小龙步行。小明到达电影院的时发现电影票忘了带，于是立即原路返回，在离电影院5千米处和小丽相遇。半小时后又与小龙相遇。小明骑车的速度为每小时10千米，小丽的速度为每小时5千米，求小龙的速度。
5．甲、乙、丙、丁四人从A地出发去B地，丁先出发了若干分钟，甲、乙、丙才同时出发。分别经过6分钟、8分钟、12分钟后，甲、乙、丙分别追上丁。已知甲的速度是每分钟120米，丙的速度是每分钟80米，求乙的速度以及丁提前出发了多久？
6．A、B、C三辆车同时从东城出发去西城，已知A的速度是每小时60千米，C的速度是每小时36千米。A出发9小时后，遇到一辆迎面开来的卡车，1小时后，B也遇到了这辆卡车，又过了2小时，C与卡车相遇。求B的速度和东西两城的距离。
7．甲、乙、丙三人。甲每分钟走40米，丙每分钟走60,米，甲、乙两人从A、B地同时出发相向而行，他们出发15分钟后丙从B地出发追赶乙，此后甲、乙在途中相遇，过了7分钟甲又和丙相遇，又过了63分钟丙才追上乙。那么A、B两地相距多少米？
第六讲 多倍行程
行程问题三个量：路程，速度，时间
关系：路程 = 速度 × 时间
路程和 = 速度和 × 时间
路程差 = 速度差 × 时间
多倍行程：即相遇时路程和是全程的倍数。
从两地出发相向而行，第一次相遇合走一个全程，第二次相遇合走三个全程，第三次相遇合走五个全程第n次相遇合走(2n－1)个全程。
从同地出发同向而行，第一次相遇合走两个全程，第二次相遇合走四个全程，第三次相遇合走六个全程第n次相遇合走2n个全程。
！画行程图解决行程问题！
甲乙两辆车分别从A、B两站同时出发，相向而行，到站后立即返回。A、B两站的距离是200千米。求甲、乙在第二次、第三次、第五次相遇时，两车一共跑了多少千米？
甲、乙两人同时从A地去B地，A、B之间的距离是60千米。甲到达B后立即返回，途中与乙相遇。此时甲乙两人一共跑了多少千米？若两人一直在A、B两地之间往返，当他们相遇5次的时候，一共跑了多少千米？
甲、乙两辆汽车同时从东城出发去西城，甲车每小时行48千米，乙车每小时行42千米。甲到达西城后立即沿原路返回，在距离西城21千米处与乙相遇，求东、西两城相距多少千米？
客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两车相遇后又以原速继续前进，客车到达乙地后立即返回，货车到达甲地后也立即返回，两车在距中点108千米处再次相遇，甲、乙两地相距多少千米？
两辆汽车分别从甲、乙两站同时出发，相向而行，往返行驶，第一次离甲站40千米处相遇，第二次又在距乙站20千米处相遇。甲、乙两站相距多少千米？
小明和小英各自在公路上往返于甲、乙两地。设开始时他们分别从两地相向而行，若在距甲地3千米处他们第一次相遇，第二次相遇的地点在距离乙地2千米处，则甲、乙两地的距离是多少千米？
两辆汽车同时从南、北两站相对开出，第一次在离南站55千米的地方相遇，之后两车继续以原来的速度前进。各自到站后立即返回，又在离南站15千米处第二次相遇。两站相距多少千米？
甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，两车第一次在距A地32千米处相遇，相遇后两车继续行驶，各自到达B、A两地后，立即沿原路返回，第二次在距A地64千米处相遇，则A、B两地的距离是多少千米？
甲、乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒钟3米，乙的速度是每秒钟2米。如果他们同时从直路的两端发出，10分钟内共相遇了几次？
A、B两地相距1000米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B间往返锻炼。甲跑步每分钟行150米，乙步行每分钟行60米。在30分钟内，甲乙两人相遇了几次？
（用作家庭作业）
1．甲、乙两车分别从东、西两站同时相对开出。第一次相遇时，甲车行了80千米，两车继续以原来速度前进，各车到站后立即返回，第二次相遇地点在第一次相遇地点东侧40千米处。东西两站相距多少千米？
2．甲、乙同时从东西两镇相向步行，在距离西镇20千米处相遇，相遇后两人继续前进，甲至西镇，乙至东镇后立即返回，两人又在距东镇15千米处相遇，求东西两镇的距离。
3．小斌骑车每小时行15千米，小明步行每小时行5千米。两人同时在A地沿同一条线路去学校上学。小斌到学校后发现忘了带钥匙，就沿原路回家去拿，在离学校15千米处与小明相遇。问：相遇时小明共行了多少千米？A地到学校的距离是多少千米？
4．甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向而行，往返行驶。甲每小时行5千米，乙每小时行8千米。第三次相遇时，相遇点距A、B中点30千米，求A、B两地的距离。
5．AB两地相距4千米，在从A地到B地的公交路线上，有两辆公交车，一辆平均每小时行驶30千米，另一辆平均每小时行驶20千米（乘客上下车时间忽略不计）。早上5点都从A地出发，到晚上6点共相遇了多少次？（两车在同一地视为相遇，出发时为第一次）
6．A、B两地相距1100米，甲乙同时从A地出发，在A、B间往返锻炼。甲跑步每分钟行160米，乙步行每分钟行60米。在40分钟内，甲乙两人相遇了几次？
7．一列客车和货车从甲同时同向出发开往乙地，货车速度是每小时80千米，经过1小时两车在丙地相遇，两车到达两端后都立即返回，第二次相遇的地点也在丙地。求客车的速度。（客车速度较快）
第七讲 环形行程
行程问题三个量：路程，速度，时间
关系：路程 = 速度 × 时间
路程和 = 速度和 × 时间
路程差 = 速度差 × 时间
环形行程：1.相遇：路程和为一个全程
2.追击：路程差为一个全程
！画行程图解决行程问题！
小红和小玲绕一环形跑道骑自行车。她们从同一地点背向绕跑道行进。小红每分钟行200米，小玲每分钟行160米。已知环形跑道一周的长为1080米。她们第8次相遇小红走了多少米？
甲、乙两人绕圆形场地跑步。场地一周的长是300米，他们从同一地点出发背向而行。甲每分钟行80米，乙每分钟行70米，他们第6次相遇时甲比乙一共多走了多少米？
甲、乙两人绕周长为1000米的环形广场竞走，已知甲每分钟走125米，乙的速度是甲的2倍。现在甲在乙的后面250米，乙追上甲需要多少分钟？
甲、乙两人绕一环形跑道顺时针跑步，环形跑道的周长是600米，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑280米，现在甲在乙后面40,米，甲第二次追上乙需要多少分钟？
甲、乙两人同时从A点背向出发沿400米的环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，这两人最少用多少分钟在A点相遇？
在480米的环形跑道上，甲、乙两人同时从起点出发，反向跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑6米。当他们第一次相遇在起跑点时，他们已经在途中相遇了几次？
有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙两人同方向行走，甲与乙、丙两人背向而行。甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。甲和乙相遇3分钟后与丙相遇。这个花圃的周长是多少米？
甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60米、80米、100米。他们三人环湖跑步，甲、乙两人同向而行，丙与甲、乙两人反向而行。丙和乙相遇后，2分钟后又和甲相遇。求环湖一周的长。
如图：甲、乙两只小虫在直径A、B点上同时相向爬行，第一次在距A点10厘米的C点相遇，第二次在距B点7.5厘米的D点相遇。这个圆的周长是多少？
如图：A、B是圆的直径两端。小张在A点，小玉在B点同时出发相向行走。他们在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。C点离A点80米，D点离B点60米。求这个圆的周长。
（用作家庭作业）
1．姐弟两人在周长为420米的圆形花圃边玩，从同一地点同时背向绕花圃行走。姐姐每分钟走60米，弟弟每分钟走40米。他们第五次相遇需要多长时间？
2．一个圆形荷花池的周长是400米，甲、乙两人绕荷花池顺时针跑步。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，现在甲在乙后面50米，甲第二次追上乙需要多少分钟？
3．小明和小亮同时绕周长为720米的环形跑道行走，小明每分钟行90米，小亮每分钟行80米，他们同时从A点绕跑道顺时针行走。他们最少要用多少分钟在A点相遇？
4．在周长为200米的圆形跑道一条直径的两端，甲、乙两人分别以每秒6米、5米的骑车速度同时同向出发，沿跑道行驶。问：16分钟内甲追上乙几次？
5．甲、乙、丙三人绕一段环形公路行走，三人的步行速度分别是每分钟100米，90米，75米。乙与丙同方向行走，甲与乙、丙背向而行。甲和乙相遇3分钟后，甲和丙又相遇。求这段环形公路的长。
6．环湖一周长1800米，甲、乙两人同时同向出发，丙同时同地与甲、乙两人反向而行。已知甲、乙、丙三人的速度分别是每分钟60米、80米、100米，当乙和丙相遇时，甲落后乙几米？
7．如图，有一个圆。两只小虫分别从直径的两端A与C同时出发反向而行，绕圆周爬行。他们第一次相遇在离A点8厘米处的B点，第二次相遇在离C点6厘米处的D点。在这个圆周的长是多少？
8．如图：A、B是半圆的直径的端点，丽丽和琳琳分别从A、B两点出发沿圆弧路线相向行走，第一次相遇在离A点80米的C点处，相遇后各自以原速前进，各自到达对方出发点后都立即返回，结果走在离A点60米处的D点相遇。求圆弧A、B路线的长。
第八讲 火车错车
两列火车相遇错车：路程和=两列火车长度之和
两列火车追及超车：路程差=两列火车长度之和
齐头：路程差=快车车长
齐尾：路程差=慢车车长
！画行程图解决行程问题！
一列客车长200米，一列货车长280米，若两车同向而行，客车从追上货车到完全离开货车所用的时间为120秒；若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为12秒。求两车每小时各行多少千米？
快车长106米，慢车长74米，两车同向行驶，快车追上慢车后，又过1分钟才超过慢车，如果相向而行，车头相接后经过12秒两车才完全离开。则两车的速度分别是多少？
某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米，速度为每小时72千米的列车相遇，错车需要多少时间？
某列车通过360米长的第一个隧道用了24秒，接着通过216米长的隧道用了16秒。这列车与另一列长75米，速度为每小时86.4千米的列车错车而过，需要多少秒？
一列快车和一列慢车相向而行。快车车长是280米，慢车车长是385米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少？
甲、乙两列火车分别长150米、200米，它们相向而行，在甲车上的小明看乙车的通过时间是10秒，那在乙车上的小冬看甲车通过需要几秒？
有两列同向行驶的火车，快车每秒行30米，慢车每秒行22米。如果从列车头对齐开始算，则行24秒后快车超过慢车，如果从列车尾对齐开始算，则行28秒后快车超过慢车。快车长多少米？慢车长多少米？
已知甲车每秒行15米，乙车每秒行25米，从两车头对齐开始算，乙车超过甲车需要20秒；从两车尾对齐开始算，乙车超过甲车需要15秒。如果两车相向而行，错车需要多少秒？
（用作家庭作业）
1．甲火车从后面追上到完全超过乙火车用了31秒，甲火车身长150米，车速是每秒25米，乙火车身长160米，乙火车车速是多少？
2．快车长80米，慢车长70米，如果同向而行，快车车头接近慢车车尾后，又经过15秒才通过，如果相向而行，两个车头相接后，又经过6秒可以相离，问两车每秒各行多少米？
3．一列火车通过530米的桥需40秒，以同样的速度穿过380米的山洞需30秒，这列火车与一列长为80米，速度为10米每秒的列车错车，需要多少时间？
4．快、慢两列火车相向而行，快车的车长是50米，慢车的车长是80米，快车的速度是慢车的2倍，如果坐在慢车的人见快车驶过窗口的时间是5秒，那么，坐在快车的人见慢车驶过窗口的时间是多少？
5．一辆客车长150米，以每秒30米的速度在平直的轨道上行驶，在相邻的平行轨道上迎面开来一辆长100米的货车，速度是每秒20米，客车里靠窗口的乘客看到货车从他眼前经过的时间是多少？
6．现有两列火车同时同方向齐头行进，行12秒后快车超过慢车，快车每秒行18米，慢车每秒行10米，如果这两列火车车尾对齐同时同方向行进，则9秒后快车超过慢车，快车的车身长多少米？慢车的车身长多少米？
第九讲 速算与巧算
小数的简便计算出了可以灵活运用整数四则运算中我们已经学过的许多速算与巧算的方法外，还可以运用小数本身的特点，如小数的意义、小数的数位顺序、小数的性质、小数点位置移动引起小数大小的变化等。
很多计算题，如果我们根据运算法则按部就班地计算，将会觉得很繁，也很耗费时间，有的甚至算不出结果，如果我们能够发现其中数据的特点、正确运用数的组成、运算规律，把复杂的计算转化为简便的计算将会节约很多时间。学会巧算的一些基本方法（如：公式法、凑整法，分组法，设元法），将有助于我们提高计算能力、发展思维能力、增强注意力与记忆力。
94×56.87＋94×43.48＋60×10.035
16×76.1＋41×7.61＋201×2.39
计算：96-93+90-87+84-81+…+6-3
计算：100+99-98-97+96+95-94-93+…+8+7-6-5+4+3-2-1
计算：2.1÷1.7×5.1×14.8÷3.7÷0.7
计算：33.8×3.2÷2.6×5÷0.8

（1＋0.23＋0.34）×（0.23＋0.34＋0.65）－（1＋0.23＋0.34＋0.65）×（0.23＋0.34）
计算：
(2+3.15+5.87)×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32)×(3.15+5.87)
计算： 102×100－100×98＋98×96－96×94＋94×92－92×90＋···＋10×8－8×6＋6×4－4×2
计算：100×101－99×100＋98×99－97×98＋96×97－95×96＋···＋2×3－1×2
（用作家庭作业）
1．9999×2222＋3333×3334
2．2+4+6+＋…＋1998+2000
3．1240×3.4＋1.24×2300＋12.4×430
4．4.65×32－2.5×46.5－70×0.465
5．1.25×16＋37.5×1.6＋6.25×3.2＝__________。
6．2012.25×2013.75－2010.25×2015.75＝__________。
7．（0.1＋0.12＋0.123＋0.1234）×（0.12＋0.123＋0.1234＋0.12345）－（0.1＋0.12＋0.123＋0.1234＋0.12345）×（0.12＋0.123＋0.1234）
8．计算：（1＋1.2）＋（2＋1.2×2）＋（3＋1.2×3）＋···＋（99＋1.2×99）＋（100＋1.2×100）
第十讲 排列组合
排列
（1）一般地，从个不同的元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．
（2）排列的基本问题是计算排列的总个数．
从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做．
由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘．
一般地，对于的情况，排列数公式变为，式子右边是从开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为，读做的阶乘，则还可以写为：，其中
组合
一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．
（2）从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作．
根据乘法原理，得到．
因此，组合数
组合数有下面的重要性质：
规定，。
求下列的排列组合数：
=______________ =________________ =_______________
=______________ =________________ =________________
计算：
（2） （3）
（4） （5）（用算式表示） （6）
4名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？
有5面颜色不同的小旗，任意取出3面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？
6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
某校举行排球单循环赛，有12个队参加．问：共需要进行多少场比赛？
学校举行运动会，四年级三班准备从10个同学里面选出4个同学来参加比赛；
如果这4个同学都参加短跑比赛，则有多少种不同的参赛方案？
如果这4个同学要分别参加四项不同的运动，则有多少种不同的参赛方案？
从10个人里面选出三个人来完成任务，要求每人一项任务；
如果这三个人都只会一项任务且会的都不相同，那么有多少种不同的选法？
如果这三个人中每个人都会三项任务，那么有多少种不同的选法？
（用作家庭作业）
1．计算：
（2） （3）
（5） （6）
2．将五个不同颜色的小球放到五个不同的盒子里，每个盒子一个。有多少种不同的放法？
3．数学老师要从8个人中选出三个人去参加一个会议，则有多少种不同的选法？
4．六年级二班竞选班委，一共有10个人参加，竞选的位置有：学习委员，班长，文艺委员，体育委员。每个人只能担任一个职务。则有多少种不同的可能？
5．从2、3、4、5、6这五个数字中选出三个数字组成一个三位数，则能组成多少个三位数？
6．直线A、B上分别有4个点和2个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？
7．从，，，，中任取三个数字，从，，，中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？
第十一讲 页码问题
“数”与“组成它的数码个数”之间的关系．一位数共有9个，组成所有的一位数需要9个数码；两位数共有90个，组成所有的两位数需要2×90＝180(个)数码；三位数共有900个，组成所有的三位数需要3×900＝2700(个)数码。以此类推。
已知页码，求数码个数：分段求和。即分为一位数，两位数，三位数…分别求对应的数码个数再相加。
已知数码个数，求页码：先对比，确定页码是在哪一个范围，再计算。比如，若果页码在99和999之间，说明这本书有几百页，先减去一位数和两位数的数码个数189，剩下的即为三位数页码个数，除以3就是3位数页码，再加上99就是总的页码数。
求某个数字出现了多少次：找规律，找出这个数字在一位数、两位数、三位数（每一百页分一段）…之间出现多少次，再求和。
一本科幻小说共320页，编印这本科幻小说共用了多少数字？
五年级上学期数学课本共有131页，在这本书的页码中，共用了多少数字？
给一本书编页码，一共用了723个数字，这本书共有多少页？
排一本学生词典的页码共用了2925个数字，这本词典共有多少页？
一本书的页码共有62页，在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码多加了一次，得到的和为2000。问：这个被多加一次的页码是多少？
一本书的页码从1到80，在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码加漏了，结果得到的和为3182，问：这个被漏加的页码是多少？
将所有的自然数，从1开始一次写下去得到：1234567891011121314……，试确定第788个位置上出现的数字。
将所有的自然数，从1开始一次写下去得到：1234567891011121314……，试确定地890个位置上出现的数字。
一本书共有200页，它的页码中0出现了多少次？
一本书共有800页，它的页码中数字0出现了多少次？
（用作家庭作业）
1．一本书共204页，需多少个数码编页码？
2．一本小说的页码，在排版时必须用2211个数码。问：这本书共有多少页？
3．一本书的页码共有56页，在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码多加了一次，得到的和为1629。问：这个被多加一次的页码是多少？
4．将所有的自然数，从1开始一次写下去得到：1234567891011121314……，试确定地529个位置上出现的数字。
5．将所有的自然数，从1开始一次写下去得到：1234567891011121314……，试确定地1212个位置上出现的数字。
6．排一本书，这本书共有250页，它的页码中0出现了多少次？
7．求1—950这950个连续自然数中各位上数字有1多少个？
8．有一本90页的书被人撕掉一张，结果书上页码加起来和是4012。问撕掉的是哪一张？
第十二讲 牛吃草问题
牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。
解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量，牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但因为是匀速生长，所以每天长出的草的量是不变的。
解决牛吃草问题常用到四个基本、常用的公式，分别是︰
（1）草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；
（2）原有草量=牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；
（3）吃的天数=原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
（4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
牧场上有一片青草，每天牧草都匀速生长.这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天.若要求4天吃完这片青草，应该放养多少头牛？
有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6天，或者23头牛吃9天，请问它可供多少头牛吃12天？
牧场上有一片牧草，可供24头牛吃15天，或者可供30头牛吃10天.如果每天牧草生长的速度相同，那么这片牧草可供21头牛吃几天？
牧场上有一片青草，每天都生长得一样快.这片青草可供10头牛吃22天，或者可供16头牛吃10天.那么这片青草可供给27头牛吃几天？
有一片牧场，草每天都在均匀生长。如果在牧场上放养24头牛，那么6天可以把草吃完；如果放养21头牛，8天可以把草吃完。那么：
（1）如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？
（2）要让草永远吃不完，最多放养多少头牛？
有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。
（1）如果需要6天割完，需要派多少人去割草？
（2）如果要永远也割不完，最多派多少人？
一片牧场,每天生长草的速度相同.这片牧场可供 14 头牛吃 30 天,或者 60 只羊吃 40 天.如果 5 只羊吃草的量相当于一头牛的吃草量,那么 17 头牛和 20 只羊一起吃，几天可以将牧场的草吃完？
有一片牧草每天匀速生长，可供16头大牛吃20天，或者可供80头小牛吃12天.如果1头大牛1天的吃草量相当于4头小牛1天的吃草量.那么10头大牛与60头小牛一起吃，可以吃几天？
一个水池，池底有水流均匀涌出，若将满池水抽干，用10台水泵需2小时，用5台同样的水泵需7小时，想要在半小时内把满池水抽干，至少要这样的水泵多少台？
有一条船因触礁船体破了个洞，海水均匀地进入船内，发现漏水时，船已进了些水.如果12人舀水3小时舀完，如果5个人舀水则10小时可以舀完.如果要在5小时内舀完，需要安排几人？
（用作家庭作业）
1．牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长.这片牧草可供10头牛吃8天，或者可供8头牛吃12天.若要求6天吃完这片青草，应该放养多少头牛？
2．李村组织农民抗旱，从一个有地下泉的池塘担水浇地。如果50人担水，20小时可把池水担完。如果70人担水，10小时可把池水担完。现有130人担水，几小时可把池水担完？
3．经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年，假设地球新生成的资源增长速度是一样的，那么可供75亿人生活多少年？
4．一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？
5．有一片青草，每天生长速度相同.已知这片青草可供15头牛吃20天，或者供76只羊吃12天.如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么8头牛与64只羊一起吃，可以吃多少天？
6．有一个水井，水不断由泉涌出，井满则溢出。若用4台抽水机，15小时可把井水抽干。若用8台抽水机，7小时可把井水抽干。现在要用几台抽水机，能5小时把井水抽干？
第十三讲 单一倍数特征
2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8
5的倍数特征：个位是0、5
3（9）的倍数特征：各数位上的数字之和是3（9）的倍数
4（25）的倍数特征：末两位是4（25）的倍数
8（125）的倍数特征：末三位是8（125）的倍数
在方框中填入适当的数，使得到的数满足下列条件：
（1）2的倍数：：_________________ ：_________________
（2）5的倍数：：_________________ ：_________________
（3）3的倍数：：_________________ ：__________________
（4）4的倍数：：_________________ ：__________________
在方框中填入适当的数，使得到的数满足下列条件：
（1）9的倍数：：_________________ ：_______________
（2）5的倍数：：_________________ ：_________________
（3）2和5的倍数：：_____________ ：________________
（4）3和5的倍数：：_____________ ：________________
一个三位数是3的倍数，这个数可能是几？
一个四位数是9的倍数，这个数可能是几？
一个三位数是3的倍数，也是5的倍数，这个三位数可能是多少？
一个四位数是3的倍数，也是5的倍数这个四位数可能是多少？
一个三位数是8的倍数，这个数最大是几？最小是几？
一个四位数是8的倍数，这个数最大是几？最小是几？
用0、3、7、8这四个数组成一个四位数，使它既是3的倍数，又是5的倍数。这个四位数最大是多少？最小是多少？
0、4、5、9这四个数组成一个四位数，使它既是3的倍数，又是5的倍数。这个四位数最大是多少？最小是多少？
（用作家庭作业）
1．.在方框中填入适当的数，使得到的数满足下列条件：
（1）9的倍数：：________________ ：_______________
（2）4的倍数：：_________________ ：_______________
（3）2和5的倍数：：____________ ：_______________
（4）3和5的倍数：：____________ ：_______________
2．一个四位数是3的倍数，这个四位数可能是多少？
3．一个四位数是4的倍数，这个四位数可能是多少？
4．一个三位数是9的倍数，这个三位数最大是多少？最小是多少？
5．一个四位数是8的倍数，这个四位数最大是多少？最小是多少？
6．一个四位数是3的倍数，也是5的倍数，这个四位数可能是多少？
7．.一个五位数是3的倍数，也是5的倍数，这个五位数可能是多少？
8．四个数5、2、4、7组成一个四位数，使它既是3的倍数，又是5的倍数。这个四位数最大是多少？最小是多少？
第十四讲 单一倍数特征应用
2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8
5的倍数特征：个位是0、5
3（9）的倍数特征：各数位上的数字之和是3（9）的倍数
4（25）的倍数特征：末两位是4（25）的倍数
8（125）的倍数特征：末三位是8（125）的倍数
一个五位数既是9的倍数，也是5的倍数，这个五位数可能是多少？
一个五位数既是9的倍数，也是5的倍数，这个五位数可能是多少？
一个六位数既是8的倍数，也是9的倍数，这个六位数可能是多少？

一个七位数既是8的倍数，也是9的倍数，这个七位数可能是多少？
壮壮家的电话号码是七位数，并且是2、3和5的倍数。已知前三位是443，且这个七位数是满足上述条件的最小七位数，壮壮家的电话号码是多少？
团子家的电话号码是七位数，并且是2、3和5的倍数。已知前三位是825，且这个七位数是满足上述条件的最大七位数，壮壮家的电话号码是多少？
从9、6、2、7、8这五个数中选出三个数组成一个三位数，使它既是4的倍数，也是9的倍数，这个三位数最大是多少？最小是多少？
从4、1、6、7、8这五个数中选出四个数组成一个四位数，使它既是4的倍数，也是9的倍数，这个四位数最大是多少？最小是多少？
一个七位数既是8的倍数，也是5的倍数，也是9的倍数，这个七位数可能是多少？
一个七位数既是8的倍数，也是5的倍数，也是9的倍数，这个七位数可能是多少？
（用作家庭作业）
1．.一个五位数既是9的倍数，也是5的倍数，这个五位数可能是多少？
2．一个六位数既是9的倍数，也是5的倍数，这个五位数最大是多少？最小是多少？
3．一个七位数既是9的倍数，也是8的倍数，这个七位数可能是多少？
4．一个五位数既是9的倍数，也是4的倍数，这个五位数可能是多少？
5．小明家的电话号码是七位数，并且是2、3和5的倍数。已知前三位是923，且这个七位数是满足上述条件的最大七位数，壮壮家的电话号码是多少？
6．四个数0、3、7、8组成一个四位数，既是4的倍数，也是9的倍数，这个四位数最大是多少？最小是多少？
7．一个七位数既是8的倍数，也是5的倍数，也是9的倍数，这个七位数可能是多少？
8．一个七位数既是4的倍数，也是5的倍数，也是9的倍数，这个七位数可能是多少？
个数
所需数码个数
数码总个数
页码总数
一位数
9
9
9
9
两位数
90
180
189
99
三位数
900
2700
2889
999
四位数
9000
36000
38889
9999
…
…
…
…
…