山东省北镇中学2024-2025学年高二上学期第二次考试(9月月考)数学试题

这是一份山东省北镇中学2024-2025学年高二上学期第二次考试(9月月考)数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：袁萍萍 审核人：刘颖
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．若，，，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
2．已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
5．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．已知椭圆M：的左、右焦点分别为，，点P在M上，Q为的中点，且，，则M的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知圆C：，过点的直线l与x轴交于点P，与圆C交于A，B两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（ ）
A．C的离心率为B．
C．的最大值为D．使为直角的点P有4个
10．已知直线l：，圆C：，为圆C上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为5B．的最大值为
C．直线l与圆C相切时，D．圆心C到直线l的距离最大为4
11．如图所示，在直三棱柱中，底面ABC是等腰直角三角形，，点D为侧棱上的动点，M为线段中点，则下则说法正确的是（ ）
A．存在点D，使得
B．周长的最小值为
C．三棱锥的外接球的体积为
D．平面与平面ABC的夹角正弦值的最小值为
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分
12．直线被圆截得的弦长为______．
13．点P是椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为______．
14．如图，长方体中，，，点P为线段上一点，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）如图，在直四棱柱中，底面四边形ABCD为梯形，，，，．
（1）证明：；
（2）若，求点B到平面的距离．
16．已知圆C经过点，且圆心C在直线上．
（1）求圆C方程；
（2）若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程．
17．已知椭圆C：的一个焦点为，且离心率为．
（1）求C的方程；
（2）过F作直线l与C交于M，N两点，O为坐标原点，若，求l的方程．
18．在中，，，，D，E分别是AC，AB上的点，满足且DE经过的重心，将三角形ADE沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示．
（1）求证：；
（2）求CM与平面所成角的大小；
（3）在线段上是否存在点N，使平面CBM与平面BMN成角余弦值为？若存在，求出CN的长度；若不存在，请说明理由．
19．已知椭圆C：的离心率为，右顶点Q与C的上，下顶点所围成的三角形面积为．
（1）求C的方程．
（2）不过点Q的动直线l与C交于A，B两点，直线QA与QB的斜率之积恒为．
（ⅰ）证明：直线l过定点；
（ⅱ）求面积的最大值．
山东省北镇中学高69级第二次考试数学试题参考答案
12．13．14．3
15．【详解】（1）因为，，
所以，所以，因为为直四棱往，
所以，因为，，，
所以，因为，所以，
因为，所以．
（2）由（1）及题意知，AB，AD，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系
因为，，．
所以，，，，，
所以，，，，，
解得，所以点B到平面的距离为．
16．【详解】（1）由題可设圆C的标准方程为，则
解之得，，，所以圆C的标准方程为；
（2）设，，由及M为线段EF的中点得，
解得，又点E在圆C：上，
所以有，化简得：，
故所求的轨迹方程为．
17．【详解】（1）由已知得，离心率，得，，
则C的方程为．
（2）由题可知，若面积存在，则斜率不为0，
所以设直线l的方程为，m显然存在，，．
联立消去x得，
因为直线l过点F，所以显然成立，且，，
因为，，
化简得解得或（含）
所以直线l的方程为或．
18．【详解】（1）因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又，，
所以，，所以，
又已知，且都在面BCDE内，所以；
（2）由（1），以CD为x轴，CB为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
不妨令，则，，
设CM与平面所成角的大小为，
则有，
设为CM与平面所成角，故，
即CM与平面所成角的大小为．
（3）假设在线段上存在点N，使平面CBM与平面BMN成角余弦值为．
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面BMN的法向最为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
设平面CBM的法向量为，则有．即
不妨令，则，，所以，
若平面CBM与平面BMN成角余弦值为．
则满足，
化简得，解得或，即或，
故在线段上存在这样的点N，使平面CBM与平面BMN成角余弦值为，此时CN的长为或．
19．【详解】（1）令椭圆C：的半焦距为c，由离心率为，得，解得，，
由三角形面积为，得，则，，，
所以C的方程是．
（2）（ⅰ）由（1）知，点，设直线l的方程为，设，，
由消去x得：，
则，，
直线QA与QB的斜率分别为，，
于是
，
整理得，解得或，
当时，直线过点Q，不符合题意，因此，
直线l：恒过定点．
（ⅱ）由（ⅰ）知，，，
则|，
因此的面积，
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
B
B
B
C
D
BCD
BC
题号
11
答案
ACD