2024-2025学年江西省吉安市遂川中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江西省吉安市遂川中学高二（上）开学数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若α是第三象限角，且sin(α+β)⋅csβ−sinβcs(α+β)=−513，则tanα2的值为( )
A. −5B. 5C. −513D. 513
2.从圆x2−2x+y2−2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )
A. 12B. 35C. 32D. 0
3.若将函数f(x)=2csx(csx+sinx)−1的图象向左平移π4个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)图象的对称中心的坐标是( )
A. (−3π8+kπ,0)(k∈Z)B. (−π8+kπ,0)(k∈Z)
C. (−3π8+kπ2,0)(k∈Z)D. (−π8+kπ2,0)(k∈Z)
4.已知椭圆C：x22+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若FA=3FB，则|AF|=( )
A. 2B. 2C. 3D. 3
5.在四棱锥P−ABCD中，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为线段PC上一点，当PA//平面EBF时，PFPC=( )
A. 3
B. 4
C. 13
D. 14
6.如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则PC⋅PD的取值范围为( )
A. (0,4)
B. [0,4]
C. (0,2)
D. [0,2]
7.已知过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线与C相交于A，B两点，y轴上一点P满足PA⊥PF，则OP⋅OB=( )
A. 1B. 2C. −1D. −2
8.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，S为△ABC的面积，a=4，且2S=a2−(b−c)2，则△ABC的周长的取值范围是( )
A. (8,4 5+4]B. (12,2 5+2]C. (8,2 5+2]D. (12,4 5+4]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l： 3x−y+1=0，则下列结论正确的是( )
A. 直线l的一个法向量为( 3,1)
B. 若直线m：x− 3y+1=0，则l⊥m
C. 点( 3,0)到直线l的距离是2
D. 过(2 3,2)与直线l平行的直线方程是 3x−y−4=0
10.设点A，F1，F2的坐标分别为(−1,1)，(−1,0)，(1,0)，动点P(x,y)满足： (x+1)2+y2+ (x−1)2+y2=4，则下列说法正确的有( )
A. 点P的轨迹方程为x24+y23=1
B. |PA|+|PF2|1
11.△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c下列叙述正确的是( )
A. 若a2+b2−c2>0，则△ABC一定是锐角三角形
B. 若acsA=bcsB=ccsC，则△ABC一定是等边三角形
C. 若A>B，则csA0)与椭圆C2：x2a2+y2=1(a>1)有公共的焦点F1、F2，且C1与C2在第一象限的交点为M，若△MF1F2的面积为1，则a的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=2cs(ωx−π6+θ)(ω>0,00)的离心率为 32，椭圆C的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为2 3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：x−my−1=0(m≠0)与x轴交于点T，与椭圆C交于P，Q两点，过点P作x轴的垂线交椭圆C交于另一点R，求△TQR面积的最大值．
19.(本小题17分)
在三棱锥P−ABC中，PC=BC=1，AC=2，AP= 3，∠ACB=90°，PB的中点为M，点D在线段AB上，且满足DB=DP．
(1)求证：PB⊥CD；
(2)当平面PDC⊥平面ABC时，
①求点P到平面ABC的距离；
②若N为AB的中点，求平面PAC与平面MNC夹角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：sin(α+β)⋅csβ−sinβcs(α+β)=sin[(α+β)−β]=sinα=−513，
∵α是第三象限角，
∴csα=− 1−(−513)2=−1213，
∴tanα2=sinα2csα2=2sinα2⋅csα22cs2α2=sinα1+csα=−5131−1213=−5．
故选：A．
运用正弦函数的两角差公式，将sin(α+β)⋅csβ−sinβcs(α+β)化简为sinα，再结合三角函数的同角公式，以及二倍角公式，即可求解．
本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及三角函数的同角公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：圆x2−2x+y2−2y+1=0的圆心为M(1,1)，半径为1，从外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，
则点P到圆心M的距离等于 5，每条切线与PM的夹角的正切值等于12，
所以两切线夹角的正切值为tanθ=2⋅121−14=43，该角的余弦值等于35，
故选：B．
先求圆心到P的距离，再求两切线夹角一半的三角函数值，然后求出结果．
本题考查圆的切线方程，两点间的距离公式，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：f(x)=2csx(csx+sinx)−1=2cs2x+2sinxcsx−1=cs2x+sin2x= 2sin(2x+π4)，
把f(x)的图象向左平移π4个单位长度得到g(x)= 2sin(2x+3π4)，
令2x+3π4=kπ，k∈Z，
则x=kπ2−3π8，k∈Z，
则g(x)图象的对称中心的坐标为(kπ2−3π8,0)，k∈Z．
故选：C．
先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合函数图象的平移变换先求出g(x)，然后结合正弦函数的对称性即可求解．
本题主要考查了是二倍角公式及辅助角公式的应用，还考查了三角函数的图象的平移，正弦函数对称性的应用，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：过点B作BM⊥x轴于M，
并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．
由题意FA=3FB，
故FM=13，故B点的横坐标为43，纵坐标为±13
即BM=13，
故AN=1，
∴|AF|= 2．
故选A
过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据FA=3FB，求出BM，AN，进而可得|AF|．
本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．
5.【答案】D
【解析】解：如图，连接AC交BE于点G，连接FG，
因为PA//平面BEF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF=FG，
所以PA//FG，
所以PFPC=AGAC，因为AD//BC，E为AD的三等分点，
则AGGC=AEBC=13,AGAC=14即PFPC=14．
故选：D．
根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可．
本题考查线面平行性质定理，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，
则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，P(1+csθ,sinθ)(0≤θ≤π)，
所以PC=(1−csθ,2−sinθ)，PD=(−1−csθ,2−sinθ)，
所以PC⋅PD=(1−csθ)(−1−csθ)+(2−sinθ)2=cs2θ−1+4−4sinθ+sin2θ=4−4sinθ，
因为0≤θ≤π，所以sinθ∈[0,1]，所以4−4sinθ∈[0,4]．
故选：B．
建立平面直角坐标系，求出PC，PD的坐标，再由平面向量的坐标运算和三角函数的有界性计算即可求得．
本题考查平面向量的数量积与三角函数的有界性，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点F坐标为(1,0)，
∴设AB直线方程为x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=my+1y2=4x，可得y2−4my−4=0，
∴y1y2=−4，设P(0,t)，
∴PA=(x1,y1−t)，PF=(1,−t)，∵PA⊥PF，
∴PA⋅PF=x1−y1t+t2=0，
∴y124−y1t+t2=0，∴(y12−t)2=0，∴y1=2t，
又OP=(0,t)，OB=(x2,y2)，
∴OP⋅OB=ty2=t×(−4y1)=t×(−42t)=−2．
故选：D．
根据题意可设AB直线方程为x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,t)，联立AB直线与抛物线方程，可得y1y2=−4，再根据PA⊥PF建立方程，从而可得y1=2t，最后根据向量数量积的坐标运算，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，向量数量积的坐标运算，方程思想，化归转化思想，属中档题．
8.【答案】D
【解析】解：在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，a=4，且2S=a2−(b−c)2，
则2S=a2−(b−c)2=a2−b2−c2+2bc=2bc−2bccsA，
所以S=bc−bccsA=12bcsinA，
所以1−csA=12sinA，即2sin2A2=sinA2csA2，
又A为锐角，
所以可得tanA2=12，tanA=2tanA21−tan2A2=43，sinA=45，csA=35，
又a=4，
由正弦定理可得bsinB=csinC=445=5，
所以b+c=5[sinB+sin(A+B)]
=5(sinB+45csB+35sinB)
=4csB+8sinB
=4 5sin(B+φ)，其中tanφ=12，φ=A2，
因为△ABC为锐角三角形，
所以π2−A0，由余弦函数y=csx的单调性易知，csA