安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

这是一份安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题，共9页。试卷主要包含了已知复数满足，则复数的虚部为，已知向量，则，5 B，在复平面内，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，则（ ）
A.2 B.3 C. D.
3.某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第75百分位数是（ ）
A.8.5 B.9 C.9.5 D.10
4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
5.一个射手进行射击，记事件为“脱靶”，为“中靶”，为“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（ ）.
A.与 B.与
C.与 D.以上都不对
6.在中，内角的对边分别为，已知，则边上的高为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，是由斜二测画法得到的水平放置的直观图，其中，点为线段的中点，对应原图中的点，则在原图中下列说法正确的是（ ）
A.
B.的面积为2
C.在上的投影向量为
D.与同向的单位向量为
8.如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一.某同学为测量钟楼的高度，在钟楼的正西方向找到一座建筑物，高为米，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，钟楼顶部的仰角分别为和，在处测得钟楼顶部的仰角为，则钟楼的高度为（ ）米.
A. B.
C. D.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知甲､乙两位同学在高一年级六次考试中的数学成绩的统计如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.若甲､乙两组数据的平均数分别为，则
B.若甲､乙两组数据的方差分别为，则
C.甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数
D.甲成绩的极差小于乙成绩的极差
10.在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A.复数，则在复平面内对应的点位于第一象限
B.若复数，则
C.若复数满足，则
D.若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
11.如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足，下列结论正确的是（ ）
A.
B.二面角的正切值的最大值为2
C.三棱锥的体积为定值
D.三角形的周长最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.圆台的母线长为，上､下底面半径分别为2，3，则该圆台的体积为__________.
13.在直角三角形中，，点在斜边的中线上，则的取值范围为__________.
14.空间四边形中，，且异面直线与成，求异面直线与所成角的余弦值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在中，内角所对的边分别为，已知.
（1）求角；
（2）若，求周长的最大值.
16.（15分）
采石矶是长江三大名矶之一，位于马鞍山市区西南约5公里处，海拔131米的翠螺山探入西侧的长江，月牙形的锁溪河包围了山的东面.采石矶因李白而出名，相传他醉酒后赴江中捉月，溺死于采石.游客来寻访诗仙足迹的同时，还可以看到秀丽的园林景观和壮阔的长江水色.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数（结果保留整数）；
（2）已知满意度分值落在的平均数方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差.
17.（15分）
已知盒中有大小､质地相同的红球､黄球､蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
（1）求盒中红球､黄球､蓝球的个数；
（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
（i）写出该试验的样本空间；
（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.
18.（17分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，点为中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值的取值范围.
19.（17分）
在平面直角坐标系中，横､纵坐标都是整数的点称为整点，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列与，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同：②，其中，则称与互为正交点列.
（1）求的正交点列；
（2）判断是否存在正交点列？并说明理由.
数学参考答案
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.解：（1）因为，整理得，，，
，可得，，最后可得，
（2），
，
周长
，
当时，，
周长的最大值为.
16.解：（1）由频率分布直方图可得，，解得，
由频率分布直方图可估计众数为85.
满意度分值在的频率为，
在的频率为，
所以中位数落在区间内，
所以中位数为.
（2）由频率分布直方图得，满意度分值在的频率为，人数为20；在的频率为，人数为30，
把满意度分值在记为，其平均数，方差，
在记为，其平均数，方差，
所以满意度分值在的平均数
，
根据方差的定义，满意度分值在的方差为
17.（1）从中任取一球，分别记得到红球､黄球､蓝球为事件，
因为为两两互斥事件，
由已知得解得
所以盒中红球､黄球､蓝球的个数分别是；
（2）（i）由（1）知红球､黄球､蓝球个数分别为，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
（ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，
则，所以，
所以，
因为，所以此游戏不公平.
18.解：（1）证明：因为平面平面，平面平面，且
所以平面
又平面，所以，
又平面平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）设，
由（1）知平面，又平面，
所以
过点作交于点，则平面ABCD，且
设点到平面的距离为，
则由，可得
即，解得
所以与平面所成角的正弦值为，
因为，所以，故，
所以与平面所成角的正弦值的取值范围是.
19.（1）设点列的正交点列是，
由正交点列的定义可知，
设，
由正交点列的定义可知，
即，解得
所以点列的正交点列是.
（2）由题可得，
设点列是点列的正交点列，
则可设
因为与与相同，所以有
因为得方程，显然不成立，
所以有序整点列不存在正交点列.比赛成绩
6
7
8
9
10
班级数
3
5
4
4
4
1
2
3
4
5
6
7
8
A
A
B
B
B
D
D
C
9
10
11
ACD
ABD
AC