2024-2025学年湖北省武汉市七一中学九上数学开学学业水平测试试题【含答案】

这是一份2024-2025学年湖北省武汉市七一中学九上数学开学学业水平测试试题【含答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成，其中第1个图共有3个小正方形，第2个图共有8个小正方形，第3个图共有15个小正方形，第4个图共有24个小正方形，照此规律排列下去，则第8个图中小正方形的个数是（ ）
A．48B．63C．80D．99
2、（4分）如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（ ）
A．四边形ACDF是平行四边形
B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形
C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形
D．四边形ACDF不可能是正方形
3、（4分）若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）在一个晴朗的上午，小丽拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验，矩形木板在地面上形成的投影不可能是（ ）
A．B．
C．D．
5、（4分）已知为矩形的对角线，则图中与一定不相等的是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）下面几种说法：①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行，一组邻边相等的四边形是菱形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么准确的说法是（ ）
A．①②③B．②③C．③④D．②④
7、（4分）禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m，该直径用科学记数法表示为（ ）
A．1.02×10﹣7mB．10.2×10﹣7mC．1.02×10﹣6mD．1.0×10﹣8m
8、（4分）如图，在中，、是的中线，与相交于点，点、分别是、的中点，连接.若，，则四边形的周长是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，正方形的边长为5 cm，是边上一点，cm.动点由点向点运动，速度为2 cm/s ，的垂直平分线交于，交于.设运动时间为秒，当时，的值为______.
10、（4分）如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是_____．
11、（4分）若有意义，则x的取值范围是____．
12、（4分）命题“在中，如果，那么是等边三角形”的逆命题是_____.
13、（4分）若把代数式化为的形式，其中、为常数，则______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，把矩形纸片ABCD置于直角坐标系中，AB∥x轴，BC∥y轴，AB=4，BC=3，点B（5，1）翻折矩形纸片使点A落在对角线DB上的H处得折痕DG．
（1）求AG的长；
（2）在坐标平面内存在点M（m，-1）使AM+CM最小，求出这个最小值；
（3）求线段GH所在直线的解析式．
15、（8分）在平面直角坐标系中，过一点分别作x轴，y轴的垂线，如果由这点、原点及两个垂足为顶点的矩形的周长与面积相等，那么称这个点是平面直角坐标系中的“巧点”．例如，图1中过点P（4，4）分別作x轴，y轴的垂线，垂足为A，B，矩形OAPB的周长为16，面积也为16，周长与面积相等，所以点P是巧点．请根据以上材料回答下列问题：
（1）已知点C（1，3），D（-4，-4），E（5，-），其中是平面直角坐标系中的巧点的是______；
（2）已知巧点M（m，10）（m＞0）在双曲线y=（k为常数）上，求m，k的值；
（3）已知点N为巧点，且在直线y=x+3上，求所有满足条件的N点坐标．
16、（8分）如图，在的方格中，的顶点均在格点上．试按要求画出线段（，均为格点），各画出一条即可．

17、（10分）如图，已知□ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且EF垂直平分对角线AC，垂足为O，求证：四边形AECF是菱形。
18、（10分）如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折叠DE分别交AB、AC于E、G，连接GF，下列结论：①∠FGD＝112.5°②BE＝2OG③S△AGD＝S△OGD④四边形AEFG是菱形( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在▱ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE=12cm，CE=5cm．则▱ABCD的周长为_____，面积为_____．
20、（4分）若是完全平方式，则的值是__________.
21、（4分）为了解一批灯管的使用寿命，适合采用的调查方式是_____（填“普查”或“抽样调查”）
22、（4分）在△ABC中，AB=10，CA=8，BC=6，∠BAC的平分线与∠BCA的平分线交于点I，且DI∥BC交AB于点D,则DI的长为____.
23、（4分）如果向量，那么四边形的形状可以是_______________（写出一种情况即可）
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分） (1)如图,纸片▱ABCD中,AD=5,S▱ABCD=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形AEE'D的形状为( )
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
(2)如图,在(1)中的四边形纸片AEE/D中,在EE/上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE/F/的位置,拼成四边形AFF/D．
①求证:四边形AFF'D是菱形;
②求四边形AFF'D的两条对角线的长.
图1 图2
25、（10分）将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A1BC1D1，点A、C、D的对应点分别为A1、C1、D1
（1）当点A1落在AC上时
①如图1，若∠CAB＝60°，求证：四边形ABD1C为平行四边形；
②如图2，AD1交CB于点O．若∠CAB≠60°，求证：DO＝AO；
（2）如图3，当A1D1过点C时．若BC＝5，CD＝3，直接写出A1A的长．
26、（12分）昆明市某校学生会干部对校学生会倡导的“牵手滇西”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，对学校部分捐款人数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）．已知A、B两组捐款人数的比为1：1．
请结合以上信息解答下列问题．
（1）a＝ ，本次调查样本的容量是 ；
（2）先求出C组的人数，再补全“捐款人数分组统计图1”；
（3）根据统计情况，估计该校参加捐款的4100名学生有多少人捐款在20至40元之间．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
【详解】
∵第1个图共有3个小正方形，3=1×3；
第2个图共有8个小正方形，8=2×34；
第3个图共有15个小正方形，15=3×5；
第4个图共有24个小正方形，24=4×6；
…
∴第8个图共有8×10=80个小正方形；
故选C.
本题考查了规律型---图形类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
2、B
【解析】
根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法一一判断即可．
解：∵∠ACB=∠EFD=30°，
∴AC∥DF，
∵AC=DF，
∴四边形AFDC是平行四边形，
选项A正确；
当E是BC中点时,无法证明∠ACD=90°，
选项B错误；
B、E重合时，易证FA=FD，
∵四边形AFDC是平行四边形，
∴四边形AFDC是菱形，
选项C正确；
当四边相等时,∠AFD=60°,∠FAC=120°，
∴四边形AFDC不可能是正方形，
选项D正确.
故选B.
点睛：本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定.熟练应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法进行证明是解题的关键.
3、B
【解析】
直接利用分式有意义的条件进而得出答案．
【详解】
∵代数式在实数范围内有意义，
∴a-1≠0，
∴a≠1．
故选B．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
4、A
【解析】
解：将矩形木框立起与地面垂直放置时，形成B选项的影子；
将矩形木框与地面平行放置时，形成C选项影子；
将木框倾斜放置形成D选项影子；
根据同一时刻物高与影长成比例，又因矩形对边相等，因此投影不可能是A选项中的梯形，因为梯形两底不相等．
故选A．
5、D
【解析】
解：A选项中，根据对顶角相等，得与一定相等；
B、C项中无法确定与是否相等；
D选项中因为∠1=∠ACD，∠2＞∠ACD，所以∠2＞∠1．
故选：D
6、C
【解析】
根据矩形和菱形的判定定理进行判断．
【详解】
解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，①错误，④正确；
两组对边平行，一组邻边相等的四边形是菱形，②错误；
对角线相等的平行四边形是矩形，③正确；
∴正确的是③④，
故选：C.
本题考查了矩形和菱形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．
7、A
【解析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：0.000000102m＝1.02×10﹣7m；
故选A．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8、A
【解析】
根据三角形的中位线即可求解.
【详解】
依题意可知D,E,F,G分别是AC,AB,BO,CO的中点，
∴DE是△ABC的中位线，FG是△OBC的中位线，EF是△ABO的中位线，DG是△AOC的中位线，
∴DE=FG=BC=2cm，EF=DG=AO=cm，
∴四边形的周长是DE+EF+FG+DG=7cm,
故选A.
此题主要考查中位线的性质，解题的关键是熟知三角形中位线的判定与性质.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、2
【解析】
连接ME，根据MN垂直平分PE，可得MP=ME，当时，BC=MP=5，所以可得EM=5，AE=3，可得AM=DP=4，即可计算出t 的值.
【详解】
连接ME
根据MN垂直平分PE
可得为等腰三角形，即ME=PM





故答案为2.
本题主要考查等腰三角形的性质，这类题目是动点问题的常考点，必须掌握方法.
10、．
【解析】
首先，需要证明线段B1B2就是点B运动的路径（或轨迹），如图1所示．利用相似三角形可以证明；其次，证明△APN∽△AB1B2，列比例式可得B1B2的长．
【详解】
解：如图1所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，BBi，
∵AO⊥AB1，AP⊥ABi，
∴∠OAP＝∠B1ABi，
又∵AB1＝AO•tan30°，ABi＝AP•tan30°，
∴AB1：AO＝ABi：AP，
∴△AB1Bi∽△AOP，
∴∠B1Bi＝∠AOP．
同理得△AB1B2∽△AON，
∴∠AB1B2＝∠AOP，
∴∠AB1Bi＝∠AB1B2，
∴点Bi在线段B1B2上，即线段B1B2就是点B运动的路径（或轨迹）．
由图形2可知：Rt△APB1中，∠APB1＝30°，
∴
Rt△AB2N中，∠ANB2＝30°，
∴
∴
∵∠PAB1＝∠NAB2＝90°，
∴∠PAN＝∠B1AB2，
∴△APN∽△AB1B2，
∴，
∵ON：y＝﹣x，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴OM＝MN＝，
∴PN＝，
∴B1B2＝，
综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B1B2，其长度为．
故答案为：．
本题考查动点问题，用到了三角形的相似、和等腰三角形的性质，解题关键是找出图形中的相似三角形，利用对应边之比相等进行边长转换．
11、x≥1．
【解析】
直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
【详解】
∵有意义，∴x≥1，
故答案为：x≥1．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
12、如果是等边三角形，那么.
【解析】
把原命题的题设与结论进行交换即可．
【详解】
“在中，如果，那么是等边三角形”的逆命题是“如果是等边三角形，那么”.
故答案为：如果是等边三角形，那么.
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
13、-7
【解析】
利用配方法把变形为（x-2）-9，则可得到m和k的值，然后计算m+k的值．
【详解】
x−4x−5=x−4x+4−4−5
=(x−2) −9，
所以m=2，k=−9，
所以m+k=2−9=−7.
故答案为：-7
此题考查配方法的应用，解题关键在于掌握运算法则.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）AG=1.5；AM+CM最小值为;（3）
【解析】
试题分析：（1）根据折叠的性质可得AG=GH，设AG的长度为x，在Rt△HGB中，利用勾股定理求出x的值；
（2）作点A关于直线y=-1的对称点A'，连接CA'与y=-1交于一点，这个就是所求的点，求出此时AM+CM的值；
（3）求出G、H的坐标，然后设出解析式，代入求解即可得出解析式．
试题解析：（1）由折叠的性质可得，AG=GH，AD=DH，GH⊥BD，
∵AB=4，BC=3，
∴BD=，
设AG的长度为x，
∴BG=4-x，HB=5-3=2，
在Rt△BHG中，GH2+HB2=BG2，
x2+4=（4-x）2，
解得：x=1.5，
即AG的长度为1.5；
（2）如图所示：作点A关于直线y=-1的对称点A'，连接CA'与y=-1交于M点，
∵点B（5，1），
∴A（1，1），C（5，4），A'（1，-3），
AM+CM=A'C=，
即AM+CM的最小值为；
（3）∵点A（1，1），
∴G（2.5，1），
过点H作HE⊥AD于点E，HF⊥AB于点F，如图所示，
∴△AEH∽△DAB，△HFB∽△DAB，
∴，，
即，，
解得：EH=，HF=，
则点H（，），
设GH所在直线的解析式为y=kx+b，
则，解得：，
则解析式为：．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及了折叠的性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质以及利用待定系数法求函数解析式等知识，知识点较多，难度较大，解答本题的关键是掌握数形结合的思想．
15、（1）D和E；（2）m=，k=25；（3）N的坐标为(-6，-3)或(3，6)．
【解析】
（1）利用矩形的周长公式、面积公式结合巧点的定义，即可找出点D，E是巧点；
（2）利用巧点的定义可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出k值；
（3）设N(x，x+3)，根据巧点的定义得到2（|x|+|x+3|）=|x||x+3|，分三种情况讨论即可求解．
【详解】
（1）∵（4+4）×2=4×4，（5+）×2=5×，（1+3）×2≠1×3，
∴点D和点E是巧点，
故答案为：D和E；
（2）∵点M(m，10)（m＞0），
∴矩形的周长=2（m+10），面积=10m．
∵点M是巧点，
∴2（m+10）=10m，解得：m=，
∴点M(，10)．
∵点M在双曲线y=上，
∴k=×10=25；
（3）设N(x，x+3)，则2（|x|+|x+3|）=|x||x+3|，
当x≤-3时，化简得：x2+7x+6=0，解得：x=-6或x=-1（舍去）；
当-3＜x＜0时，化简得：x2+3x+6=0，无实根；
当x≥0时，化简得：x2-x-6=0，解得：x=3或x=-2（舍去），
综上，点N的坐标为(-6，-3)或(3，6)．
本题主要考查一次函数图象以及反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的周长及面积以及解一元二次方程，理解巧点的定义，分x≤-3、-3＜x＜0及x≥0三种情况，求出N点的坐标，是解题的关键．
16、见解析
【解析】
图1，从图中可得到AC边的中点在格点上设为E，过E作AB的平行线即可在格点上找到F；图2，EC=，EF=，FC=，借助勾股定理确定F点．
【详解】
解：如图：
本题考查三角形作图；在格点中利用勾股定理，三角形的性质作平行、垂直是解题的关键．
17、证明见解析
【解析】
试题分析：先根据垂直平分线的性质得所以∠1=∠2，
∠3=∠4；再结合平行线的性质得出∠1=∠4=∠3，即 利用四条边相等的四边形是菱形即可证明
试题解析：∵EF垂直平分AC,
∴AO=OC，AE=CE，AF=CF，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠4=∠3，
∴AF=AE，
∴AE=EC=CF=FA，
∴四边形AECF是菱形.
点睛：菱形的判定：四条边相等的四边形是菱形.
18、C
【解析】
①由四边形ABCD是正方形和折叠性得出∠DAG=∠DFG=45°，∠ADG=∠FDG=45°÷2=22.5°，再由三角形的内角和求出∠FGD=112.5°．故①正确，
②④由四边形ABCD是正方形和折叠，判断出四边形AEFG是平行四边形，再由AE=EF，得出四边形AEFG是菱形．利用45°的直角三角形得出GF=OG，BE=EF=GF，得出BE=2OG，故②④正确．
③由四边形ABCD是正方形和折叠性，得到△ADG≌△FDG，所以S△AGD=S△FDG≠S△OGD故③错误．
【详解】
①由四边形ABCD是正方形和折叠性知，
∠DAG＝∠DFG＝45°，∠ADG＝∠FDG＝45°÷2＝22.5°，
∴∠FGD＝180°﹣∠DFG﹣∠FDG＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，
故①正确，
②由四边形ABCD是正方形和折叠性得出，
∠DAG＝∠DFG＝45°，∠EAD＝∠EFD＝90°，AE＝EF，
∵∠ABF＝45°，
∴∠ABF＝∠DFG，
∴AB∥GF，
又∵∠BAC＝∠BEF＝45°，
∴EF∥AC，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴四边形AEFG是菱形．
∵在Rt△GFO中，GF＝OG，
在Rt△BFE中，BE＝EF＝GF，
∴BE＝2OG，
故②④正确．
③由四边形ABCD是正方形和折叠性知，
AD＝FD，AG＝FG，DG＝DG，
在△ADG和△FDG中，
，
∴△ADG≌△FDG(SSS)，
∴S△AGD＝S△FDG≠S△OGD
故③错误．
正确的有①②④，
故选C．
本题主要考查了折叠问题，菱形的判定及正方形的性质，解题的关键是明确图形折叠前后边及角的大小没有变化．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、39cm 60cm1
【解析】
根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形ABE和等腰三角形CDE和直角三角形BCE．根据直角三角形的勾股定理得到BC=13cm，根据等腰三角形的性质得到AB=CD=AD=CD=6.5cm，从而求得该平行四边形的周长；根据直角三角形的面积可以求得平行四边形BC边上的高．
【详解】
∵BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，
∴∠1=∠3=∠ABC，∠DCE=∠BCE=∠BCD，
在▱ABCD中，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠1=∠3，∠BCE=∠CED，∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠1=∠1，∠DCE=∠CED，∠3+∠BCE=90°，
∴AB=AE，CD=DE，∠BEC=90°，
在Rt△BCE中，根据勾股定理得：BC=13cm，
∴平行四边形的周长等于：AB+BC+CD+AD=6.5+13+6.5+13=39cm；
作EF⊥BC于F，
根据直角三角形的面积公式得：EF=cm，
∴平行四边形ABCD的面积=BC·EF==60cm1，
故答案为39cm，60cm1．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
20、
【解析】
根据完全平方公式即可求解.
【详解】
∵是完全平方式，
故k=
此题主要考查完全平方式，解题的关键是熟知完全平方公式的特点.
21、抽样调查．
【解析】
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【详解】
解：为了解一批灯管的使用寿命，调查具有破坏性，适合采用的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
22、2.5
【解析】
根据题意，△ABC是直角三角形，延长DI交AC于点E，过I作IF⊥AB，IG⊥BC，由点I是内心，则，利用等面积的方法求得，然后利用平行线分线段成比例，得，又由BD=DI，把数据代入计算，即可得到DI的长度.
【详解】
解：如图，延长DI交AC于点E，过I作IF⊥AB，IG⊥BC，

在△ABC中，AB=10，CA=8，BC=6，
∴，
∴△ABC是直角三角形，即AC⊥BC，
∵DI∥BC，
∴DE⊥AC，
∵∠BAC的平分线与∠BCA的平分线交于点I，
∴点I是三角形的内心，则，
在△ABC中，根据等面积的方法，有
，设
即，
解得：，
∵DI∥BC，
∴，∠DIB=∠CBI=∠DBI，
∴DI=BD，
∴，
解得：BD=2.5，
∴DI=2.5；
故答案为：2.5.
本题考查了三角形的角平分线性质，平行线分线段成比例，以及等面积法计算高，解题的关键是利用等面积法求得内心到各边的距离，以及掌握平行线分线段成比例的性质.
23、平行四边形
【解析】
根据相等向量的定义和四边形的性质解答．
【详解】
如图：
∵=，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴四边形ABCD的形状可以是平行四边形．
故答案为：平行四边形．
此题考查了平面向量，掌握平行四边形的判定定理（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）C；（2）①证明见解析；②，1
【解析】
试题分析：（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为矩形，故选C；
（2）①证明：∵纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴AE=1．如图2：
∵△AEF，将它平移至△DE′F′，∴AF∥DF′，AF=DF′，∴四边形AFF′D是平行四边形．在Rt△AEF中，由勾股定理，得AF==5，∴AF=AD=5，∴四边形AFF′D是菱形；
②连接AF′，DF，如图1：
在Rt△DE′F中E′F=FF′﹣E′F′=5﹣4=1，DE′=1，∴DF=
，在Rt△AEF′中EF′=EF+FF′=4+5=9，AE=1，∴AF′==1．
考点：①图形的剪拼；②平行四边形的性质；③菱形的判定与性质；④矩形的判定；⑤平移的性质．
25、（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）
【解析】
（1）①首先证明△ABA1是等边三角形，可得∠AA1B＝∠A1BD1＝60°，即可解决问题．
②首先证明△OCD1≌△OBA（AAS），推出OC＝OB，再证明△DCO≌△ABO（SAS）即可解决问题．
（2）如图3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F．利用勾股定理求出AE，A1E即可解决问题．
【详解】
（1）证明：①如图1中，
∵∠BAC＝60°，BA＝BA1，
∴△ABA1是等边三角形，
∴∠AA1B＝60°，
∵∠A1BD1＝60°，
∴∠AA1B＝∠A1BD1，
∴AC∥BD1，
∵AC＝BD1，
∴四边形ABD1C是平行四边形．
②如图2中，连接BD1．
∵四边形ABD1C是平行四边形，
∴CD1∥AB，CD1＝AB，
∠OCD1＝∠ABO，
∵∠COD1＝∠AOB，
∴△OCD1≌△OBA（AAS），
∴OC＝OB，
∵CD＝BA，∠DCO＝∠ABO，
∴△DCO≌△ABO（SAS），
∴DO＝OA．
（2）如图3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F．
在Rt△A1BC中，∵∠CA1B＝90°，BC＝2．AB＝3，
∴CA1＝＝4，
∵•A1C•A1B＝•BC•A1F，
∴A1F＝，
∵∠A1FB＝∠A1EB＝∠EBF＝90°，
∴四边形A1EBF是矩形，
∴EB＝A1F＝，A1E＝BF＝，
∴AE＝3﹣＝，
在Rt△AA1E中，AA1＝＝．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
26、 (1)20，100；（2）见解析；（3）3060人
【解析】
（1）根据题意：本次调查样本的容量是：（2）根据样本容量及扇形统计图先求C组人数，再画图；（3）该校名学生中大约在至元之间：
【详解】
解：（1），
本次调查样本的容量是：，
故答案为，；
（2），
组的人数为，
补全“捐款人数分组统计图 ”如右图所示；
（3）（人），
答：该校名学生中大约有人捐款在至元之间．
考核知识点：用样本估计总体.从统计图表获取信息是关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
组别
捐款额x/元
人数
A
1≤x＜10
a
B
10≤x＜20
100
C
20≤x＜30
D
30≤x＜40
E
40≤x＜10