2024-2025学年湖北省宣恩县九年级数学第一学期开学考试试题【含答案】

这是一份2024-2025学年湖北省宣恩县九年级数学第一学期开学考试试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=30°，BD=4，则CD的长为（ ）
A．2B．4C．4D．8
2、（4分）下列直线与一次函数的图像平行的直线是（ ）
A．；B．；C．；D．．
3、（4分）如图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直道上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法：
①汽车共行驶了120千米；
②汽车在行驶途中停留了0.5小时；
③汽车在整个行驶过程中的平均速度为千米/时；
④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少．
其中正确的说法有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4、（4分）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形必是（ ）
A．菱形B．矩形C．正方形D．无法确定
5、（4分）打折前购买A商品40件与购买B商品30件所花的钱一样多，商家打折促销，A商品打八折，B商品打九折，此时购买A商品40件比购买B商品30件少花600元，则打折前A商品和B商品每件的价格分别为( )
A．75元，100元B．120元，160元
C．150元，200元D．180元，240元
6、（4分）为了考察甲、乙、丙3种小麦的苗高，分别从中随机各抽取了100株麦苗，测得数据，并计算其方差分别是：S2甲=1.4，S2乙=18.8，S2丙=2.5，则苗高比较整齐的是( )
A．甲种B．乙种C．丙种D．无法确定
7、（4分）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克）如下表所示：
今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
8、（4分）如图，在△ABC中，∠C＝78°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ ）
A．282°B．180°C．258°D．360°
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若关于的两个方程与有一个解相同，则__________．
10、（4分）将正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2按如图所示方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线和x轴上，则点B2019的横坐标是______.
11、（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AB的中点，BC＝2cm，则CD＝_____cm．
12、（4分）如图，平分，，，则______.
13、（4分）已知一次函数y=bx+5和y=﹣x+a的图象交于点P（1，2），直接写出方程的解_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）事业单位人员编制连进必考，现一事业单位需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方而进行量化考核.甲、乙、丙各项得分如下表：
（1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序；
（2）该单位规定：笔试、面试、体能分分别不得低于80分，80分，70分，并按60%，30%，10%的比例计入总分.根据规定，请你说明谁将被录用.
15、（8分）计算与化简：
（1）－；
（2）(3+)2
（3）+；
（4）÷（x－）
16、（8分）感知：如图①，在正方形中，点在对角线上（不与点、重合），连结、，过点作，交边于点.易知，进而证出.
探究：如图②，点在射线上（不与点、重合），连结、，过点作，交的延长线于点.求证：.
应用：如图②，若，，则四边形的面积为________.
17、（10分）计算：
（1） （2）(4)÷2
18、（10分）明德中学在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费3000元，购买乙种足球共花费2100元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）为响应国家“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2950元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知点及第二象限的动点，且．设的面积为，则关于的函数关系式为________．
20、（4分）一个菱形的边长为5，一条对角线长为6，则这个菱形另一条对角线长为_____．
21、（4分）某水池容积为300m3，原有水100m3，现以xm3／min的速度匀速向水池中注水，注满水需要ymin，则y关于x的函数表达式为________．
22、（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝9，∠C＝120°，D为AC边上一点，且AD＝6，E是AB边上一动点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转30°得到DF，若F恰好在BC边上，则AE的长为_____．
23、（4分）若a2﹣5ab﹣b2＝0，则的值为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）（1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请仅用无刻度直尺，在边AD上找点F，使．
（2）如图2，四边形ABCD是菱形，E为BC上任意一点，请仅用无刻度直尺，在边DC上找点M，使．
25、（10分）（1）化简 ：；
（2）先化简，再求值：；其中 a  2 ，b 
26、（12分）如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠B＝60°，∠C＝45°，AC＝6.求：
(1)AD的长；
(2)△ABC的面积．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出AB，然后利用平行四边形的性质即可求出结论．
【详解】
解：∵BD⊥AD，
∴△ABD为直角三角形，
在Rt△ABD中，BD=4，∠A=30°，
∴AB=2BD=8，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=8，
故选：D．
此题考查的是直角三角形的性质和平行四边形的性质，掌握30°所对的直角边是斜边的一半和平行四边形的对边相等是解决此题的关键．
2、B
【解析】
【分析】设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．据此可以判断.
【详解】A.直线 与直线相交，故不能选；
B.直线 与直线平行，故能选；
C.直线 与直线重合，故不能选；
D.直线 与直线相交，故不能选．
故选：B
【点睛】本题考核知识点：一次函数.解题关键点：熟记一次函数性质.
3、B
【解析】
根据函数图形的s轴判断行驶的总路程，从而得到①错误；根据s不变时为停留时间判断出②正确；根据平均速度=总路程÷总时间列式计算即可判断出③正确；再根据一次函数图象的实际意义判断出④错误．
【详解】
①由图可知，汽车共行驶了120×2=240千米，故本小题错误；
②汽车在行驶途中停留了2-1.5=0.5小时，故本小题正确；
③汽车在整个行驶过程中的平均速度为
千米/时，故本小题正确；
④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶离出发地越来越近，是匀速运动，故本小题错误；
综上所述，正确的说法有②③共2个．
故选：B．
本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，准确识图，理解转折点的实际意义是解题的关键．
4、A
【解析】
作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF＝AC，GH＝AC，HE＝BD，FG＝BD，再根据四边形的对角线相等可知AC=BD，从而得到EF=FG=GH=HE，再根据四条边都相等的四边形是菱形即可得解．
【详解】
解：如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
连接AC、BD，
根据三角形的中位线定理得，EF＝AC，GH＝AC，HE＝BD，FG＝BD，
∵四边形ABCD的对角线相等，
∴AC＝BD，
所以，EF＝FG＝GH＝HE，
所以，四边形EFGH是菱形．
故选：A．
本题考查菱形的判定和三角形的中位线定理，解题的关键是掌握菱形的判定和三角形的中位线定理.
5、C
【解析】
设打折前商品价格为元，商品为元，根据题意列出关于与的方程组，求出方程组的解即可得到结果.
【详解】
设打折前商品价格为元，商品为元，
根据题意得：，
解得：，
则打折前商品价格为元，商品为元.
故选：.
此题考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系时解决问题的关键.
6、A
【解析】
根据方差反映了数据的波动状况，即可确定答案.
【详解】
解：观察数据可知甲小麦苗的方差小，故甲小麦长势比较整齐．故选A．
本题解题的关键是灵活应用方差的意义，这需要平常学习时，关注基础知识.
7、B
【解析】
先比较平均数得到甲组和乙组产量较好，然后比较方差得到乙组的状态稳定．
【详解】
因为甲组、乙组的平均数丙组比丁组大，
而乙组的方差比甲组的小，
所以乙组的产量比较稳定，
所以乙组的产量既高又稳定，
故选B．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．
8、C
【解析】
先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】
如图，
∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，
即∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4）＝78°+180°＝258°．
故选C．
此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
首先解出一元二次方程的解，根据两个方程的解相同，把x的值代入第二个方程中，解出a即可．
【详解】
解：解方程得x1＝2，x2＝−1，
∵x＋1≠0，
∴x≠−1，
把x＝2代入中得：，
解得：a＝1，
故答案为1．
此题主要考查了解一元二次方程，以及解分式方程，关键是正确确定x的值，分式方程注意分母要有意义．
10、.
【解析】
利用一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可得出点B1，B2，B3，B4，B5的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“点Bn的坐标为（2n-1，2n-1）（n为正整数）”，再代入n=2019即可得出结论．
【详解】
当x=0时，y=x+1=1，
∴点A1的坐标为（0，1）．
∵四边形A1B1C1O为正方形，
∴点B1的坐标为（1，1），点C1的坐标为（1，0）．
当x=1时，y=x+1=2，
∴点A1的坐标为（1，2）．
∵A2B2C2C1为正方形，
∴点B2的坐标为（3，2），点C2的坐标为（3，0）．
同理，可知：点B3的坐标为（7，4），点B4的坐标为（15，8），点B5的坐标为（31，16），…，
∴点Bn的坐标为（2n-1，2n-1）（n为正整数），
∴点B2019的坐标为（22019-1，22018）．
故答案为22019-1．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“点Bn的坐标为（2n-1，2n-1）（n为正整数）”是解题的关键．
11、1
【解析】
根据含30°角的直角三角形的性质求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出CD即可．
【详解】
解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1cm，
∴AB＝1BC＝4cm，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴CD＝AB＝1cm.
故答案为：1．
本题考查含30°角的直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质，能灵活运用定理进行推理是解答此题的关键．
12、50
【解析】
由平分，可求出∠BDE的度数，根据平行线的性质可得∠ABD=∠BDE.
【详解】
解：∵，
∴∠ADE=180°-80°=100°，
∵平分，
∴∠BDE=∠ADE=50°，
∵，
∴∠ABD=∠BDE=50°.
故答案为：50.
本题考查平行线的性质与角平分线的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．
13、．
【解析】
根据方程组的解即为函数图象的交点坐标解答即可．
解：∵一次函数y=bx+5和y=﹣x+a的图象交于点P（1，2），
∴方程组的解为．
故答案为为．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）排名顺序为乙、甲、丙；（2）录用甲．
【解析】
（1）分别求出甲、乙、丙的平均数，然后进行比较即可；
（2）由题意可知，只有乙不符合规定，甲：84×60%+80×30%+88×10%=83.2，丙：81×60%+84×30%+78×10%=81.6，所以录用甲．
【详解】
解：（1），
，
，
∴，
∴排名顺序为乙、甲、丙．
（2）由题意可知，只有乙不符合规定，
∵，
，
∵
∴录用甲．
本题考查了平均数与加权平均数，熟练运用平均数与加权平均数公式是解题的关键．
15、（1）；（2）19+6；（3）；（4）.
【解析】
（1）先把化简为最简二次根式，再按照实数的运算法则计算即可；（2）根据实数的运算法则，利用完全平方公式计算即可；（3）先通分，再按照同分母分式的加法法则计算即可；（4）先把括号内的式子通分计算，再按照分式的除法法则计算即可.
【详解】
（1）－
=2-
=.
（2）(3+)2
=32+6+()2
=9+6+10
=19+6.
（3）+
=+
=
=.
（4）÷（x－）
=÷
=
=.
本题考查实数的运算和分式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键.
16、探究：见解析；应用：
【解析】
探究：由四边形是正方形易证．可得，，由及．可得． 可得即可证；
应用：连结，可得三角形DEF是等腰三角形，利用勾股定理，分别求DF、FC的长度，再别求和的面积即可.
【详解】
探究：四边形是正方形，
，．
．
又，
．
，．
，
．
．
又．
．
．
．
应用： （提示：连结，分别求和的面积）
连结
由=2，∠FED=90°由勾股定理可得：FD= 可得：
∵CD=1,∠FCD=90°由勾股定理可得：FC= 可得：
∴
本题考查了正方形的性质、三角形全等以及勾股定理的运用，灵活运用正方形性质和利用勾股定理计算长度是解题的关键.
17、（1）4+5（2）2+2
【解析】
（1）先进行乘法运算，然后把化简后合并即可．
（2）运用实数运算、二次根式化简，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】
（1）原式=
（2）
此题考查二次根式的混合运算，实数运算、二次根式化简，掌握运算法则是解题关键
18、（1）购买一个甲种足球需要50元，购进一个乙种足球需要70元；（2）这所学校最多可购买25个乙种足球．
【解析】
（1）设购买一个甲种足球需要x元，则购进一个乙种足球需要元，根据数量=总价÷单价结合3000元购买的甲种足球数量是2100元购买的乙种足球数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设这所学校可购买m个乙种足球，则购买个甲种足球，根据总价=单价×数量结合总费用不超过2950元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】
（1）设购买一个甲种足球需要x元，则购进一个乙种足球需要元
依题意得：
解得：
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意
此时，
答：购买一个甲种足球需要50元，购进一个乙种足球需要70元；
（2）设这所学校可购买m个乙种足球，则购买个甲种足球，
依题意得：
解得：
答：这所学校最多可购买25个乙种足球．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
根据即可列式求解．
【详解】
如图，∵
∴
∴点在上，
∴，
故．
此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质、三角形的面积公式．
20、1
【解析】
根据菱形对角线互相垂直平分可得AO＝OC，BO＝OD，△ABO为Rt△；在Rt△ABO中，已知AB，AO的长，即可求BO的长，根据BO的长即可求BD的长．
【详解】
如图，由题意知,AB＝5，AC＝6，
∴AO＝OC＝3，
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴△ABO为直角三角形，
在Rt△ABO中，AB＝5，AO＝3，
∴BO＝＝4，
故BD＝2BO＝1，
故答案为: 1．
本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求BO的值是解题的关键．
21、y=
【解析】
先根据条件算出注满容器还需注水200m3 ， 根据注水时间=容积÷注水速度，据此列出函数式即可.
【详解】
解：容积300m3,原有水100m3，还需注水200m3，由题意得：y=.
本题考查了反比例函数的实际应用，理清实际问题中的等量关系是解题的关键.
22、3+
【解析】
由，可知，又有，联想一线三等角模型，延长到，使，得，进而可得，，由于，即可得是直角三角形，易求，由即可解题．
【详解】
解：如图，延长到，使，连接，
，，
，，
，
又，
，
在和中，
，
，，
，
，
设，则，由得：
，
解得，（不合题意舍去），
，
，
故答案为：．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质．本题解题关键是通过一线三等角模型构造全等三角形，从而得到．
23、5
【解析】
由已知条件易得，，两者结合即可求得所求式子的值了.
【详解】
∵，
∴，
∵，
∴.
故答案为：5.
“能由已知条件得到和”是解答本题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】
（1）先连接AC、BD，再连接对角线交点O与E点与DA的交点F即为所求；
（2）连接AC，DE交于点O，再连接O点与B点交CD于M点，M点即为所求.
【详解】
解：（1）如下图，点F即为所求：
（2）如下图，点M即为所求：
本题考查的是无刻度尺规作图，主要用到的知识点为三角形全等的判定与性质.
25、（1）﹣7a2b﹣6ab2﹣3c；（2），1．
【解析】
（1）先去括号，然后合并同类项即可得出答案．
（2）本题的关键根据去括号与合并同类项的法则将代数式化简，然后把给定的值代入求值．
【详解】
（1）原式=5a2b﹣10ab2+5c﹣8c﹣1a2b+4ab2=﹣7a2b﹣6ab2﹣3c；
（2）原式a﹣2ab2a+2b2=﹣3ab2
当a=﹣2，b时，原式=－3×（－2）6+6=1．
（1）本题考查了整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．
（2）本题考查了整式的混合运算，主要考查了单项式与多项式相乘以及合并同类项的知识点．关键是去括号，去括号要特别注意符号的处理．
26、（1）AD＝3；（2）S△ABC＝9＋3.
【解析】
试题分析：（1）根据三角形内角和可得∠DAC=45°，根据等角对等边可得AD=CD，然后再根据勾股定理可计算出AD的长；
（2）根据三角形内角和可得∠BAD=30°，再根据直角三角形的性质可得AB=2BD，然后利用勾股定理计算出BD的长，进而可得BC的长，然后利用三角形的面积公式计算即可．
解：(1)∵∠C＝45°，AD是△ABC的边BC上的高，∴∠DAC＝45°，∴AD＝CD.
∵AC2＝AD2＋CD2，∴62＝2AD2，∴AD＝3
(2)在Rt△ADB中，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°，∴AB＝2BD.
∵AB2＝BD2＋AD2，∴(2BD)2＝BD2＋AD2，BD＝.
∴S△ABC＝BC·AD＝ (BD＋DC)·AD＝×(＋3)×3＝9＋3.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
甲
乙
丙
丁
24
24
23
20
2.1
1.9
2
1.9
笔试
面试
体能
甲
84
80
88
乙
94
92
69
丙
81
84
78