2024-2025学年湖南省益阳市普通数学九上开学调研试题【含答案】

这是一份2024-2025学年湖南省益阳市普通数学九上开学调研试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做6个，甲做60个所用时间与乙做90个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设甲每小时做x个，那么所列方程是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）直角三角形有两边的长分别是3、4，则剩下一边的长是（ ）
A．5B．C．2D．或5
4、（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，∠AOD=120°，则对角线AC等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
5、（4分）一个多边形的内角和等于1260°，则从此多边形一个顶点引出的对角线有（ ）
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
6、（4分）下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）某百货商场试销一批新款衬衫，一周内销售情况如表所示。该商场经理想要了解哪种型号最畅销，那么他最关注的统计量是（ ）
A．众数B．中位数C．平均数D．方差
8、（4分）关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣3，则另一根为（ ）
A．1B．﹣2C．2D．3
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=1．作一边的垂直平分线交另一边于点D，则CD的长是______．
10、（4分）一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重的质量成正比。如果挂上的质量后弹簧伸长，则弹簧的总长（单位：）关于所挂重物（单位：）的函数解析式是_________．
11、（4分）在实数范围内分解因式：5-x2=_____．
12、（4分）已知为分式方程，有增根，则_____．
13、（4分）某县为了节约用水，自建了一座污水净化站，今年一月份净化污水3万吨，三月份增加到3.63万吨，则这两个月净化的污水量每月平均增长的百分率为______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，将矩形纸片（）折叠，使点刚好落在线段上，且折痕分别与边，相交于点，，设折叠后点，的对应点分别为点，.
（1）判断四边形的形状，并证明你的结论；
（2）若，且四边形的面积，求线段的长.
15、（8分）已知一次函数的图象经过点和.
（1）求这个一次函数的解析式
（2）不等式的解集是 .（直接写出结果即可）
16、（8分）为了庆祝新中国成立70周年，某校组织八年级全体学生参加“恰同学少年，忆峥嵘岁月”新中国成立70周年知识竞赛活动．将随机抽取的部分学生成绩进行整理后分成5组，50～60分（）的小组称为“学童”组，60～70分()的小组称为“秀才”组，70～80分()的小组称为“举人”组，80～90分()的小组称为“进士”组，90～100分()的小组称为“翰林”组，并绘制了不完整的频数分布直方图如下，请结合提供的信息解答下列问题：
（1）若“翰林”组成绩的频率是12.5％，请补全频数分布直方图；
（2）在此次比赛中，抽取学生的成绩的中位数在 组；
（3）学校决定对成绩在70～100分()的学生进行奖励，若八年级共有336名学生，请通过计算说明，大约有多少名学生获奖?
17、（10分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3cm，BC=5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动速度为lcm/s，连接PO并延长交BC于点Q．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）
（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？
（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），当t=4时，求y的值．
18、（10分）某村深入贯彻落实新时代中国特色社会主义思想，认真践行“绿水青山就是金山银山”理念在外打工的王大叔返回江南创业，承包了甲乙两座荒山，各栽100棵小枣树，发现成活率均为97%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示．
（1）直接写出甲山4棵小枣树产量的中位数；
（2）分别计算甲乙两座小枣样本的平均数，并判断那座山的样本的产量高；
（3）用样本平均数估计甲乙两座山小枣的产量总和．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）甲、乙两车从A城出发前往B城．在整个行程中，汽车离开A城的距离与时刻的对应关系如图所示，则当乙车到达B城时，甲车离B城的距离为________km．
20、（4分）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_____．
21、（4分）与最简二次根式3是同类二次根式，则a＝_____．
22、（4分）如图，四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为______．
23、（4分）小天家、小亮家、学校依次在同一条笔直的公路旁（各自到公路的距离忽略不计），每天早上7点整小天都会从家出发以每分钟60米的速度走到距他家600米的小亮家，然后两人以小天同样的速度准时在7：30到校早读．某日早上7点过，小亮在家等小天的时候突然想起今天轮到自己值日扫地了，所以就以每分钟60米的速度先向学校走去，后面打算再和小天解释，小天来到小亮家一看小亮不在家，立刻想到小亮今天是值日生（停留及思考时间忽略不计），于是他就以每分钟100米的速度去追小亮，两人之间的距离y（米）及小亮出发的时间x（分）之间的函数关系如下图所示．请问当小天追上小亮时离学校还有_____米．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）计算
(1)；(2)()2﹣(﹣)(+).
25、（10分）2018年1月25日，济南至成都方向的高铁线路正式开通，高铁平均时速为普快平均时速的4倍，从济南到成都的高铁运行时间比普快列车减少了26小时，济南市民早上可在济南吃完甜沫油条，晚上在成都吃麻辣火锅了．已知济南到成都的火车行车里程约为2288千米，求高铁列车的平均时速．
26、（12分）如图，在▱ABCD中，点E、F在BD上，且BF＝DE．
（1）写出图中所有你认为全等的三角形；
（2）延长AE交BC的延长线于G，延长CF交DA的延长线于H（请补全图形），证明四边形AGCH是平行四边形．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
甲每小时做x个零件，则乙每小时做(x+6)个零件，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲做60个所用时间与乙做90个所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】
甲每小时做x个零件，则乙每小时做(x+6)个零件，
依题意，得：，
故选A．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
2、A
【解析】
根据图象在坐标平面内的位置关系确定的取值范围，从而求解．
【详解】
解：一次函数的图象不经过第二象限，
则可能是经过一三象限或一三四象限，
经过一三象限时，k-2=1；
经过一三四象限时，k-2＜1．
故．
故选：A．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
3、D
【解析】
分两种情况讨论，3，4都是直角边长，或者4为斜边长，利用勾股定理解出剩下一边的长即可．
【详解】
①若3，4都是直角边长，
则斜边=，
②若4为斜边长，
则剩下一条直角边=，
综上，剩下一边的长是或1．
故选D．
本题考查勾股定理，当无法确定直角边与斜边时，分类讨论是解题的关键．
4、B
【解析】
已知矩形ABCD,,所以在直角三角形ABD中,,则得,根据矩形的性质,.
【详解】
已知矩形ABCD,
,
,
在直角三角形ABD中,
(直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半),
矩形的对角线相等,
.
所以D选项是正确的.
此题考查的知识点是矩形的性质和角的直角三角形问题,解题的关键是由已知得角的直角三角形及矩形性质求出AC.
5、C
【解析】
这个多边形的内角和是1260°．n边形的内角和是（n-2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【详解】
根据题意，得
（n-2）•180=1260，
解得n=9，
∴从此多边形一个顶点引出的对角线有9-3=6条，
故选C．
本题考查了多边形的内角和定理：n边形的内角和为（n-2）×180°．
6、B
【解析】
根据二次根式的加减、乘除运算法则以及二次根式的性质解答即可．
【详解】
解：A. 不是同类二次根式，故A错误；
B. ，故B正确；
C. ，故B错误；
D. ，故D错误．
故答案为B．
本题考查了二次根式的加减、乘除运算法则以及二次根式的性质，牢记并灵活运用运算法则和性质是解答本题的关键．
7、A
【解析】
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然是对该品牌衬衫的尺码数销售情况作调查，那么应该关注那种尺码销的最多，故值得关注的是众数．
【详解】
由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数．
故选A．
本题考查了统计的有关知识，熟知平均数、中位数、众数、方差的意义是解决问题的关键．
8、A
【解析】
设方程x2+kx-3=0的另一个根为a，根据根与系数的关系得出-3a=-3，求出方程的解即可。
【详解】
解：设方程x2+kx﹣3＝0的另一个根为a，
∵关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣3，
∴由根与系数的关系得：﹣3a＝﹣3，
解得：a＝1，
即方程的另一个根为1，
故选：A．
本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能根据根与系数的关系得出关于a的方程是解此题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、或
【解析】
分两种情况：①当作斜边AB的垂直平分线PQ，与BC交于点D时，连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；②当作直角边的垂直平分线PQ，与斜边AB交于点D时，连接CD，根据直角三角形斜边上的中线性质求得CD．
【详解】
解：当作斜边AB的垂直平分线PQ，与BC交于点D时，连接AD．
∵PQ垂直平分线段AB，
∴DA=DB，设DA=DB=x，
在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，
∴x2=32+（1-x）2，
解得x=，
∴CD=BC-DB=1-=；
当作直角边的垂直平分线PQ或P′Q′，都与斜边AB交于点D时，连接CD，
则D是AB的中点，
∴CD=AB=，
综上可知，CD=或．
故答案为：或．
本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
10、
【解析】
弹簧总长弹簧原来的长度挂上重物质量时弹簧伸长的长度，把相关数值代入即可．
【详解】
解：挂上的物体后，弹簧伸长，
挂上的物体后，弹簧伸长，
弹簧总长．
故答案为：．
本题考查了由实际问题抽象一次函数关系式的知识，得到弹簧总长的等量关系是解决本题的关键．
11、（ +x）（ -x）
【解析】
理解实数范围内是要运算到无理数为止,即可解题.
【详解】
解：5-x2=（ +x）（ -x）
本题考查了因式分解,属于简单题,注意要求是实数范围内因式分解是解题关键.
12、
【解析】
去分母得，根据有增根即可求出k的值．
【详解】
去分母得，
，
当时，
为增根，
故答案为：1．
本题考查了分式方程的问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
13、10%
【解析】
本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这两个月净化的污水量平均每月增长的百分率为x，那么由题意可得出方程为3（1+x）2=3.63解方程即可求解．
【详解】
解：设这两个月净化的污水量平均每月增长的百分率为x，由题意得3（1+x）2=3.63
解得x=0.1或-2.1（不合题意，舍去）
所以这两个月净化的污水量平均每月增长的百分率为10%．
本题主要考查了增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）四边形为菱形，理由见解析；（2）
【解析】
（1）根据折叠的性质可得EC=EG，GF=CF，，由GF∥EC，可得，进一步可得GE=GF，于是可得结论；
（2）根据题意可先求得CE的长，过点E作EK⊥GF于点K，在Rt△GEK中，根据勾股定理可求得GK的长，于是FK可求，在Rt△EFK中，再利用勾股定理即可求得结果.
【详解】
（1）四边形为菱形，理由如下：
证明：由折叠可得：，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形.
（2）如图，∵四边形为菱形，且其面积为，∴，
∴，
过点E作EK⊥GF于点K，则EK=AB=4，
在Rt△GEK中，由勾股定理得：，
∴，
在Rt△EFK中，由勾股定理得：.
本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定方法和勾股定理等知识，知识点虽多，但难度不大，熟练掌握折叠的性质、菱形的判定方法和勾股定理是解题的关键.
15、 (1) ;(2)x>1.
【解析】
（1）将两点代入，运用待定系数法求解；
（2）把y=5代入y=2x-1解得，x=1，然后根据一次函数是增函数，进而得到关于x的不等式kx+b〉5的解集是x>1．
【详解】
解：（1）的图象过点,
,
解得：,
.
（2）∵k=2＞0，
∴y随x的增大而增大，
把y=5代入y=2x-1解得，x=1，
∴当x>1时，函数y>5.
考查待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．
16、（1）详见解析；（2）70~80或“举人”；（3）231.
【解析】
（1）先根据90～100分的人数及其所占百分比求得总人数，再由各组人数之和等于总人数求得60～70分的人数．从而补全图形；
（2）根据中位数的定义求解可得；
（3）利用样本估计总体的思想求解可得．
【详解】
解：（1）∵被调查的总人数为6÷12.5%=48（人），
∴60～70分的人数为48-（3+18+9+6）=12（人），
补全频数分布直方图如下：
（2）因为中位数是第24、25个数据的平均数，而第24、25个数据都落在70～80分这一组，
所以在此次比赛中，抽取学生的成绩的中位数在70~80或“举人”组，
故答案为70~80或“举人”；
（3）．
答：大约有231名学生获奖．
故答案为（1）详见解析；（2）70~80或“举人”；（3）231.
本题考查频数分布表、频数分布直方图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
17、（1）当t=1.5s时，四边形ABQP是平行四边形，理由详见解析；（1）5.4cm1．
【解析】
（1）求出和，根据平行四边形的判定得出即可；
（1）先求出高AM和ON的长度，再求出和的面积，再求出答案即可．
【详解】
（1）当时，四边形ABQP是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
在和中，
∴
∴，
∵
∴
即
∴四边形ABQP是平行四边形
故当时，四边形ABQP是平行四边形；
（1）过A作于M，过O作于N
∵
∴在中，由勾股定理得：
由三角形的面积公式得：，即
∴
∵
∴
∵
∴
∴
在和中，
∴
∴
∵
∴的面积为
当时，
∴的面积为
∴
故y的值为．
本题考查了平行四边形的性质和判定、三角形的面积、全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
18、（1）38；（2），，甲山样本的产量高；（3）甲乙两山小枣的产量总和为7663千克.
【解析】
（1）根据中位数的定义求解可得；
（2）根据平均数的定义分别计算出甲、乙两山样本的产量，据此可得；
（3）用平均数乘以枣树的棵树，求得两山的产量和，再乘以成活率即可得．
【详解】
（1）∵甲山4棵枣树产量为34、36、40、50，
∴甲山4棵小枣树产量的中位数为=38（千克）；
（2）(千克)，
(千克)，
，且两山抽取的样本一样多，
所以，甲山样本的产量高.
（3）总产量为：
答：甲乙两山小枣的产量总和为7663千克.
本题主要考查折线统计图及中位数、平均数，解题的关键是了解中位数和平均数的定义，根据折线统计图得出解题所需的数据．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
由图示知：A，B两城相距300km，甲车从5：00出发，乙车从6：00出发；甲车10：00到达B城，乙车9：00到达B城；计算出乙车的平均速度为：300÷（9-6）=100（km/h），当乙车7：30时，乙车离A的距离为：100×1.5=150（km），得到点A（7.5，150）点B（5，0），设甲的函数解析式为：y=kt+b，把点A（7.5，150），B（5，0）代入解析式，求出甲的解析式，当t=9时，y=1×9-300=240，所以9点时，甲距离开A的距离为240km，则当乙车到达B城时，甲车离B城的距离为：300-240=1km．
【详解】
解：由图示知：A，B两城相距300km，甲车从5：00出发，乙车从6：00出发；
甲车10：00到达B城，乙车9：00到达B城；
乙车的平均速度为：300÷（9-6）=100（km/h），
当乙车7：30时，乙车离A的距离为：100×1.5=150（km），
∴点A（7.5，150），
由图可知点B（5，0），
设甲的函数解析式为：y=kt+b，
把点A（7.5，150），B（5，0）代入y=kt+b得：
，
解得：，
∴甲的函数解析式为：y=1t-300，
当t=9时，y=1×9-300=240，
∴9点时，甲距离开A的距离为240km，
∴则当乙车到达B城时，甲车离B城的距离为：300-240=1km．
故答案为：1．
本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是求甲的函数解析式，即可解答．
20、1.2
【解析】
根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【详解】
∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°.
又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP.
∵M是EF的中点，
∴AM=EF=AP.
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴AM的最小值是1.2.
本题考查了勾股定理, 矩形的性质，熟练的运用勾股定理和矩形的性质是解题的关键.
21、3
【解析】
先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于的方程，解出即可．
【详解】
解：∵
与最简二次根式是同类二次根式
∴，解得：
故答案为：
本题考查了最简二次根式的化简以及同类二次根式等知识点，能够正确得到关于的方程是解题的关键．
22、
【解析】
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，∴AO=12，OD=5，AC⊥BD，∴AD=AB= =13，∵DH⊥AB，∴AO×BD=DH×AB，∴12×10=13×DH，∴DH=，∴BH= =．故答案为：．
23、1
【解析】
根据题意和函数图象中的数据可以求得当小天追上小亮时离学校还有多少千米，本题得以解决．
【详解】
解：设小天从到小亮家到追上小亮用的时间为a分钟，由题意可得，
400+60a＝100a，
解得，a＝10，
即小天从到小亮家到追上小亮用的时间为10分钟，
∵小天7：00从家出发，到学校7：30，
∴小天从家到学校用的时间为：30分钟，
∴当小天追上小亮时离学校还有：60×30﹣600﹣100×10＝1（米），
故答案为1．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）；（2）6+4.
【解析】
（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
【详解】
（1）原式==；
（2）原式===．
本题考查了二次根式的混合运算．先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
25、264千米/小时
【解析】
设普快列车的平均时速为x千米/小时，则高铁列车的平均时速为4x千米/小时，根据时间=路程÷速度；结合从济南到成都的高铁运行时间比普快列车减少了26小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论.
【详解】
解：设普快列车的平均时速为x千米/小时，则高铁列车的平均时速为4x千米/小时，
根据题意得：
解得：x=66，
经检验，x=66是原方程的根，且符合题意，
∴原方程的解为x=66，
∴.4x=66×4=264.
答：高铁列车的平均时速为264千米/小时.
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.
26、（1）△ABE≌△CDF；△AED≌△CFB；△ABD≌△CDB；（2）详见解析
【解析】
（1）因为ABCD是平行四边形，AD∥BC，因此∠ADE＝∠CBF，又知DE＝BF，D＝BC那么构成了三角形ADE和CBF全等的条件（SAS）因此△AED≌△CFB．同理可得出△ABE≌△CDF，△ABD≌△CDB．
（2）要证明四边形AGCH是个平行四边形，已知的条件有AB∥CD，只要证得AG∥CH即可得出上述结论．那么就需要证明∠AEB＝∠DFC，也就是证明△ABE≌△CDF，根据AB∥CD．∴∠ABD＝∠CDB．这两个三角形中已知的条件就有AB＝CD，BE＝DF（BE＝DF+EF＝DE+EF＝DF），又由上面得出的对应角相等，那么两三角形就全等了（SAS）．
【详解】
（1）解：△ABE≌△CDF；△AED≌△CFB；△ABD≌△CDB；
（2）证明：在△ADE和△CBF中，AD＝CB，∠ADE＝∠CBF，DE＝BF，
∴△ADE≌△CBF，
∴∠AED＝∠CFB．
∵∠FEG＝∠AED＝∠CFB＝∠EFH，
∴AG‖HC，而且，AH‖GC，
∴四边形AGCH是平行四边形
本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定等知识点，本题中公共全等三角形来得出线段和角相等是解题的关键．
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一
二
三
四
五
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