2024-2025学年吉林省长春市德惠市第十九中学数学九上开学经典试题【含答案】
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一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1、(4分)如图1,在矩形ABCD中,动点E从点B出发,沿BADC方向运动至点C处停止,设点E运动的路程为x,△BCE的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示,则矩形ABCD的周长为( )
A.20B.21C.14D.7
2、(4分)直角三角形两条直角边的长分别为3和4,则斜边长为( )
A.4B.5C.6D.10
3、(4分)某班体育委员对7位同学定点投篮进行数据统计,每人投10个,投进篮筐的个数依次为:5,6,5,3,6,8,1.则这组数据的平均数和中位数分别是( )
A.6,6B.6,8C.7,6D.7,8
4、(4分)不等式x-1<0 的解集在数轴上表示正确的是( )
A.B.
C.D.
5、(4分)在下列图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A.B.C.D.
6、(4分)等于( )
A.2B.0C.D.-2019
7、(4分)下列各式从左到右的变形是因式分解的是
A.B.
C.D.
8、(4分)如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,∠ABC=2∠C,BE 平分∠ABC 交 AC 于 E,AD⊥BE 于 D,下列结论:①AC﹣BE=AE;②点 E 在线段 BC 的垂直平分线上;③∠DAE=∠C;④BC=4AD,其中正确的个数有( )
A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
9、(4分)评定学生的学科期末成绩由考试分数,作业分数,课堂参与分数三部分组成,并按3:2:5的比例确定,已知小明的数学考试80分,作业95分,课堂参与82分,则他的数学期末成绩为_____.
10、(4分)如图,在矩形中,,,点,分别在边,上,以线段为折痕,将矩形折叠,使其点与点恰好重合并铺平,则线段_____.
11、(4分)某中学人数相等的甲乙两班学生参加了同一次数学测试,两班的平均分、方差分别为甲=82分,乙=82分,S甲2=245分,S乙2=90分,那么成绩较为整齐的是______班(填“甲”或“乙”)。
12、(4分)计算:________________.
13、(4分)将两个全等的直角三角形的直角边对齐拼成平行四边形,若这两个直角三角形直角边的长分别是,那么拼成的平行四边形较长的对角线长是__________.
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14、(12分)如图,在正方形中,已知于.
(1)求证:;
(2)若,求的长.
15、(8分)已知:一次函数y=(2a+4)x+(3﹣b),根据给定条件,确定a、b的值.
(1)y随x的增大而增大;
(2)图象经过第二、三、四象限;
(3)图象与y轴的交点在x轴上方.
16、(8分)如图,在中,,,,.
求的周长;
判断是否是直角三角形,并说明理由.
17、(10分)如图,在菱形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥BC于点F,连接EF.求证:(1)△ADE≌△CDF;(2)∠BEF=∠BFE.
18、(10分)学校为了提高学生跳远科目的成绩,对全校500名九年级学生开展了为期一个月的跳远科目强化训练.王老师为了了解学生的训练情况,强化训练前,随机抽取了该年级部分学生进行跳远测试,经过一个月的强化训练后,再次测得这部分学生的成绩,将两次测得的成绩制作成如图所示的统计图和不完整的统计表
训练后学生成绩统计表
根据以上信息回答下列问题
(1)训练后学生成绩统计表中n= ,并补充完成下表:
(2)若跳远成绩9分及以上为优秀,估计该校九年级学生训练后比训练前达到优秀的人数增加了多少?
B卷(50分)
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19、(4分)最简二次根式与是同类二次根式,则a的取值为__________.
20、(4分)菱形中,,,以为边长作正方形,则点到的距离为_________.
21、(4分)在△MBN中,BM=6,BN=7,MN=10,点A、C、D分别是MB、NB、MN的中点,则四边形ABCD的周长是_______;
22、(4分)如图,在中,, 分别是的中点,且,延长到点,使,连接,若四边形是菱形,则______
23、(4分)中美贸易战以来,强国需更多的中国制造,中芯国际扛起中国芯片大旗,目前我国能制造芯片的最小工艺水平已经达到7纳米,居世界前列,已知1纳米=0.000000001米,用料学记数法将7纳米表示为______米.
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24、(8分) (1)解不等式;并把解集表示在数轴上
(2)解方程:
25、(10分)一辆轿车从甲地驶往乙地,到达乙地后返回甲地,速度是原来的1.5倍,共用t小时;一辆货车同时从甲地驶往乙地,到达乙地后停止.两车同时出发,匀速行驶.设轿车行驶的时间为x(h),两车到甲地的距离为y(km),两车行驶过程中y与x之间的函数图象如图.
(1)求轿车从乙地返回甲地时的速度和t的值;
(2)求轿车从乙地返回甲地时y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)直接写出轿车从乙地返回甲地时与货车相遇的时间.
26、(12分)如图,在矩形中,、分别是、的中点,、分别是、的中点.
求证:;
四边形是什么样的特殊四边形?请说明理由.
参考答案与详细解析
一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1、C
【解析】
分点E在AB段运动、点E在AD段运动时两种情况,分别求解即可.
【详解】
解:当点E在AB段运动时,
y=BC×BE=BC•x,为一次函数,由图2知,AB=3,
当点E在AD上运动时,
y=×AB×BC,为常数,由图2知,AD=4,
故矩形的周长为7×2=14,
故选:C.
本题考查的是动点图象问题,涉及到一次函数、图形面积计算等知识,此类问题关键是:弄清楚不同时间段,图象和图形的对应关系,进而求解.
2、B
【解析】
利用勾股定理即可求出斜边长.
【详解】
由勾股定理得:斜边长为:=1.
故选B.
本题考查了勾股定理;熟练掌握勾股定理,理解勾股定理的内容是解题的关键.
3、A
【解析】
根据中位数和平均数的定义求解即可.
【详解】
解;这组数据的平均数=(5+6+5+3+6+8+1)÷7=6,
把5,6,5,3,6,8,1从小到大排列为:3,5,5,6,6,8,1,
最中间的数是6,
则中位数是6,
故选A.
本题考查了中位数和平均数,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数
4、A
【解析】
首先解不等式求得x的范围,然后在数轴上表示即可.
【详解】
解:解x-1<0得x<1.
则在数轴上表示为:
.
故选:A.
本题考查了一元一次不等式组的解法,先分别解两个不等式,求出它们的解集,再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是:同大取大,同小取小,大小小大取中间,大大小小无解. 不等式组的解集在数轴上表示时,空心圈表示不包含该点,实心点表示包含该点.
5、C
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可.
【详解】
A.不是轴对称图形,是中心对称图形,不合题意;
B.是轴对称图形,不是中心对称图形,不合题意;
C.是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意;
D.不是轴对称图形,是中心对称图形,不合题意,
故选C.
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
6、C
【解析】
根据0指数幂和负整数指数幂的运算法则计算即可得答案.
【详解】
=1×=,
故选:C.
本题考查0指数幂及负整数指数幂,任何不为0的数的0次幂都等于1,熟练掌握运算法则是解题关键.
7、C
【解析】
根据因式分解的定义逐项进行判断即可得.
【详解】
A、是整式的乘法,不是因式分解,故本选项不符合题意;
B、右边不是整式的积的形式,不是因式分解,故本选项不符合题意;
C、是因式分解,故本选项符合题意;
D、是整式的乘法,不是因式分解,故本选项不符合题意,
故选C.
本题考查了因式分解的定义,能熟记因式分解的定义是解此题的关键,把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫因式分解.
8、D
【解析】
①∵BE平分∠ABC,
∴∠CBE=∠ABC,
∵∠ABC=2∠C,
∴∠EBC=∠C,
∴BE=CE,
∴AC-BE=AC-CE=AE;(①正确)
②∵BE=CE,
∴点E在线段BC的垂直平分线上;(②正确)
③∵∠BAC=90°,∠ABC=2∠C,
∴∠ABC=60°,∠C=30°,
∵BE=CE,
∴∠EBC=∠C=30°,
∴∠BEA=∠EBC+∠C=60°,
又∵∠BAC=90°,AD⊥BE,
∴∠DAE=∠ABE=30°,
∴∠DAE=∠C;(③正确)
④∠ABE=30°,AD⊥BE,
∴AB=2AD,
∵∠BAC=90°,∠C=30°,
∴BC=2AB,
∴BC=4AD.(④正确)
综上,正确的结论有4个,故选D.
点睛:此题考查了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及30°角直角三角形的性质.此题难度适中,注意数形结合思想的应用.
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
9、:84分
【解析】
因为数学期末成绩由考试分数,作业分数,课堂参与分数三部分组成,并按3:2:5的比例确定,所以利用加权平均数的公式即可求出答案.
【详解】
解:小明的数学期末成绩为=84(分),
故答案为84分.
本题主要考查了加权平均数的概念.平均数等于所有数据的和除以数据的个数.
10、3.1
【解析】
根据折叠的特点得到,,可设,在Rt△AGE中,利用得到方程即可求出x.
【详解】
解∵折叠,
∴,.设,
∴.在中,,
∴,
解得.
故答案为:3.1.
此题主要考查矩形的折叠问题,解题的关键是熟知矩形的性质及勾股定理的应用.
11、乙
【解析】
根据方差的定义,对S甲2和S乙2比大小,方差越小数据越稳定,即可得出答案.
【详解】
解:两班平均分和方差分别甲=82分,乙=82分,S甲2=245分,S乙2=90分
∴S甲2>S乙2
∴成绩较为整齐的是乙.故答案是乙.
本题考查了方差的定义即方差越小数据越稳定,学生们掌握此定义即可.
12、
【解析】
二次根式相乘时,根号不变,直接把根号里面的数相乘,最后化简.二次根式相加减时,只有同类的二次根式才能相加减,根号部分不变,把整数部分相加减.
【详解】
原式=
故答案为
本题考察了二次根式的乘法和减法,这里需要注意的是,无论加减乘除,最后都要化为最简二次根式.
13、
【解析】
根据题意拼图,再运用勾股定理求解即可
【详解】
如图,
将直角边为的边长对齐拼成平行四边形,
它的对角线最长为:(cm).
故答案为:.
本题主要考查平行四边形的判定及勾股定理的应用,能够画出正确的图形,并作简单的计算.
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14、(1)见解析;(2)
【解析】
(1)由正方形的性质可得BC=CD,∠B=∠BCD=90°,利用直角三角形中两个锐角互余以及垂直的定义证明∠BEC=∠CFD即可证明:△BCE≌△CDF;
(2)由(1)可知:△BCE≌△CDF,所以CF=BE=2,由相似三角形的判定方法可知:△BCE∽HCF,利用相似三角形的性质:对应边的比值相等即可求出HF的长.
【详解】
(1)证明:在正方形中,
∴,
∵,
∴,
又∵,
∴,
∴;
(2)解:∵
∴,
∵,
∴,
∴,
在Rt△BCE中,BC=AB=6,BE=2,
∴,
∴;
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质,题目的综合性很强,但难度不大.
15、(1)a>﹣2;(2)a<﹣2,b>3;(3)b<3
【解析】
(1)根据一次函数的性质及函数y随x的增大而增大解答即可;
(2)根据一次函数的性质及函数图象经过第二、三、四象限解答即可;
(3)根据一次函数的性质及函数图象与y轴的交点在x轴上方解答即可.
【详解】
解:(1)∵y随x的增大而增大
∴2a+4>0
∴a>﹣2
(2)∵图象经过第二、三、四象限
∴2a+4<0,3﹣b<0
∴a<﹣2,b>3
(3)∵图象与y 轴的交点在x轴上方
∴3﹣b>0
∴b<3
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系.解答本题注意理解:
直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系;
k>0时,直线必经过一、三象限;
k<0时,直线必经过二、四象限;
b>0时,直线与y轴正半轴相交;
b=0时,直线过原点;
b<0时,直线与y轴负半轴相交.
16、(1)54;(2)不是直角三角形,理由见解析.
【解析】
(1)在和中,利用勾股定理分别求得AB与AC的长即可;
(2)利用勾股定理的逆定理进行判断即可.
【详解】
解:,
.
在和中,
根据勾股定理得,,
又,,,
,
;
不是直角三角形.理由:
,
,
不是直角三角形.
本题主要考查勾股定理及其逆定理,解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
17、(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)利用菱形的性质得到AD=CD,∠A=∠C,进而利用AAS证明两三角形全等;
(2)根据△ADE≌△CDF得到AE=CF,结合菱形的四条边相等即可得到结论.
试题解析:证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD,∠A=∠C,∵DE⊥BA,DF⊥CB,∴∠AED=∠CFD=90°,在△ADE和△CDE,∵AD=CD,∠A=∠C,∠AED=∠CFD=90°,∴△ADE≌△CDE;
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CB,∵△ADE≌△CDF,∴AE=CF,∴BE=BF,∴∠BEF=∠BFE.
点睛:本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质,解题的关键是掌握菱形的性质以及AAS证明两三角形全等.
18、(1)3;7.5;8.3;8;(2)估计该校九年级学生训练后比训练前达到优秀的人数增加了125人
【解析】
(1)利用强化训练前后人数不变计算n的值;利用中位数对应计算强化训练前的中位数;利用平均数的计算方法计算强化训练后的平均分;利用众数的定义确定强化训练后的众数;
(2)用500分别乘以样本中训练前后优秀的人数的百分比,然后求差即可;
【详解】
(1)n=20-1-3-8-5=3;
强化训练前的中位数为=7.5;
强化训练后的平均分为(1×6+3×7+8×8+9×5+10×3)=8.3;
强化训练后的众数为8,
故答案为3;7.5;8.3;8;
(2)500×(-)=125,
所以估计该校九年级学生训练后比训练前达到优秀的人数增加了125人.
本题考查读条形统计图图的能力和利用统计图获取信息的能力;利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19、
【解析】
分析:根据最简二次根式及同类二次根式的定义,令被开方数相等解方程.
详解:根据题意得,3a+1=2
解得,a=
故答案为.
点睛:此题主要考查了最简二次根式及同类二次根式的定义,正确理解同类二次根式的定义是解题的关键.
20、5+或5-.
【解析】
分两种情况讨论:①当正方形ACFE边EF在AC左侧时,②当正方形ACFE边EF在AC右侧时.
【详解】
解:∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,
∴△ACD是等边三角形,且DO⊥AC.
∵菱形的边长为5,
∴DO= =
分两种情况讨论:
①当正方形ACFE边EF在AC左侧时,
过D点作DH2⊥EF,DH2长度表示点D到EF的距离,
DH2=5+DO=5+;
②当正方形ACFE边EF在AC右侧时,
过D点作DH1⊥EF,DH1长度表示点D到EF的距离,
DH1=5-DO=5-.
故答案为:5+或5-.
本题考查菱形的性质、正方形的性质、等边三角形的判定和性质,同时考查了分类讨论思想.解决此类问题要借助画图分析求解.
21、13
【解析】
∵点A,C,D分别是MB,NB,MN的中点,
∴CD∥AB,AD∥BC,
∴四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC.
∵BM=6,BN=7,MN=10,点A,C分别是MB,NB的中点,
∴AB=3,BC=3.5,
∴四边形ABCD的周长=(AB+BC)×2=(3+3.5)×2=13.
22、2或2;
【解析】
根据等面积法,首先计算AC边上的高,再设AD的长度,列方程可得x的值,进而计算AB.
【详解】
根据可得为等腰三角形
分别是的中点,且
四边形是菱形
所以可得 中AC边上的高为:
设AD为x,则CD=
所以
解得x= 或x=
故答案为2或2
本题只要考查菱形的性质,关键在于设合理的未知数求解方程.
23、
【解析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【详解】
1纳米米.
故7纳米
故答案为:
本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为,其中,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24、(1);(2)
【解析】
(1)根据解一元一次不等式的步骤,先去分母,再去括号,移项合并,系数化为1即可;
(2) 通过去分母将分式方程化成整式方程,解出整式方程的根,检验根是否是原分式方程的根即可.
【详解】
解: (1)去分母,得
去括号,得.
移项,得
合并同类项,得.
系数化为1,得
在数轴上表示如下,
(2)解: 去分母,得
解得
经检验,是原方程的根.
本题考查了不等式的解法及分式方程的解法,解分式方程的基本思想是消元,注意解分式方程时一定要检验.
25、(1)5(2)y=﹣120x+600(3≤x≤5)(3)
【解析】
(1)利用行驶的速度变化进而得出时间变化,进而得出t的值;
(2)利用待定系数法求一次函数解析式进而利用图象得出自变量x的取值范围;
(3)利用函数图象交点求法得出其交点横坐标,进而得出答案.
【详解】
解:(1)∵一辆轿车从甲地驶往乙地,到达乙地后返回甲地,速度是原来的1.5倍,
∴行驶的时间分别为:=3小时,则=2小时,
∴t=3+2=5;
∴轿车从乙地返回甲地时的速度是:=120(km/h);
(2)∵t=5,∴此点坐标为:(5,0),
设轿车从乙地返回甲地时y与x之间的函数关系式为:y=kx+b,
∴,
解得:,
∴轿车从乙地返回甲地时y与x之间的函数关系式为:y=﹣120x+600(3≤x≤5);
(3)设货车行驶图象解析式为:y=ax,
则240=4a,
解得:a=60,
∴货车行驶图象解析式为:y=60x,
∴当两图象相交则:60x=﹣120x+600,
解得:x=,故﹣3=(小时),
∴轿车从乙地返回甲地时与货车相遇的时间小时.
26、(1)证明见解析(2)菱形
【解析】
(1)连接MN,证明四边形AMNB是矩形,得出∠MNB=90°,根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论;
(2)先证明四边形MPNQ是平行四边形,再由(1)即可得出结论.
【详解】
证明:连接,如图所示:
∵四边形是矩形,
∴,,,
∵、分别是、的中点,
∴,,
∴,
∴四边形是平行四边形,
∴平行四边形是矩形,
∴,
∵是的中点,
∴;四边形是菱形;理由如下:
解:∵,,
∴四边形是平行四边形,
∴,,
又∵、分别是、的中点,
∴,
∴四边形是平行四边形,
由得,
∴四边形时菱形.
本题考查了菱形与矩形的性质,解题的关键是熟练的掌握菱形的判定与矩形的性质.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
成绩/分数
6分
7分
8分
9分
10分
人数/人
1
3
8
5
n
平均分
中位数
众数
训练前
7.5
8
训练后
8
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