河北省沧州市第二中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份河北省沧州市第二中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本卷满分150分 考试时间120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量的共线，垂直的充要条件以及空间向量坐标的减法，模长定义即得.
【详解】因，
对于A选项，由可得：，易知的值不存在；
对于B选项，由可知不成立；
对于C选项，；
对于D选项，
故选：D.
2. 直线，，若，则这两条平行直线间的距离为（ ）
A. 或0B. 0C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两直线平行，得到或，再分别验证一下，最后结合两平行线间的距离公式得到即可.
【详解】因为直线，平行，
所以，解得或，
当时，两条直线重合是一条直线，不符合题意；
当时，直线，，两直线平行，
所以这两条平行直线间的距离为，
故选：C
3. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果.其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，动点满足，则点P的轨迹与圆的公切线的条数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据两点距离公式整理等式，可得动点的轨迹方程，明确两圆的圆心和半径，结合两圆的位置关系，可得答案.
【详解】由题意知，化简得，其圆心为，半径，
又圆C的圆心，半径，所以，且，
所以两圆相交，故其公切线的条数为2条.
故选：B.
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为
D. 已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则
【答案】C
【解析】
【分析】由空间点关于平面的对称点的特点可判断A；由向量的数量积的性质可判断B；由线面角的定义可判断C；由共面向量定理可判断D.
【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误；
对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，
，有，则或，B选项错误；
对于C，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，
则直线l与平面所成的角为，C选项正确；
对于D，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，
若，则，解得，D选项错误.
故选：C.
5. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将本题转化为直线与半圆的交点问题，数形结合，求出的取值范围
【详解】将曲线的方程化简为
即表示以 为圆心，以2为半径的一个半圆，如图所示：

由圆心到直线 的距离等于半径2，可得：
解得 或
结合图象可得
故选D
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了转化能力，在解题时运用点到直线的距离公式来计算，数形结合求出结果，本题属于中档题
6. 数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知ΔABC的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标
【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0 ①
AB的中点为（1，2）， AB的中垂线方程为，
即x-2y+3=0．联立 解得
∴△ABC的外心为（-1，1）．
则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8 ②
联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．
当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A
【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法： 先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．
7. 在正方体中，若棱长为，，分别为线段，上的动点，则下列结论错误的是（ ）
A. 平面B. 直线与平面所成角的正弦值为定值
C. 平面平面D. 点到平面的距离为定值
【答案】B
【解析】
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合正方体的结构特征，利用空间向量逐个计算判断即可
【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，
令，得，
令，得，，
对于A，，显然，
即，，
而，平面，因此平面，A正确；
对于B，由平面，平面，得，
因为，，平面，则平面，
于是为平面的一个法向量，，
设直线与平面所成角为，
则不是定值，B错误；
对于C，由选项A知平面，即为平面的一个法向量，
而，则，
即有，
又，平面，因此平面，
则平面平面，C正确；
对于D，显然，
因此点到平面的距离为，为定值，D正确.
故选：B
8. 设圆：与圆：，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析发现两圆心和的连线恰好垂直于直线，从而得出当与和共线时最小，从而得解.
【详解】
因为圆：的标准方程为；
圆：的标准方程为：
所以和的圆心坐标分别为、，半径，，
所以直线的斜率，而直线的斜率为1
所以直线与直线垂直，如图，
所以当与和共线时最小，此时，
又此时，，
所以最小值为.
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，选错不得分.
9. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的长为
【答案】AC
【解析】
【分析】A、B选项考查的是空间向量基本定理的应用，以，，为基底表示，就可以得到结论；C选项考查利用空间向量数量积求向量夹角的余弦，先用基底表示和，再求它们的数量积和模，利用可判断C是否正确；对D选项，先用基底表示，再结合可求的长.
【详解】
∵，故A正确.
∵.故B错误.
又∵，.
，；
，
.
.
∴.故C正确.
∵，∴.故D错误.
故选：AC.
10. 已知圆，则（ ）
A. 圆与直线必有两个交点
B. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1
C. 圆与圆恰有三条公切线，则
D. 动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则四边形面积最小值为2
【答案】AC
【解析】
【分析】根据直线切过定点切该定点在圆内可判断A；求出圆的圆心到直线的距离可判断B；将圆化成标准形式为，转化为两圆外切可判断C；由，且当最小时最小时可判断D.
【详解】对于A，将直线整理得，由，
知，所以直线过定点，因为，
所以该定点在圆内，故A正确；
对于B，圆的圆心到直线的距离为，
所以过圆心且与直线平行的直线与圆相交有两个点到直线的距离为1，
与直线平行且与圆相切，并且与直线在圆心同侧的直线到的距离为1，
所以只有三个点满足题意，故B错误；
对于C，将圆化成标准形式为，
因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以，
解得，故C正确；
对于D，连接，因为为切点，所以，
所以，且当最小时，最小，
所以当与直线垂直时，，又因为半径为2，
所以，
所以，故D错误.
故选：AC.
11. 如图，在四棱锥中，底面，底面为边长为2的菱形，，为对角线的交点，为的中点．则下列说法正确的是（ ）
A. B. 三棱锥的外接球的半径为
C. 当异面直线和所成的角为时，D. 点F到平面与到平面的距离相等
【答案】ACD
【解析】
【分析】在菱形中，过点作直线，以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间向量求出线线角判断AC；求出点到平面距离判断D；分析棱锥外接球球心并求出球半径判断B.
【详解】在菱形中，过点作直线，由底面，得直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，而，
则，
由，得，则，
对于A，，，
则，于是，A正确；
对于B，由，得三棱锥的外接球截平面所得截面圆圆心为，
则球心在过垂直于平面的直线上，直线，显然球心在线段的中垂面上，
因此，三棱锥的外接球，B错误；
对于C，，由异面直线和所成的角为，
得，整理得，
而，解得，C正确；
对于D，，
设平面与平面的法向量分别为，
，令，得，
，令，得，
而，则点F到平面的距离，
点F到平面距离，显然，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 台风中心从地以每小时的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东处，城市处于危险区内的时间为______小时.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据已知条件作出图形，圆半径，利用锐角三角函数的定义可求出BE的长，易知是直角三角形，运用勾股定理可求出的长，进而求出弦长，最后用弦长除以台风的移动速度即可求解.
【详解】以城市为圆心，为半径画圆，如图所示，所在直线为台风中心的移动轨迹，，，，过点作于点.
在中，由锐角三角函数，
得，
在中，由勾股定理，
得，
所以，
因为台风中心的移动速度为，
所以B城市处于危险区内的时间为.
故答案为：2.
13. 设动点在棱长为的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求得，根据求得的取值范围.
【详解】由题设可知，以为坐标原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向，
建立如图所示空间直角坐标系，
则有，，，，
则，得，
所以，
，
显然不是平角，所以为钝角等价于，
即，即，
解得，因此的取值范围是.
故答案为：

14. 已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于两点，则的取值范围为______
【答案】.
【解析】
【分析】取中点为，连接，，确定点的轨迹为以为直径的圆，根据得到答案.
【详解】取中点为，连接，如图所示：
则，又，，
故点的轨迹为以为直径的圆，圆心为，半径为，
因为，，
所以，即，则.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线，.
（1）若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值；
（2）当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）依据点到直线的距离公式建立方程求解即可.
（2）联立求出直线交点，再分类讨论直线是否过原点，求解即可.
【小问1详解】
设原点O到直线m的距离为，
则，解得或；
【小问2详解】
由解得，即m与n的交点为.
当直线l过原点时，此时直线斜率为，
所以直线l的方程为；
当直线l不过原点时，设l的方程为，
将代入得，
所以直线l的方程为.
故满足条件的直线l的方程为或.
16. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线：与圆交于，两点，求弦的最短长度.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，设出圆的方程，再结合两点之间的距离公式，以及直线垂直的性质，即可求解．
（2）先求出直线的定点，再判断定点在圆内，再结合垂径定理，以及两点之间的距离公式，即可求解．
【小问1详解】
依题意，圆心在轴上，
可设圆的方程为，
圆与直线相切于点，
，解得，，
故圆的方程为．
【小问2详解】
直线：，
，令，解得，
直线过定点，
又圆的方程为．
所以圆心，半径，
，故定点在圆的内部，
当直线与直线垂直时，弦取得最小值，
，，
，
弦的最短长度为．
17. 如图，圆台下底面圆的直径为， 是圆上异于的点，且，为上底面圆的一条直径，是边长为的等边三角形，.
（1）证明：平面；
（2）求平面和平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)线线垂直从而证明线面垂直.
(2)利用向量法，即可求二面角的余弦值.
【小问1详解】
∵为圆台下底面圆的直径，是圆上异于的点，
故
又∵，，
∴
∵，
∴，
∴
∴，又∵，，平面
∴平面
【小问2详解】
取的中点，连接，则，由(1)可知，
∵，∴平面，
又∵
∴以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
由题意可得，，
∵平面，∴，
四边形为矩形，
∴
平面的一个法向量为.
设平面的一条法向量为，，
由 得 令，则，
平面一个法向量为
则平面与平面的夹角的余弦值为
∴平面和平面夹角的余弦值为
18. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
（1）若为棱中点，求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）存在点，位于靠近点三等分点处满足题意.
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，得到，然后利用线面平行的判定定理得到平面；（2）假设在棱上存在点满足题意，建立空间直角坐标系，设，根据平面与平面的夹角的余弦值为，则两平面法向量所成角的余弦值的绝对值等于，求出，即可得出结论.
【小问1详解】
取中点，连接，
分别为的中点，
，
底面四边形是矩形，为棱的中点，
，．
，，
故四边形是平行四边形，
．
又平面，平面，
平面．
【小问2详解】
假设在棱上存在点满足题意，
在等边中，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，则是四棱锥的高．
设，则，，
，所以.
以点为原点，PA，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
故，，．
设，
．
设平面PMB的一个法向量为，
则
取．
易知平面的一个法向量为，，
，
故存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意.
19. 已知圆C：（x﹣3）2+y2＝1与直线m：3x﹣y+6＝0，动直线l过定点A（0，1）．
（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，点M是PQ的中点，直线l与直线m相交于点N．探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）y＝1或；（2）是，-5.
【解析】
【分析】（1）由题意可得直线的斜率存在，所以设直线l的方程为，然后利用点到直线的距离公式可得求出的值，从而可求出切线方程，
（2）设l的方程为y＝kx+1，M（x0，y0），将直线方程与圆方程联立方程组消去y，解方程可求出点的坐标，再将两直线方程联立可求出点的坐标，从而可表示出 ，化简可得结论
【详解】解：（1）1°当直线l的斜率不存在时，
l的方程为x＝0，与圆C不相切；
2°当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为，即，
∴，解得或，
∴直线l的方程为y＝1或；
（2）由题意可知直线l的斜率存在，
设l的方程为y＝kx+1，M（x0，y0），
由消去y得，（1+k2）x2﹣（6﹣2k）x+9＝0，
∴，
∴，∴，
由得，，
∴，∴，
∴，
∴为定值．