浙江省杭州市六校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份浙江省杭州市六校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题，共4页。试卷主要包含了 考试结束后，只需上交答题卷， 下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。


命题：萧山中学 华杰、楼飞华 审核、审校：桐庐中学 李华
考生须知：
1. 本卷满分150分, 考试时间120 分钟;
2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3. 所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4. 考试结束后，只需上交答题卷。
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.)
1. 设集合 A=x|2 A. {2} B. {2,3} C. {3,4} D. {2,3,4}
2.若(2+i)·z=5i, 则z的虚部为
A. -2i B. 2i C. -2 D. 2
3. 已知 fx=xex+ae-x是偶函数，则a=
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4. 已知 a,b∈R,p:aba-b, 则P 是q的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 如图是一个古典概型的样本空间Ω和随机事件A，B，其中n(Ω)=30,n(A)=15,n(B)=10, n(A∪B)=20, 则. PAB=
A 14 B 13
C 12 D 23
6. 如图，计划在两个山顶M，N间架设一条索道. 为测量 M，N间的距离 ，施工 单 位 测 得 以 下 数 据：两个 山 顶 的 海 拔 高 MC=1003m,NB=502m,在 BC同一水平面上选一点A，在A 处测得山顶M, N的仰角分别为60°和30°, 且测得∠MAN=45°, 则M, N间的距离为
A. 100m B.506m C.1002m D.1003m
7. 已知函数f(x)= sin( wx),w>0, 将f(x)图象上所有点向左平移π/6个单位长度得到函数y=g(x)的图象，若函数g(x)在区间 0π6上单调递增，则w的取值范围为
A. (0,4] B. (0,2] C.032 D. (0,1]
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8. 已知正四面体ABCD中, E是棱AC上一点, 过E作平面α, 满足AB∥α,CD∥α, 若AB、CD到平面α的距离分别是3和9，则正四面体ABCD的外接球被平面α截得的截面面积为
A. 99π B. 100π C. 103π D. 108π
二、多项选择题(本大题共 3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.)
9. 下列函数中，可以用零点存在定理判断函数在区间[2，6]上存在零点的是
A.fx=1x-4 B. f(x)= lnx+2x-6
C.fx=xx-3² D.fx=sinx2+csx2
10. 下列命题正确的是
A. 若事件A,B,C两两互斥,则P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)成立.
B. 若事件A,B,C两两独立,则P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立.
C. 若事件A，B相互独立，则A与B也相互独立.
D. 若P(A)>0,P(B)>0, 则事件A, B相互独立与A, B互斥不能同时成立.
11.“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上.马同学站在阿基米德的肩膀上，研究另外两个模型：“圆台容球”，“圆锥容球”，如下图，半径为 R 的球分别内切于圆柱, 圆台, 圆锥.设球, 圆柱, 圆台, 圆锥的体积分别为V₀,V₁,V₂,V₃.设球, 圆柱, 圆台, 圆锥的表面积分别为S₀，S₁，S₂，S₃，则以下关系正确的是
A.V0V1=S0S1=23 B.V0V2>S0S2 C.V0V3>S0S3 D.V0V3 的最大值 12
第Ⅱ卷
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.)
12.3216+lg8+3lg5=¯.
13. 已知 sinα-βcsα-csα-βsinα=35, β是第三象限角，则 sinβ+5π4=¯.
14.在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为 ▲ .
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四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. (13分) 已知 a,b是非零向量， a⊥a-b, 且 |a|=32,|b|=6.
(1) 求a在b方向上的投影向量；
(2) 求 |a-3b|.
16.(15 分)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200 只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液. 每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同. 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比. 根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.30.
(1) 求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
(2) 求甲离子残留百分比的第75百分位数；
(3) 估计乙离子残留百分比的均值.(同一组数据用该组区间的中点值为代表)
17.(15分) 在△ABC中, 角A,B,C所对的边分别是a,b,c, 已知△ABC的外接圆半径. R=14, sin²A+sin²B+sinAsinB=2csinC.
(1) 求角C;
(2) 求2a+b的取值范围.
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18.(17分)三棱台 ABC-A₁B₁C₁中， AB⊥AC,面. ABB₁A₁⊥面ACC₁A₁,AA₁=A₁C₁=CC₁=2,AC=4,且 BB₁与底面ABC所成角的正弦值为 155.
(1) 求证: AB⊥面ACC₁A₁;
(2) 求三棱台 ABC-A₁B₁C₁的体积；
(3) 问侧棱. BB₁上是否存在点M ，使二面角M-AC-B成 π6?若存在，求出 BMBB1的值； 若不存在，说明理由.
19.(17分) 对于 Z₀,z₁,z₂∈C,记 k=z1-z0z2-z0z2-z0为 z₁,z₂关于z₀的“差比模”.若取遍 |z₀|=rr0),记 z₁,z₂关于 |z₀|=r的“差比模”的最大值为 kₘₐₓ,最小值为 kₘᵢₙ,若 kₘₐₓ+kₘᵢₙ=2, 则称 z₁,z₂关于r的“差比模”是协调的.
(1) 若 Z0=12+32i,z1=1,z2=-1,求z₁,z₂关于z₀的“差比模”;
(2) 若 z1=1+3i,z2=1-3i,是否存在r<2，使得z₁，z₂关于r的“差比模”是协调的?若存在，求出r的值； 若不存在，说明理由；
(3) 若 z₁=a,z₂=bi,a,b∈R且a,b>r,若z₁，z₂关于r的“差比模”是协调的，求 b2-a2r2的值.
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