5高中数学新教材一轮复习课堂导学案（直线方程的点斜式与斜截式一般式）及答案

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一、直线的方程
1.点斜式： （直线过点，且斜率为）；
注：
（1）点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；
（2）当直线的倾斜角为时，直线方程为；
（3）当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为：.
（4）表示直线去掉一个点；表示一条直线.
2.斜截式： （为直线在轴上的截距）；
注：
（1）b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；
（2）斜截式方程可由过点的点斜式方程得到；
（3）当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.
（4）斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线.
（5）斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距.
3.一般式： （、不全为零） .
（1）当时，方程可化为，它表示过点，斜率为的直线．
（2）当，时，方程化为，即，此时直线与轴垂直．
（3）由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．
二、两条直线的平行与垂直
当直线；
①若平行 且 ；
②若垂直 .
【例题】
例1．（2022·全国·高二课时练习）过点，斜率为的直线在x轴上的截距为______．
【答案】
【解析】
【分析】
写出直线的点斜式方程，令，即可求得结果.
【详解】
由题可知所求直线方程为：，
令，解得，即直线在x轴上的截距为.
故答案为：.
例2．（2022·江苏·高二）已知三点，
（1）△ABC为__________ 三角形.
【答案】直角
【解析】
【分析】
根据直线斜率关系即得.
【详解】
如图，猜想是直角三角形，
由题可得边所在直线的斜率,边所在直线的斜率，
由，得即，
所以是直角三角形.
故答案为：直角.
（2）求直线的方程；
（3）求边上的中线所在的直线方程.
例3.（多选题）（2022·江苏·高二）下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在y轴上的截距为2
C．直线的倾斜角为60°
D．过点且平行于直线的直线方程为
【答案】AC
【解析】
【分析】
将直线方程化为，即可求出直线过定点坐标，从而判断A，令求出，即可判断B，求出直线的斜率即可得到倾斜角，从而判断C，根据两直线平行斜率相等求出直线方程即可判断D；
【详解】
解：对于A，，即，
令，即，所以直线必过定点，故A正确；
对于B，对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故B错误；
对于C，直线，即，所以斜率，其倾斜角为，故C正确；
对于D，过点且平行于直线的直线方程为：，即，故D错误，
故选：AC．
【作业】
一、选择题
1．“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分又非必要
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线平行与斜率之间的关系，逐个选项进行判断即可.
【详解】
充分性：直线与平行，但是和都没有斜率，即当和都垂直于轴时，与仍然平行，但是，此时不满足直线与的斜率相等，故充分性不成立；
必要性：直线与的斜率相等，则必有直线与平行，故必要性成立；
综上，“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的必要非充分条件.
故选：B
2．直线过点，且斜率为3，则直线的点斜式方程为（ C ）
A．B．
C． D．
3．关于直线y－2＝－eq \r(3)(x＋1)，以下说法正确的是( B )
A．过点，倾斜角为60° B．过点，倾斜角为120°
C．过点，倾斜角为120° D．过点，倾斜角为60°
4．直线过点与，则直线的点斜式方程为（ A ）
A．B．
C． D．
5．直线与轴交于，斜率为2，则直线的方程为( A )
A．
B．
C．
D．
6．关于直线：，以下说法正确的是（ ）
A．纵截距是1 B．倾斜角是
C．没有横截距 D．与直线垂直
7．不论为何实数，直线恒过一个定点，则这个定点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将直线方程化为，令可得，，从而可得定点.
【详解】
直线，即，
令，得，，可得它恒过一个定点.
故答案为：.
8.（多选题）已知直线l过点，且与轴和轴围成一个内角为的直角三角形，则满足条件的直线l的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由题意，求出直线的倾斜角可以是或或或，从而可得直线斜率，利用点斜式可写出直线方程，最后检验即可得答案.
【详解】
解：由题意，直线的倾斜角可以是或或或，
所以直线的斜率或或或，
所以直线的方程可以为或或 或，
由，整理得，此时直线过原点，无法与轴和轴围成直角三角形.
故选：ABC.
二、填空题
9．直线的斜率是 ，纵截距是 .
10．过点A(1,1)与B(3,5)的直线方程为 .
11．直线的斜率是 ，纵截距是 ，横截距是 ，这条直线与两坐标轴围成的三角形面积为________．
12．已知点P(1,2)且与直线y＝2x＋3，
（1）若直线过与平行，则的方程为 ；
（2）若直线过与垂直，则的方程为 .
13．已知直线，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为___________；若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是___________.
【答案】 或； .
【解析】
【分析】
分别令和求出直线在两坐标轴上的截距，利用截距相等解方程求出的值；先分析过定点，然后根据条件结合图示判断出直线斜率满足的不等式，由此求解出的取值范围.
【详解】
因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以，
在中，
令，得，令，得，
依题意可得，即，
解得或；
直线的方程可化为，所以，
所以，所以直线过定点，
所以，由直线可得：，
若不经过第三象限，则，
故答案为：或；.
三、解答题
14．已知的三个顶点的坐标，，
（1）求线段的垂直平分线方程；
（2）求边上的高所在的直线方程；
（3）求边上的中线所在的直线方程.