12高中数学新教材一轮复习课堂导学案（直线与椭圆的关系及中点弦问题）及答案

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【知识点】
一、直线与二次曲线的相交弦长公式
如下图，已知直线与某二元曲线交于，，请推导出公式③
解：因为，两点在直线上
所以，
由两点距离公式，得
或者
总结：（1）公式③,中的“”表示横向的距离，如图
（2）公式④同理可得；
（3）公式③与④在直线与一般二次曲线相交于两点的情况下都可用；
（4）公式③与④的作用在于转移计算，最后用韦达定理把一元二次方程的系数代入，
为此，我们可以有以下进一步的变形
所以公式进化为：
③
④
其中，
其中，、、指的是直线与曲线方程联立消元后的一元二次方程的对应系数.
二、中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在椭圆（）中，以为中点的弦所在直线的斜率为，则；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.
【典例】
例1.直线与椭圆交于，两点，
（1）则 ；
（2）线段的中点坐标是 ．
例2．已知椭圆及直线．
（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．
例3．已知椭圆，求过点且被平分的弦所在直线的方程；
例4．已知：直线和椭圆相交于A，B两点．
（1）使=；
（2）问是否存在实数，使以A，B为直径的圆过原点，若存在，请求出，若不存在，请说明；
（3） 记直线和轴交于点P，若，求的值．
【作业】
一、选择题
1．直线与椭圆的交点个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（ ）
A．B．C．D．
3．已知点是椭圆内的一点，直线过且与椭圆交于、两点，则当是线段中点时，直线的方程为（ ）
A B C D
二、填空题
4．直线：与椭圆的位置关系是____________.
5．已知直线与椭圆C：有唯一的公共点，则实数m的值为 ．
6．椭圆的弦被点P（2，1）平分，则此弦所在的直线方程为 ．
三、解答题
7.椭圆（）的两焦点为，离心率是，是椭圆上动点，且面积最大值是，求椭圆的方程．
8．在直角坐标系中，点到两点的距离之和为4，设点的轨迹为,直线与交于两点.
（Ⅰ）写出的方程; （Ⅱ）若，求的值.